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苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题07圆压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)
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这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题07圆压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)，共31页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25268" 【典型例题】 PAGEREF _Tc25268 \h 1
\l "_Tc9293" 【考点一 圆的基本概念辨析】 PAGEREF _Tc9293 \h 1
\l "_Tc26483" 【考点二 求圆中弦的条数】 PAGEREF _Tc26483 \h 2
\l "_Tc17955" 【考点三 求过圆内一点的最长弦】 PAGEREF _Tc17955 \h 4
\l "_Tc12764" 【考点四 圆心角概念辨析】 PAGEREF _Tc12764 \h 5
\l "_Tc5828" 【考点五 求圆弧的度数】 PAGEREF _Tc5828 \h 6
\l "_Tc29056" 【考点六 判断点与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc29056 \h 10
\l "_Tc32742" 【考点七 利用点与圆的位置关系求半径】 PAGEREF _Tc32742 \h 11
\l "_Tc2069" 【过关检测】 PAGEREF _Tc2069 \h 14
【典型例题】
【考点一 圆的基本概念辨析】
例题：（2023春·七年级单元测试）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等
C．长度相等的弧是等弧D．圆既是轴对称图形又是中心对称
【变式训练】
1．（2023秋·河北张家口·七年级河北省怀来县沙城中学校考期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧．
A．B．C．D．
2．（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧B．直径是圆中最长的弦
C．弧是半圆D．三点确定一个圆
【考点二 求圆中弦的条数】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条B． 条C． 条D． 条
【变式训练】
1．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．
【考点三 求过圆内一点的最长弦】
例题：（2023秋·河南周口·九年级校考期末）若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
1．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（ ）
A．3cmB．6cmC．1.5cmD．3cm
2．（2023春·全国·九年级专题练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．8B．10C．12D．14
【考点四 圆心角概念辨析】
例题：（2023秋·九年级单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角
B．圆心角α的取值范围是
C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角
D．圆心角就是在圆心的角
2．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
【考点五 求圆弧的度数】
例题：（2023春·九年级课时练习）如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·九年级单元测试）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
2．（2023春·九年级课时练习）如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（ ）
A．116B．120C．122D．128
【考点六 判断点与圆的位置关系】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知的半径为，若，那么点与的位置关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．都有可能
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．无法确定
2．（2023·浙江·九年级假期作业）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点，均在圆外B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外D．点，均在圆内
【考点七 利用点与圆的位置关系求半径】
例题：（2023·上海·一模）如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·统考二模）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ．
2．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是 .
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．以为直径的圆 B．的延长线 C．的垂直平分线D．平行的直线
2．（2023·全国·七年级假期作业）下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧B．半圆是弧
C．半径是弦D．弧是半圆
3．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（ ）
A．3cmB．4cmC．3cm或4cmD．6cm
4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，长方形中，，，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
二、填空题
6．（2023·浙江·九年级假期作业）已知的半径为2cm，则最长的弦为 cm．
7．（2023·浙江·九年级假期作业）已知圆O的半径为1，A是圆O内一点，如果将线段的长记为d，那么d的取值范围是 ．
8．（2023·甘肃陇南·统考一模）如图，点A、B、C在上，且，若，则的度数为 ．
9．（2023·江苏·九年级假期作业）（1）图①中有 条弧，分别为 ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ．
10．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为 ．
三、解答题
11．（2023·全国·九年级专题练习）已知点P到的最长距离为，最短距离为．试求的半径长．
12．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数．
13．（2023·全国·九年级专题练习）⊙O的半径r＝5 cm，圆心O到直线l的距离OD＝3 cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4 cm，QD＝5 cm，RD＝3 cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？
14．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，
(1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______．
15．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
专题07 圆压轴题七种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25268" 【典型例题】 PAGEREF _Tc25268 \h 1
\l "_Tc9293" 【考点一 圆的基本概念辨析】 PAGEREF _Tc9293 \h 1
\l "_Tc26483" 【考点二 求圆中弦的条数】 PAGEREF _Tc26483 \h 2
\l "_Tc17955" 【考点三 求过圆内一点的最长弦】 PAGEREF _Tc17955 \h 4
\l "_Tc12764" 【考点四 圆心角概念辨析】 PAGEREF _Tc12764 \h 5
\l "_Tc5828" 【考点五 求圆弧的度数】 PAGEREF _Tc5828 \h 6
\l "_Tc29056" 【考点六 判断点与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc29056 \h 10
\l "_Tc32742" 【考点七 利用点与圆的位置关系求半径】 PAGEREF _Tc32742 \h 11
\l "_Tc2069" 【过关检测】 PAGEREF _Tc2069 \h 14
【典型例题】
【考点一 圆的基本概念辨析】
例题：（2023春·七年级单元测试）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等
C．长度相等的弧是等弧D．圆既是轴对称图形又是中心对称
【答案】C
【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
【详解】A、直径是最长的弦，说法正确，故A选项不符合题意；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，故B选项不符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误，故C选项符合题意；
D、圆既是轴对称图形又是中心对称，说法正确，故D选项不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了圆的认识，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河北张家口·七年级河北省怀来县沙城中学校考期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据半圆和弦的定义进行判断即可．
【详解】半圆是弧，故①错误，②正确；
弧不一定是半圆，故③错误；
圆上任意两点间的线段叫做弦，故④错误．
∴正确的有1个．
故选D．
【点睛】本题考查了圆的认识．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键．
2．（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧B．直径是圆中最长的弦
C．弧是半圆D．三点确定一个圆
【答案】B
【分析】根据等弧、弦、弧的和定义和确定圆的条件逐项判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以A选项错误；
B、直径是圆中最长的弦，所以B选项正确；
C、弧不一定是半圆，而半圆是弧，所以C选项错误；
D、不共线的三点确定一个圆，所以D选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【考点二 求圆中弦的条数】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条B． 条C． 条D． 条
【答案】A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有，共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条．
【答案】三/3
【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论．
【详解】解：根据弦的定义可得：
图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故答案为：三．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．
【答案】 三/3 ，，
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可．
【详解】解：图中的弦有，，共三条．
故答案为：三；，，．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键．
【考点三 求过圆内一点的最长弦】
例题：（2023秋·河南周口·九年级校考期末）若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据直径是最长的弦即可求解．
【详解】解：∵若的直径长为，点，在上，
∴的长不可能是，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（ ）
A．3cmB．6cmC．1.5cmD．3cm
【答案】B
【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【详解】解：圆的直径为圆中最长的弦，
中最长的弦长为．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的认识：需要熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
2．（2023春·全国·九年级专题练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】D
【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．
【详解】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．
【考点四 圆心角概念辨析】
例题：（2023秋·九年级单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
D．是圆心角，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角
B．圆心角α的取值范围是
C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角
D．圆心角就是在圆心的角
【答案】C
【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案．
【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，
∴A、D错误，C正确；
∵圆心角α的取值范围是，
∴B错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断.
【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；
B、不是圆心角，故不符合题意；
C、是圆心角，故符合题意；
D、不是圆心角，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．
【考点五 求圆弧的度数】
例题：（2023春·九年级课时练习）如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接
∵，
∴
∵
∴
∴
∴的度数为：
故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·九年级单元测试）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
2．（2023春·九年级课时练习）如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（ ）
A．116B．120C．122D．128
【答案】D
【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和求得AM垂直平分BC，进而得到的度数，根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，
与圆O相切于A点，
，
，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，
的度数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出所对的圆周角．
【考点六 判断点与圆的位置关系】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知的半径为，若，那么点与的位置关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．都有可能
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：，
点在内．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．无法确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点A在圆上，
故选：B．
【点睛】题考查了点与圆的位置关系，能熟记点与圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知和一点A，点A到圆心O的距离为d， 的半径为r,①当时，点A在上，②当时，点A在内，③当时，点A在外，反之亦然．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点，均在圆外B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外D．点，均在圆内
【答案】C
【分析】由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：如图，
四边形为矩形，
，
，，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
点在圆内，点在圆外．
故选：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
【考点七 利用点与圆的位置关系求半径】
例题：（2023·上海·一模）如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先利用勾股定理得出的长，利用以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，得出r的取值范围即可．
【详解】解：如图，连接，
∵矩形矩形中，，，
∴，
∵以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，
∴半径r的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·统考二模）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ．
【答案】12
【分析】根据题意知的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵是内一点，
∴的直径为最小距离与最大距离的和，
∵最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴的直径为，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
2．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是 .
【答案】
【分析】因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，所以半径比大．点A在圆上或者圆外，所以半径小于或等于．
【详解】解：因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，
只有点B在圆内，点A可以在圆上或圆外．
因为点B在圆内，所以cm．
当点A在圆上时，cm．
当点A在圆外时，cm．
因此：．
故答案是：．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点A和点B与圆的位置，确定⊙C的半径．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．以为直径的圆B．的延长线C．的垂直平分线D．平行的直线
【答案】A
【分析】根据圆的有关概念即可分析判断．
【详解】解：∵线段的中点为，
∴，
∵，
∴，
∴点P在以点M为圆心，为直径的圆上，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的有关认识，掌握圆的有关概念是解题的关键．
2．（2023·全国·七年级假期作业）下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧B．半圆是弧
C．半径是弦D．弧是半圆
【答案】B
【分析】根据弧、弦、半圆的定义一一判断即可．
【详解】解：半径不是弦，没有与半径对应的弧，故A选项错误；
半圆是一种特殊的弧，故B选项正确；
半径不是弦，故C选项错误；
弧不一定是半圆，故D选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查圆的基本知识，掌握弧、弦、半圆的定义是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（ ）
A．3cmB．4cmC．3cm或4cmD．6cm
【答案】A
【分析】圆外一点，直径所在直线经过此点， 直径的远端点与此点的距离最远，近端点与此点距离最近．
【详解】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为1cm，到圆上点的最远距离为7cm，则圆的直径是（cm），因而半径是3cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆外一点与圆上点的距离问题，理解何时距离最远、最近是解题的关键．
4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】由勾股定理求出的长度，再由点C在内且点B在外求解．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
∵点C在内且点B在外，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理、明确判断的方法．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，长方形中，，，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】A
【分析】先根据两圆外切求出圆A的半径，连接，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵，圆B半径为1，圆A与圆B外切，
∴圆A的半径为，
∵，
∴点D在圆内，
连接，
∵，
∴，
∴点C在圆外，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．
二、填空题
6．（2023·浙江·九年级假期作业）已知的半径为2cm，则最长的弦为 cm．
【答案】4
【分析】根据直径是圆中最长的弦解答即可．
【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为2cm，
∴最长的弦为4 cm，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了圆的性质，正确理解直径是圆中最长的弦是解题的关键．
7．（2023·浙江·九年级假期作业）已知圆O的半径为1，A是圆O内一点，如果将线段的长记为d，那么d的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据点在圆内，，可得结论．
【详解】解：点在圆内，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外②点在圆上．③点在圆内．
8．（2023·甘肃陇南·统考一模）如图，点A、B、C在上，且，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据圆的半径相等，可得，再根据平行线的性质，可得，进而求解即可．
【详解】解：∵点A、B、C在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是掌握与圆有关的概念和性质．
9．（2023·江苏·九年级假期作业）（1）图①中有 条弧，分别为 ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ．
【答案】 2； , ； ； ； ．
【分析】（1）根据弧的定义求解可得；
（2）根据半圆、劣弧、优弧概念求解可得．
【详解】解：（1）图①中有2条弧，分别为 , ；
故答案为：2， , ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；
劣弧： ；优弧：．
故答案为： ； ；．
【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握优弧、半圆、劣弧的概念．
10．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为 ．
【答案】3或2
【分析】本题应分两种情况进行讨论，当P在圆内，直径长度为，半径为3；当P在圆外，直径长度为，半径为2．
【详解】解：∵当P在圆内，直径长度为，半径为3，
当P在圆外，直径长度为，半径为2，
∴的半径为3或2．
故答案为：3或2．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意分类讨论．
三、解答题
11．（2023·全国·九年级专题练习）已知点P到的最长距离为，最短距离为．试求的半径长．
【答案】或
【分析】分两种情况进行讨论：①点P在圆内；②点P在圆外，进行计算即可
【详解】解：①当P在外时，如图，
∵P当的最长距离是为，最短距离为，
∴，
∴，
∴的半径为'；
当P在内时，
，
此时，
的半径为．
即的半径长为或．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键．
12．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数．
【答案】
【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到．
【详解】解：连接，如图，
∵弧的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵弦，
∴．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
13．（2023·全国·九年级专题练习）⊙O的半径r＝5 cm，圆心O到直线l的距离OD＝3 cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4 cm，QD＝5 cm，RD＝3 cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？
【答案】点P在⊙O上；点Q在⊙O外；点R在⊙O内．
【分析】连接OR、OP、OQ，根据勾股定理求得OR、OP、OQ的长，再与半径比较即可解答.
【详解】如图，连接OR，OP，OQ.
∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且OD⊥l，∴OP＝＝＝5(cm)＝r，
∴点P在⊙O上；
∵QD＝5 cm，∴OQ＝＝＝ (cm)>5 cm＝r，
∴点Q在⊙O外；∵RD＝3 cm，
∴OR＝＝＝3 (cm)<5 cm＝r，
∴点R在⊙O内．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是首先根据勾股定理算出点到圆心的距离，再比较点到圆心的距离与圆半径大小关系完成判定．
14．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，
(1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______．
【答案】(1)作图见解析，点B在圆上，点C和点D在圆外
(2)6【分析】（1）根据题意画出图形， 结合图形即可判断点与圆的位置关系．
（2）根据勾股定理计算出对角线AC的长度，则半径的取值范围为AB【详解】（1）
由图可知：点B在圆上，点C和点D在圆外．
（2）连接AC，在Rt△ABC中，AC=，
∴6故答案为：6【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
15．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
【答案】（1）r<3时，点A在⊙C外；（2）3【分析】（1）根据点A在圆外，则点A到圆心C的距离大于半径r，从而可得r的取值；
（2）根据点A在圆内，则点A到圆心C的距离小于半径r，根据点B在圆外，则点B到圆心C的距离大于半径r，两者结合起来即可得到r的取值范围．
【详解】（1）点A在⊙C外，则AC>r，即r<3
即当r<3时，点A在⊙C外；
（2）点A在⊙C内，则AC3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4，
综合起来，当3【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可确定点与圆的位置关系，掌握它是解答本题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25268" 【典型例题】 PAGEREF _Tc25268 \h 1
\l "_Tc9293" 【考点一 圆的基本概念辨析】 PAGEREF _Tc9293 \h 1
\l "_Tc26483" 【考点二 求圆中弦的条数】 PAGEREF _Tc26483 \h 2
\l "_Tc17955" 【考点三 求过圆内一点的最长弦】 PAGEREF _Tc17955 \h 4
\l "_Tc12764" 【考点四 圆心角概念辨析】 PAGEREF _Tc12764 \h 5
\l "_Tc5828" 【考点五 求圆弧的度数】 PAGEREF _Tc5828 \h 6
\l "_Tc29056" 【考点六 判断点与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc29056 \h 10
\l "_Tc32742" 【考点七 利用点与圆的位置关系求半径】 PAGEREF _Tc32742 \h 11
\l "_Tc2069" 【过关检测】 PAGEREF _Tc2069 \h 14
【典型例题】
【考点一 圆的基本概念辨析】
例题：（2023春·七年级单元测试）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等
C．长度相等的弧是等弧D．圆既是轴对称图形又是中心对称
【变式训练】
1．（2023秋·河北张家口·七年级河北省怀来县沙城中学校考期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧．
A．B．C．D．
2．（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧B．直径是圆中最长的弦
C．弧是半圆D．三点确定一个圆
【考点二 求圆中弦的条数】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条B． 条C． 条D． 条
【变式训练】
1．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．
【考点三 求过圆内一点的最长弦】
例题：（2023秋·河南周口·九年级校考期末）若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
1．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（ ）
A．3cmB．6cmC．1.5cmD．3cm
2．（2023春·全国·九年级专题练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．8B．10C．12D．14
【考点四 圆心角概念辨析】
例题：（2023秋·九年级单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角
B．圆心角α的取值范围是
C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角
D．圆心角就是在圆心的角
2．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
【考点五 求圆弧的度数】
例题：（2023春·九年级课时练习）如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·九年级单元测试）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
2．（2023春·九年级课时练习）如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（ ）
A．116B．120C．122D．128
【考点六 判断点与圆的位置关系】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知的半径为，若，那么点与的位置关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．都有可能
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．无法确定
2．（2023·浙江·九年级假期作业）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点，均在圆外B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外D．点，均在圆内
【考点七 利用点与圆的位置关系求半径】
例题：（2023·上海·一模）如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·统考二模）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ．
2．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是 .
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．以为直径的圆 B．的延长线 C．的垂直平分线D．平行的直线
2．（2023·全国·七年级假期作业）下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧B．半圆是弧
C．半径是弦D．弧是半圆
3．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（ ）
A．3cmB．4cmC．3cm或4cmD．6cm
4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，长方形中，，，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
二、填空题
6．（2023·浙江·九年级假期作业）已知的半径为2cm，则最长的弦为 cm．
7．（2023·浙江·九年级假期作业）已知圆O的半径为1，A是圆O内一点，如果将线段的长记为d，那么d的取值范围是 ．
8．（2023·甘肃陇南·统考一模）如图，点A、B、C在上，且，若，则的度数为 ．
9．（2023·江苏·九年级假期作业）（1）图①中有 条弧，分别为 ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ．
10．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为 ．
三、解答题
11．（2023·全国·九年级专题练习）已知点P到的最长距离为，最短距离为．试求的半径长．
12．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数．
13．（2023·全国·九年级专题练习）⊙O的半径r＝5 cm，圆心O到直线l的距离OD＝3 cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4 cm，QD＝5 cm，RD＝3 cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？
14．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，
(1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______．
15．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
专题07 圆压轴题七种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25268" 【典型例题】 PAGEREF _Tc25268 \h 1
\l "_Tc9293" 【考点一 圆的基本概念辨析】 PAGEREF _Tc9293 \h 1
\l "_Tc26483" 【考点二 求圆中弦的条数】 PAGEREF _Tc26483 \h 2
\l "_Tc17955" 【考点三 求过圆内一点的最长弦】 PAGEREF _Tc17955 \h 4
\l "_Tc12764" 【考点四 圆心角概念辨析】 PAGEREF _Tc12764 \h 5
\l "_Tc5828" 【考点五 求圆弧的度数】 PAGEREF _Tc5828 \h 6
\l "_Tc29056" 【考点六 判断点与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc29056 \h 10
\l "_Tc32742" 【考点七 利用点与圆的位置关系求半径】 PAGEREF _Tc32742 \h 11
\l "_Tc2069" 【过关检测】 PAGEREF _Tc2069 \h 14
【典型例题】
【考点一 圆的基本概念辨析】
例题：（2023春·七年级单元测试）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等
C．长度相等的弧是等弧D．圆既是轴对称图形又是中心对称
【答案】C
【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
【详解】A、直径是最长的弦，说法正确，故A选项不符合题意；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，故B选项不符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误，故C选项符合题意；
D、圆既是轴对称图形又是中心对称，说法正确，故D选项不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了圆的认识，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河北张家口·七年级河北省怀来县沙城中学校考期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据半圆和弦的定义进行判断即可．
【详解】半圆是弧，故①错误，②正确；
弧不一定是半圆，故③错误；
圆上任意两点间的线段叫做弦，故④错误．
∴正确的有1个．
故选D．
【点睛】本题考查了圆的认识．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键．
2．（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧B．直径是圆中最长的弦
C．弧是半圆D．三点确定一个圆
【答案】B
【分析】根据等弧、弦、弧的和定义和确定圆的条件逐项判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以A选项错误；
B、直径是圆中最长的弦，所以B选项正确；
C、弧不一定是半圆，而半圆是弧，所以C选项错误；
D、不共线的三点确定一个圆，所以D选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【考点二 求圆中弦的条数】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条B． 条C． 条D． 条
【答案】A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有，共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条．
【答案】三/3
【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论．
【详解】解：根据弦的定义可得：
图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故答案为：三．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．
【答案】 三/3 ，，
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可．
【详解】解：图中的弦有，，共三条．
故答案为：三；，，．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键．
【考点三 求过圆内一点的最长弦】
例题：（2023秋·河南周口·九年级校考期末）若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据直径是最长的弦即可求解．
【详解】解：∵若的直径长为，点，在上，
∴的长不可能是，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（ ）
A．3cmB．6cmC．1.5cmD．3cm
【答案】B
【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【详解】解：圆的直径为圆中最长的弦，
中最长的弦长为．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的认识：需要熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
2．（2023春·全国·九年级专题练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】D
【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．
【详解】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．
【考点四 圆心角概念辨析】
例题：（2023秋·九年级单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
D．是圆心角，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角
B．圆心角α的取值范围是
C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角
D．圆心角就是在圆心的角
【答案】C
【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案．
【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，
∴A、D错误，C正确；
∵圆心角α的取值范围是，
∴B错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断.
【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；
B、不是圆心角，故不符合题意；
C、是圆心角，故符合题意；
D、不是圆心角，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．
【考点五 求圆弧的度数】
例题：（2023春·九年级课时练习）如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接
∵，
∴
∵
∴
∴
∴的度数为：
故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·九年级单元测试）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
2．（2023春·九年级课时练习）如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（ ）
A．116B．120C．122D．128
【答案】D
【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和求得AM垂直平分BC，进而得到的度数，根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，
与圆O相切于A点，
，
，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，
的度数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出所对的圆周角．
【考点六 判断点与圆的位置关系】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知的半径为，若，那么点与的位置关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．都有可能
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：，
点在内．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．无法确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点A在圆上，
故选：B．
【点睛】题考查了点与圆的位置关系，能熟记点与圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知和一点A，点A到圆心O的距离为d， 的半径为r,①当时，点A在上，②当时，点A在内，③当时，点A在外，反之亦然．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点，均在圆外B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外D．点，均在圆内
【答案】C
【分析】由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：如图，
四边形为矩形，
，
，，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
点在圆内，点在圆外．
故选：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
【考点七 利用点与圆的位置关系求半径】
例题：（2023·上海·一模）如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先利用勾股定理得出的长，利用以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，得出r的取值范围即可．
【详解】解：如图，连接，
∵矩形矩形中，，，
∴，
∵以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，
∴半径r的取值范围是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·统考二模）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ．
【答案】12
【分析】根据题意知的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵是内一点，
∴的直径为最小距离与最大距离的和，
∵最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴的直径为，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
2．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是 .
【答案】
【分析】因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，所以半径比大．点A在圆上或者圆外，所以半径小于或等于．
【详解】解：因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，
只有点B在圆内，点A可以在圆上或圆外．
因为点B在圆内，所以cm．
当点A在圆上时，cm．
当点A在圆外时，cm．
因此：．
故答案是：．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点A和点B与圆的位置，确定⊙C的半径．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．以为直径的圆B．的延长线C．的垂直平分线D．平行的直线
【答案】A
【分析】根据圆的有关概念即可分析判断．
【详解】解：∵线段的中点为，
∴，
∵，
∴，
∴点P在以点M为圆心，为直径的圆上，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的有关认识，掌握圆的有关概念是解题的关键．
2．（2023·全国·七年级假期作业）下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧B．半圆是弧
C．半径是弦D．弧是半圆
【答案】B
【分析】根据弧、弦、半圆的定义一一判断即可．
【详解】解：半径不是弦，没有与半径对应的弧，故A选项错误；
半圆是一种特殊的弧，故B选项正确；
半径不是弦，故C选项错误；
弧不一定是半圆，故D选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查圆的基本知识，掌握弧、弦、半圆的定义是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（ ）
A．3cmB．4cmC．3cm或4cmD．6cm
【答案】A
【分析】圆外一点，直径所在直线经过此点， 直径的远端点与此点的距离最远，近端点与此点距离最近．
【详解】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为1cm，到圆上点的最远距离为7cm，则圆的直径是（cm），因而半径是3cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆外一点与圆上点的距离问题，理解何时距离最远、最近是解题的关键．
4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】由勾股定理求出的长度，再由点C在内且点B在外求解．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
∵点C在内且点B在外，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理、明确判断的方法．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，长方形中，，，圆B半径为1，圆A与圆B外切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】A
【分析】先根据两圆外切求出圆A的半径，连接，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵，圆B半径为1，圆A与圆B外切，
∴圆A的半径为，
∵，
∴点D在圆内，
连接，
∵，
∴，
∴点C在圆外，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．
二、填空题
6．（2023·浙江·九年级假期作业）已知的半径为2cm，则最长的弦为 cm．
【答案】4
【分析】根据直径是圆中最长的弦解答即可．
【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为2cm，
∴最长的弦为4 cm，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了圆的性质，正确理解直径是圆中最长的弦是解题的关键．
7．（2023·浙江·九年级假期作业）已知圆O的半径为1，A是圆O内一点，如果将线段的长记为d，那么d的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据点在圆内，，可得结论．
【详解】解：点在圆内，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外②点在圆上．③点在圆内．
8．（2023·甘肃陇南·统考一模）如图，点A、B、C在上，且，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据圆的半径相等，可得，再根据平行线的性质，可得，进而求解即可．
【详解】解：∵点A、B、C在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是掌握与圆有关的概念和性质．
9．（2023·江苏·九年级假期作业）（1）图①中有 条弧，分别为 ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ．
【答案】 2； , ； ； ； ．
【分析】（1）根据弧的定义求解可得；
（2）根据半圆、劣弧、优弧概念求解可得．
【详解】解：（1）图①中有2条弧，分别为 , ；
故答案为：2， , ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；
劣弧： ；优弧：．
故答案为： ； ；．
【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握优弧、半圆、劣弧的概念．
10．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为 ．
【答案】3或2
【分析】本题应分两种情况进行讨论，当P在圆内，直径长度为，半径为3；当P在圆外，直径长度为，半径为2．
【详解】解：∵当P在圆内，直径长度为，半径为3，
当P在圆外，直径长度为，半径为2，
∴的半径为3或2．
故答案为：3或2．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意分类讨论．
三、解答题
11．（2023·全国·九年级专题练习）已知点P到的最长距离为，最短距离为．试求的半径长．
【答案】或
【分析】分两种情况进行讨论：①点P在圆内；②点P在圆外，进行计算即可
【详解】解：①当P在外时，如图，
∵P当的最长距离是为，最短距离为，
∴，
∴，
∴的半径为'；
当P在内时，
，
此时，
的半径为．
即的半径长为或．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键．
12．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数．
【答案】
【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到．
【详解】解：连接，如图，
∵弧的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵弦，
∴．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
13．（2023·全国·九年级专题练习）⊙O的半径r＝5 cm，圆心O到直线l的距离OD＝3 cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4 cm，QD＝5 cm，RD＝3 cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？
【答案】点P在⊙O上；点Q在⊙O外；点R在⊙O内．
【分析】连接OR、OP、OQ，根据勾股定理求得OR、OP、OQ的长，再与半径比较即可解答.
【详解】如图，连接OR，OP，OQ.
∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且OD⊥l，∴OP＝＝＝5(cm)＝r，
∴点P在⊙O上；
∵QD＝5 cm，∴OQ＝＝＝ (cm)>5 cm＝r，
∴点Q在⊙O外；∵RD＝3 cm，
∴OR＝＝＝3 (cm)<5 cm＝r，
∴点R在⊙O内．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是首先根据勾股定理算出点到圆心的距离，再比较点到圆心的距离与圆半径大小关系完成判定．
14．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，
(1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______．
【答案】(1)作图见解析，点B在圆上，点C和点D在圆外
(2)6
（2）根据勾股定理计算出对角线AC的长度，则半径的取值范围为AB
由图可知：点B在圆上，点C和点D在圆外．
（2）连接AC，在Rt△ABC中，AC=，
∴6
15．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
【答案】（1）r<3时，点A在⊙C外；（2）3
（2）根据点A在圆内，则点A到圆心C的距离小于半径r，根据点B在圆外，则点B到圆心C的距离大于半径r，两者结合起来即可得到r的取值范围．
【详解】（1）点A在⊙C外，则AC>r，即r<3
即当r<3时，点A在⊙C外；
（2）点A在⊙C内，则AC
综合起来，当3
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