苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题08两个三角形相似的判定压轴题四种模型全攻略特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题08两个三角形相似的判定压轴题四种模型全攻略特训(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了两角对应相等，两个三角形相似，三边对应成比例，两个三角形相似，补充条件使两个三角形相似等内容，欢迎下载使用。
考点一 两角对应相等，两个三角形相似 考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似 考点四 补充条件使两个三角形相似
典型例题

考点一 两角对应相等，两个三角形相似
1．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABP和△CDP中，∠B=∠C=，点P在BC上，且∠APD=，证明：△ABP△PCD．
2．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，在中，D为延长线上一点，，过点D作，交延长线于点E．求证：．
3．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．
4．（2022·山东·济南世纪英华实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.
5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，于点．
（1）求证：；
（2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：．
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．
(1)求证：．
(2)当，时，求线段的长．
7．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．
(1)求证△ABC∽△ADE；
(2)求证：AD是⊙O的切线．
8．（2022·江苏·南京市第一中学一模）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，过B、C、E三点的⊙O与CD相交于点F，连接AE、BF．
(1)求证：△ADE∽△BDF；
(2)当BE＝AB时，求证：直线AE是⊙O的切线．
9．（2021·浙江省常山育才中学九年级期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
1．（2022·全国·九年级课时练习）已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．
3．（2021·湖南永州·九年级期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．
求证：△ACD∽△ABC．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且．求证：．
5．（2022·广东·深圳市福田区彩田学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD．
(1)求证：△ABC与△BCD相似：
(2)求∠A的度数
6．（2021·山东·章丘双语学校九年级阶段练习）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE·BF＝EF·BC．
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝ °，BC＝ ；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并证明你的结论．
9．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．
(1)求证：△AEF∽△DAC；
(2)如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似
1．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，与相似吗？为什么？
2．（2022·全国·九年级专题练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
(1)，，，，，；
(2)，，，，，．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：．
4．（2021·河南南阳·九年级期中）如图，设网格中每个小正方形的边长均为1．点、、和、、都在正方形的顶点上．求证：．
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
考点四 补充条件使两个三角形相似
1．（2021·云南楚雄·九年级期中）如图，E、D是△ABC的边AB、AC上一点，请添加一个条件__________使得△ABC与△ADE相似．
2．（2022·黑龙江·肇源县第四中学八年级期中）在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，当EF=_________时，△ABC与△DEF相似.
3．（2020·北京延庆·九年级期中）如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，连接BD，请你再添加一个条件_____，使得△ABD∽△ACB．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一种即可）．
5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，在中，是线段上的一点（不与点，重合），连接．请添加一个条件使与相似，这个条件可以是___________（写出一个即可）．
6．（2022·湖南·新化县东方文武学校九年级期末）如图，AB、CD相交于点O，添加一个条件 ___，可以使△AOD与△BOC相似．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．
8．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在与中，，点在上，若只添加一个条件便能判定，则添加的条件是____．
9．（2021·江苏·苏州市平江中学校八年级阶段练习）如图，在中，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当_______时，与相似．
10．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，、是以为直径的半圆上任意两点，连接、、，与相交于点，要使与相似，可以添加的一个条件是___________（填正确结论的序号）．
①；②；③；④．
专题08 两个三角形相似的判定压轴题四种模型全攻略
考点一 两角对应相等，两个三角形相似 考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似 考点四 补充条件使两个三角形相似
典型例题

考点一 两角对应相等，两个三角形相似
1．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABP和△CDP中，∠B=∠C=，点P在BC上，且∠APD=，证明：△ABP△PCD．
【答案】证明见解析
【分析】根据∠APD=，∠B=，可以推出∠BAP=∠CPD，再证明相似即可．
【详解】证明：∵∠APD=，∠B=∠C=
∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=
∴∠BAP=∠CPD
又∵∠B=∠C
∴△ABP△PCD．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
2．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，在中，D为延长线上一点，，过点D作，交延长线于点E．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据两直线平行内错角相等，相似三角形的判定：两组对应角分别相等的两个三角形相似；即可证明；
【详解】证明∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定；掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．
【答案】相似，见解析
【分析】在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：∠D＝∠C＝90°，若证明两三角形相似，再得出∠DAQ＝∠PQC即可．
【详解】解：相似，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°
∵AQ⊥PQ，
∴∠AQP＝90°，
∴∠AQD+∠PQC＝90°，
∴∠DAQ＝∠PQC，
∴△ADQ∽△QCP．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．
4．（2022·山东·济南世纪英华实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.
【答案】(1)见解析
(2)3或8
【分析】（1）由AB=AC，可证得△ABD∽△DCE；
（2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．
（1）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠ADC=∠B+∠BAD
∠ADC=∠ADE+∠CDE
∵∠ADE=∠B
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△CDE
（2）
∵AB=AC，AC=12
∴AB=12
由（1）知，△ABD∽△CDE
∴=
即=
∴BD=3或8
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等，两三角形相似的判定定理证明即可．
5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，于点．
（1）求证：；
（2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由得，利用同角的余角相等推出即可；
（2）两次用同角的余角相等推出和即可．
【详解】（1）证明：，
，，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形相似判定问题 ，掌握三角形相似的判定定理，灵活运用三角形相似的判定定理证明相似是解题关键．
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．
(1)求证：．
(2)当，时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图（见解析），先根据线段垂直平分线的性质可得，，，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），延长至，使，连接，，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
（1）
证明：∵垂直平分，
∴，，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴．
（2）
解：如图，延长至，使，连接，．
则垂直平分，
，
是边上的中线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
7．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．
(1)求证△ABC∽△ADE；
(2)求证：AD是⊙O的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得∠B＝∠D．再根据圆内接四边形的性质，可得∠B＝∠AED．再由AB＝AC，可得∠ACB＝∠AED．即可求证；
（2）连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．根据AB＝AC，OB＝OC，可得AM垂直平分BC．从而得到∠DAO＝90°．即可求证．
（1）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC＝180°．
∵∠AED+∠AEC＝180°．
∴∠B＝∠AED．
∵AB＝AC，
∴AB＝∠ACB
∴∠ACB＝∠AED．
∴△ABC∽△ADE．
（2）
解：如图，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AM垂直平分BC．
∴∠AMC＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAO＝90°．
∵点A在⊙O上，
∴AD是⊙O的切线．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，切线的判定等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
8．（2022·江苏·南京市第一中学一模）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，过B、C、E三点的⊙O与CD相交于点F，连接AE、BF．
(1)求证：△ADE∽△BDF；
(2)当BE＝AB时，求证：直线AE是⊙O的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先利用SAS证明△ADE≌△CDE，推出∠DAE=∠DCE，再根据圆周角定理得到∠DBF=∠DCE，推出∠DAE=∠DBF，即可证明ΔADE∽ΔBDF；
（2）先证明BF是⊙O的直径，再证明∠BAE+∠DAE=∠BEA+∠OEB=90°，即∠OEA=90°，即可证明直线AE是⊙O的切线．
(1)
证明：连接CE，
∵四边形ABCD是正方形，且BD是对角线，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE(SAS) ，
∴∠DAE=∠DCE，
∵B、E、F、C四点共圆，
∴∠FBE=∠FCE，即∠DBF=∠DCE，
∴∠DAE=∠DBF，
又∵∠ADE=∠BDF=45°，
∴ΔADE∽ΔBDF；
(2)
证明：连接OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠BAD=90°，
∴BF是⊙O的直径，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠DAE=∠DBF，
∴∠DAE=∠OEB，
∵BE=AB，
∴∠BAE=∠BEA，
∴∠BAE+∠DAE=∠BEA+∠OEB=90°，即∠OEA=90°，
又OE是⊙O的半径，
∴直线AE是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
9．（2021·浙江省常山育才中学九年级期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）相似，见详解；（2）∠CAD=∠C′B′D′=15°；【拓展思考】可以，理由见详解.
【分析】（1）由题意可知如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由同上；
（2）由题意可知如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似；
【拓展思考】根据题意运用材料的方法结合相似三角形的判定进行分析即可.
【详解】解：（1）如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
拓展思考:可以，如下图，
设,
作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定方法，学会取特殊角解决问题．
考点二 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
1．（2022·全国·九年级课时练习）已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′．
【答案】证明见解析
【分析】在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，可证△ADE∽△ABC；再证△ADE≌△A′B′C′即可．
【详解】证明：在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC．
∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′，
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的证明，解题关键是通过作辅助线，构建全等三角形进行证明．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．
【答案】见解析；
【分析】由AB＝4，BC＝8，BD＝2可知，再由∠ABD＝∠CBA可得△ABD∽△CBA；
【详解】证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，
∴，
又∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
3．（2021·湖南永州·九年级期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．
求证：△ACD∽△ABC．
【答案】见解析
【分析】首先利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．
【详解】证明：AD＝1，AB＝3，AC＝
，

又
∽
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】先由等边三角形的性质推出∠ABD=∠ECA，再由，得到，即可推出△ABD∽△ECA．
【详解】解；∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，
∴∠ABD=∠ECA，
又∵，
∴，
∴△ABD∽△ECA．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
5．（2022·广东·深圳市福田区彩田学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD．
(1)求证：△ABC与△BCD相似：
(2)求∠A的度数
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）根据点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD，可知AD：AB=BD：AD，根据题目给的条件可以推出BD：BC=BC：BA，结合∠B=∠B，即可证明出相似．
（2）根据第一问的相似得到∠BCD=∠A，通过推角，在中用内角和为，即可得到答案．
（1）
证明：∵AC= BC
∴∠A=∠B
∵AD=AC
∴AD=BC
∵点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD
∴AD：AB=BD：AD
∴BD：BC=BC：BA
∵∠B=∠B
∴△BDC△BCA
（2）
解：∵△BDC△BCA
∴∠BCD=∠A
∴∠BCD=∠B
∵∠ADC是△BDC的外角
∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B=2∠A
∵AD=AC
∴∠ACD=∠ADC=2∠A
∵∠A+∠ADC+∠ACD=
∴∠A+2∠A+2∠A=
∴∠A=
∴∠A的度数为
【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，黄金分割点的定义．使用黄金分割点推出三角形两边成比例是解题关键．
6．（2021·山东·章丘双语学校九年级阶段练习）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．
（1）求证：△ABE∽△CDF．
（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）EF＝2．
【分析】（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得；
（2）根据BE＝2DF，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；
（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴ ,
∵BD＝8，
∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE·BF＝EF·BC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由垂直的定义可得，且，即可证；
（2）可证点，点，点，点四点共圆，可得，，可证，可得，即可得结论．
【详解】证明：证明：（1），，
，且，
；
（2）如图，连接，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，
，
，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝ °，BC＝ ；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并证明你的结论．
【答案】（1），；（2），证明见解析
【分析】（1）先在Rt△BCG中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC的度数，再根据∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度数；在Rt△BGC中利用勾股定理即可求出BC的长．
（2）利用格点三角形的知识求出AB，BC及DE，EF的长度，继而可作出判断．
【详解】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，
∴∠GBC=45°，
∵∠ABG=90°，
∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；
∵在Rt△BGC中，BG=2，CG=2，
∴；
故答案为：，；
（2）解：相似．理由如下：
∵，，
∴，
∴
又∵
∴．
【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
9．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．
(1)求证：△AEF∽△DAC；
(2)如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质可得ABCD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，根据垂直定义可得∠FAE＝90°，从而可得∠BAF＝∠DAE，进而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性质可得＝，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠AFE＝∠CFE，从而证明△AFE≌△CFE，进而可得AF＝CF，AE＝EC，然后再证△AFG≌△CFG，从而可得∠FAG＝∠FCG，再结合（1）的结论可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，从而可得AE∥CG，进而利用菱形的判定方法即可解答．
（1）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，
∴∠BAF＝∠DAE，
∵∠D＝∠ABF＝90°，
∴△ABF∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∵∠D＝∠FAE＝90°，
∴△AEF∽△DAC；
（2）
如图：
∵FE平分∠AFB，
∴∠AFE＝∠CFE，
∵∠FAE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，
∴△AFE≌△CFE（AAS），
∴AF＝CF，AE＝EC，
∵FG＝FG，
∴△AFG≌△CFG（SAS），
∴∠FAG＝∠FCG，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠FCG，
∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠BCG＋∠DCG＝90°，
∴∠DCG＝∠AED，
∴AECG，
∵ABCD，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∵AE＝EC，
∴四边形AGCE为菱形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
考点三 三边对应成比例，两个三角形相似
1．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，与相似吗？为什么？
【答案】相似，理由见解析
【分析】根据网格求出三角形的边长，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可得出结论．
【详解】解：△ABC与△EFG相似，理由是：
设小正方形的边长为1，则AC＝5，AB＝，BC＝，EF＝2，GF＝，EG＝，
∵，，
∴，
∴△ABC∽△EFG．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：三组对应边的比相等的两个三角形相似．
2．（2022·全国·九年级专题练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
(1)，，，，，；
(2)，，，，，．
【答案】(1)相似，理由见解析
(2)相似，理由见解析
【分析】（1）计算对应边的比，根据三边对应，两三角形相似，进而判断即可；
（2）根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，进而判断即可．
（1）
解：∵，，，
∴．
∴．
（2）
∵，，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据比例的性质可得，，即可求证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
4．（2021·河南南阳·九年级期中）如图，设网格中每个小正方形的边长均为1．点、、和、、都在正方形的顶点上．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先利用勾股定理分别求解再分别计算：可得两个三角形的三边对应成比例，从而可得结论.
【详解】解：由勾股定理可得：




【点睛】本题考查的是二次根式的运算，勾股定理的应用，相似三角形的判定，熟悉三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键.
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
【答案】△ABC△DEF，理由见详解
【分析】先根据勾股定理求出三角形各边长，从而得到两个三角形的对应边成比例，进而即可得到结论．
【详解】解：△ABC△DEF，理由如下：
∵AB=，AC=，BC=5，DE=1，DF=，EF=，
∴，
∴△ABC△DEF．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和勾股定理，掌握对应边成比例的两个三角形相似，是解题的关键．
考点四 补充条件使两个三角形相似
1．（2021·云南楚雄·九年级期中）如图，E、D是△ABC的边AB、AC上一点，请添加一个条件__________使得△ABC与△ADE相似．
【答案】∠ADE=∠B或∠AED=∠C或
【分析】根据相似三角形的判定方法：两角相等，或者两组对应边对应成比例，夹角相等进行解题即可．
【详解】解：如图∵，
∴当∠ADE=∠B或∠AED=∠C或时：△ABC∽△ADE；
故答案为：∠ADE=∠B或∠AED=∠C或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定方法．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·肇源县第四中学八年级期中）在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，当EF=_________时，△ABC与△DEF相似.
【答案】或3
【分析】利用三角形相似的判定可以得到解答．
【详解】解：由题意可得：
当或时，△ABC与△DEF相似，
∴或，
∴EF=或3，
故答案为或3．
【点睛】本题考查三角形相似的应用，熟练掌握对应线段成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题关键．
3．（2020·北京延庆·九年级期中）如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，连接BD，请你再添加一个条件_____，使得△ABD∽△ACB．
【答案】∠ABD=∠C（答案不唯一）
【分析】两角分别相等的两个三角形相似，已知一个角相等，再添加一个角相等即可
【详解】∵在△ACB和△ABD中，∠BAD=∠CAB，
∴若∠ABD=∠C即可证明△ABD∽△ACB，
故答案为：∠ABD=∠C（答案不唯一）．
【点睛】本题考查相似三角形的判断，解题的关键是熟练掌握两角分别相等的两个三角形相似．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知＝，若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一种即可）．
【答案】∠DAE=∠BAC（不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得：∠DAE=∠BAC．
故答案是∠DAE=∠BAC（不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”是解答本题的关键．
5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，在中，是线段上的一点（不与点，重合），连接．请添加一个条件使与相似，这个条件可以是___________（写出一个即可）．
【答案】∠ACB=∠CDB（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可．
【详解】解：∵∠B=∠B
∴添加∠ACB=∠CDB或∠A=∠DCB或 ．
故答案是：∠ACB=∠CDB（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定.两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似.
6．（2022·湖南·新化县东方文武学校九年级期末）如图，AB、CD相交于点O，添加一个条件 ___，可以使△AOD与△BOC相似．
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得出答案．
【详解】添加一个条件：，
，，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．
【答案】∠C＝∠E或∠B＝∠ADE(答案不唯一）
【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．
【详解】∵∠1＝∠2
∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE）
∴△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是关键．
8．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在与中，，点在上，若只添加一个条件便能判定，则添加的条件是____．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：依据两角相等，两三角形相似，可添加条件
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定定理．
9．（2021·江苏·苏州市平江中学校八年级阶段练习）如图，在中，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当_______时，与相似．
【答案】2或8
【分析】可根据相似三角形的判定：夹角相等对应边成比例的两个三角形形似，则（1）当时，有；（2）当时，有，进而可求出BQ的长．
【详解】当时，
则，
，点P时AB边的中点，
,
,
,
当时，
则，
，点P时AB边的中点，
,
，
，
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．
10．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，、是以为直径的半圆上任意两点，连接、、，与相交于点，要使与相似，可以添加的一个条件是___________（填正确结论的序号）．
①；②；③；④．
【答案】①②③
【分析】由两角法可得①正确；由等弦对等弧、等弧所对圆周角相等及两角法可知②正确；由两边夹一角法可以判断③正确，④错误．
【详解】解：如图，∠ADC=∠ADB，
①、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故①选项正确；
②、∵AD=DE，
∴，
∴∠DAE=∠B，
∴△ADC∽△BDA，故②选项正确；
③、∵=BD•CD，
∴AD：BD=CD：AD，
∴△ADC∽△BDA，故③选项正确；
④、∵CD•AB=AC•BD，
∴CD：BD=AC：AB，
但∠ADC=∠ADB不是对应夹角，故④选项错误．
故答案为①②③．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．熟练掌握三角形相似的判定方法及圆周角定理是解题关键．