专题12 图形的位似压轴题六种模型全攻略-【常考压轴题】2022-2023学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题12 图形的位似压轴题六种模型全攻略

考点一 位似图形相关概念辨析                考点二 判断位似中心及求解位似中心

考点三 求位似图形的对应坐标                考点四 求两个位似图形的相似比

考点五 在坐标系中画位似图形                考点六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比

考点一 位似图形相关概念辨析

例题：（2023·河北·九年级专题练习）和是位似图形，位似中心是点O，下列说法不正确的是（    ）

A． B．

C．直线经过点O D．直线、和相交于一点

【变式训练】

1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．15

2．（2022·山东滨州·九年级期末）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是(   )

A． B．

C． D．直线经过点

考点二 判断位似中心及求解位似中心

例题：（2021·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（　　）

A．点P B．点O C．点M D．点N

【变式训练】

1．（2022·四川德阳·二模）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是_____．

2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，图中的小方格是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

（1）画出位似中心点O；

（2）求出与'的位似比；

（3）以点O为位似中心，在图中画一个，使它与的位似比等于3∶2．

考点三 求位似图形的对应坐标

例题：（2021·湖南·李达中学九年级阶段练习）已知△AOB和是以点O为位似中心的位似图形 ，且△AOB和的周长之比为1:2，点B的坐标为，则点的坐标为（   ）

A． B． C． D．

【变式训练】

1．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为________．

2．（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为，则点A的对应点A1的坐标为_______．

考点四 求两个位似图形的相似比

例题：（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（　　）

A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．2：3

【变式训练】

1．（2022·重庆南开中学三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC位似，点C为位似中心，，若△ABC的面积是1，则△DEC的面积是（      ）

A．3 B．4 C．9 D．16

2．（2022·重庆·中考真题）如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（    ）

A．4 B．6 C．9 D．16

3．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是_____．

考点五 在坐标系中画位似图形

例题：（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形，若AD＝6，A'D'＝4，则菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比为______．

【变式训练】

1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点A，D在∠XOY的边OX上，点B，E在OY边上，射线OZ在∠XOY内，且点C，F在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．．

(1)试说明△ABC与△DEF是位似图形；

(2)求△ABC与△DEF的位似比．

2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心为M．

(1)写出D点的坐标；

(2)在图中画出M点，并求M点的坐标．

考点六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比

例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ ABO的位似比为．

【变式训练】

1．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校九年级期末）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：

(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到，请画出；

(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的位似比为2：1．

2．（2021·江苏·仪征市古井中学九年级期末）如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中，

(1)画出向上平移个单位，再向右平移个单位后的；

(2)以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出；

(3)直接写出的面积，及，的坐标．

一、选择题

1．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，若，则点C的坐标为（　　）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·九年级课时练习）下列三个关于位似图形的表述：

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；

②位似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；

其中正确命题的序号是（     ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

3．（2022·山西太原·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（　　）

A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1）

4．（2023·浙江·翠苑中学九年级阶段练习）如图四个图中，均与相似，且对应点交于一点，则与成位似图形的有（      ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

5．（2020·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图所示，与是位似图形，点是位似中心，若，，则___________．

6．（2022·甘肃·平凉市第十中学九年级阶段练习）如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，则五边形的周长与五边形的周长比是______．

7．（2022·福建·宁德市博雅培文学校九年级阶段练习）如图，是反比例函数（）图像上一点，点、在轴正半轴上，是关于点的位似图形，且与的位似比是1：3，的面积为1，则该反比例函数的表达式为______．

8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________.

三、解答题

9．（2022·广东·江门市第二中学九年级开学考试）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

（1）画出位似中心点O；

（2）直接写出△ABC与的位似比；

（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系

10．（2022·安徽亳州·九年级期末）如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给出了三角形ABC．

（1）作出关于x轴对称的；

（2）以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出的位似图形，使与的位似比为1：2；

（3）若的面积为3.5平方单位，求出的面积．

11．（2022·山东·济南外国语学校九年级阶段练习）如图所示，小华在学习（图形的位似）时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．

(1)在图中标出与的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标；

(2)若以点O为位似中心，与是位似图形，且与的位似比为，则满足条件的点坐标为______．

(3)请你帮小华在图中给定的网格内画出．

12．（2022·山西晋中·九年级期末）如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．

（1）在图中标出与的位似中心点的位置，并写出点的坐标______；

（2）若以点为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出的位似图形，且与的位似比为2：1．

13．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

(3)若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．