苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题12图形的位似压轴题六种模型全攻略特训(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题12图形的位似压轴题六种模型全攻略特训(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了位似图形相关概念辨析，求位似图形的对应坐标，在坐标系中画位似图形，判断位似中心及求解位似中心，求两个位似图形的相似比等内容，欢迎下载使用。

考点一 位似图形相关概念辨析 考点二 判断位似中心及求解位似中心
考点三 求位似图形的对应坐标 考点四 求两个位似图形的相似比
考点五 在坐标系中画位似图形 考点六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
典型例题

考点一 位似图形相关概念辨析
例题：（2023·河北·九年级专题练习）和是位似图形，位似中心是点O，下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．直线经过点OD．直线、和相交于一点
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（ ）
A．8B．9C．10D．15
2．（2022·山东滨州·九年级期末）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是( )
A．B．
C．D．直线经过点
考点二 判断位似中心及求解位似中心
例题：（2021·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点PB．点OC．点MD．点N
【变式训练】
1．（2022·四川德阳·二模）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是_____．
2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，图中的小方格是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出与'的位似比；
（3）以点O为位似中心，在图中画一个，使它与的位似比等于3∶2．
考点三 求位似图形的对应坐标
例题：（2021·湖南·李达中学九年级阶段练习）已知△AOB和是以点O为位似中心的位似图形 ，且△AOB和的周长之比为1:2，点B的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为________．
2．（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为，则点A的对应点A1的坐标为_______．
考点四 求两个位似图形的相似比
例题：（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（ ）
A．4：9B．2：5C．2：3D．2：3
【变式训练】
1．（2022·重庆南开中学三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC位似，点C为位似中心，，若△ABC的面积是1，则△DEC的面积是（ ）
A．3B．4C．9D．16
2．（2022·重庆·中考真题）如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4B．6C．9D．16
3．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是_____．
考点五 在坐标系中画位似图形
例题：（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形，若AD＝6，A'D'＝4，则菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比为______．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点A，D在∠XOY的边OX上，点B，E在OY边上，射线OZ在∠XOY内，且点C，F在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．．
(1)试说明△ABC与△DEF是位似图形；
(2)求△ABC与△DEF的位似比．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心为M．
(1)写出D点的坐标；
(2)在图中画出M点，并求M点的坐标．
考点六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ ABO的位似比为．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校九年级期末）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到，请画出；
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的位似比为2：1．
2．（2021·江苏·仪征市古井中学九年级期末）如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中，
(1)画出向上平移个单位，再向右平移个单位后的；
(2)以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出；
(3)直接写出的面积，及，的坐标．
课后训练
一、选择题
1．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，若，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·九年级课时练习）下列三个关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
3．（2022·山西太原·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（ ）
A．（8，0）B．（8，1）C．（10，0）D．（10，1）
4．（2023·浙江·翠苑中学九年级阶段练习）如图四个图中，均与相似，且对应点交于一点，则与成位似图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
5．（2020·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图所示，与是位似图形，点是位似中心，若，，则___________．
6．（2022·甘肃·平凉市第十中学九年级阶段练习）如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，则五边形的周长与五边形的周长比是______．
7．（2022·福建·宁德市博雅培文学校九年级阶段练习）如图，是反比例函数（）图像上一点，点、在轴正半轴上，是关于点的位似图形，且与的位似比是1：3，的面积为1，则该反比例函数的表达式为______．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________.
三、解答题
9．（2022·广东·江门市第二中学九年级开学考试）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系
10．（2022·安徽亳州·九年级期末）如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给出了三角形ABC．
（1）作出关于x轴对称的；
（2）以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出的位似图形，使与的位似比为1：2；
（3）若的面积为3.5平方单位，求出的面积．
11．（2022·山东·济南外国语学校九年级阶段练习）如图所示，小华在学习（图形的位似）时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
(1)在图中标出与的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标；
(2)若以点O为位似中心，与是位似图形，且与的位似比为，则满足条件的点坐标为______．
(3)请你帮小华在图中给定的网格内画出．
12．（2022·山西晋中·九年级期末）如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
（1）在图中标出与的位似中心点的位置，并写出点的坐标______；
（2）若以点为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出的位似图形，且与的位似比为2：1．
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．
专题12 图形的位似压轴题六种模型全攻略
考点一 位似图形相关概念辨析 考点二 判断位似中心及求解位似中心
考点三 求位似图形的对应坐标 考点四 求两个位似图形的相似比
考点五 在坐标系中画位似图形 考点六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
典型例题

考点一 位似图形相关概念辨析
例题：（2023·河北·九年级专题练习）和是位似图形，位似中心是点O，下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．直线经过点OD．直线、和相交于一点
【答案】B
【分析】依据位似变换的性质逐项判断即可．
【详解】∵和关于点O位似，
∴，且直线、和相交于一点O，即选项C、D正确；
如图，作出直线、和，三者交于O点，
根据位似变换的性质有：，故A答案合理；
根据位似变换的性质有：和交于点O，故B答案不合理；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一个点，也考查了平行线的判定和相似三角形的性质．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（ ）
A．8B．9C．10D．15
【答案】B
【分析】根据位似比的概念解答即可．
【详解】解：图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比．
2．（2022·山东滨州·九年级期末）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是( )
A．B．
C．D．直线经过点
【答案】B
【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．
【详解】解：∵以点为位似中心，把放大2倍得到，
∴，，直线经过点，，
∴，
∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似三角形的性质是解题的关键．
考点二 判断位似中心及求解位似中心
例题：（2021·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点PB．点OC．点MD．点N
【答案】A
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
【详解】点P在对应点M和点N所在直线上，
∴两个三角形的位似中心是：点P．
故选A．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·四川德阳·二模）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是_____．
【答案】（﹣4，﹣3）
【分析】根据位似图形的性质，对应点的连线交于一点则可得出答案．
【详解】解：△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，
则连接和并延长相交，交点即为P点，
如图所示，P点的坐标为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，得出位似图形对应点的连线交于一点是解题的关键．
2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，图中的小方格是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出与'的位似比；
（3）以点O为位似中心，在图中画一个，使它与的位似比等于3∶2．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即位似比为3：6=1：2；
（3）要画△A2B2C2，先确定点A2的位置，再过点A2画A2B2∥AB交O B′于B2，过点A2画A2C2∥AC交OC′于C2．
【详解】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）与的位似比为：；
（3）如图所示，即为所求．
【点睛】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
考点三 求位似图形的对应坐标
例题：（2021·湖南·李达中学九年级阶段练习）已知△AOB和是以点O为位似中心的位似图形 ，且△AOB和的周长之比为1:2，点B的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，依据△AOB和△A1O相似，且周长之比为1：2，即可得到，再根据△BOC∽△OD，可得OD=2OC=4，D=2BC=2，进而得出点B1的坐标为（2，-4）或（-2，4）．
【详解】解：如图，过B作BC⊥y轴于C，过作D⊥y轴于D，
∵点B的坐标为（-1，2），
∴BC=1，OC=2，
∵△AOB和△O相似，且周长之比为1：2，
∴，
∵∠BCO=∠DO=90°，∠BOC=∠OD，
∴△BOC∽△OD，
∴OD=2OC=4， D=2BC=2，
∴点的坐标为（2，-4），
同理点（-2，4）也符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为________．
【答案】
【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,根据此题是线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），
∴AC的中点是（4，3），
∵将△ABC缩小为原来的一半，
∴线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律，利用图形得出AC的中点坐标是解题关键．
2．（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为，则点A的对应点A1的坐标为_______．
【答案】（-2，1）或（2，-1）
【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k计算，得到答案．
【详解】解∶∵以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到，与△AOB的位似比为，
∴点的对应点的横纵坐标与点A的横纵坐标的比值为或，
∵A（-4，2），
∴的坐标为或， 即(-2，1)或(2，-1)，
故答案为∶(-2，1)或(2，-1)．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解题的关键．
考点四 求两个位似图形的相似比
例题：（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（ ）
A．4：9B．2：5C．2：3D．2：3
【答案】A
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，，
，
四边形与四边形的面积比为：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，解题的关键是掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质．
【变式训练】
1．（2022·重庆南开中学三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC位似，点C为位似中心，，若△ABC的面积是1，则△DEC的面积是（ ）
A．3B．4C．9D．16
【答案】C
【分析】结合题意，根据位似的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵△ABC与△DEC位似，点C为位似中心，，
∴
∵△ABC的面积是1，
∴△DEC的面积是9
故选：C．
【点睛】本题考查了位似的知识，解题的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解．
2．（2022·重庆·中考真题）如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4B．6C．9D．16
【答案】B
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
3．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是_____．
【答案】2
【分析】根据位似的定义，即可得出位似比=OA：OC，而与周长的比值等于位似比，即可得出答案．
【详解】∵与位似，位似中心是坐标原点O，点，点
∴OA=4，OC=2
∴与的位似比为：4：2=2：1
∴与周长的比值为：2：1
故答案为：2．
【点睛】本题考查了求位似图形的周长之比，求出位似比是本题的关键．
考点五 在坐标系中画位似图形
例题：（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形，若AD＝6，A'D'＝4，则菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比为______．
【答案】23##
【分析】根据位似图形的位似比等于对应边的比，即可得出结论．
【详解】解：菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形
菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比=
故答案为：23．
【点睛】本题考查了位似比的定义，掌握位似图形的相关概念是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点A，D在∠XOY的边OX上，点B，E在OY边上，射线OZ在∠XOY内，且点C，F在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．．
(1)试说明△ABC与△DEF是位似图形；
(2)求△ABC与△DEF的位似比．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据两直线平行同位角相等得到∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB，再根据两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，最终得到△ACB∽△DFE；
（2）根据三角形的相似比等于相应边长的比即可得到答案．
（1）
∵AC∥DF，BC∥EF，
∴∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB， ，，
∴∠DFE＝∠ACB，，
∴△ACB∽△DFE，
因为两个相似三角形的对应点所在直线交于点O，且对应边平行，
∴△ABC与△DEF是位似图形；
（2）
∵△ABC与△DEF是位似图形，，
∴△ABC与△DEF的位似比为：．
【点睛】本题考查平行线和相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法及性质．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心为M．
(1)写出D点的坐标；
(2)在图中画出M点，并求M点的坐标．
【答案】(1)
(2)画图见解析，
【分析】（1）首先过点作于点，由与是位似图形，，，，，可得，，，即可求得位似比，继而求得答案；
（2）首先连接并延长，交轴于点，则点即为与的位似中心；然后根据位似图形的性质，可得，继而求得答案．
（1）
解：过点作于点，
与是位似图形，，，，，
，，，
位似比为：，
，，
点的坐标为：；
（2）
连接并延长，交轴于点，则点即为与的位似中心；
则，
设，则，
，
解得：，
点的坐标为．
【点睛】此题考查了位似图形的定义与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意位似图形是特殊的相似图形．
考点六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ ABO的位似比为．
【答案】见详解
【分析】由位似比求出对应点坐标有两种情况，分别求出两组对应点坐标，然后在平面直角坐标系描点连接即可
【详解】解：由位似比为求得：对应点坐标分别为，
或者，，
O点是位似中心，所以位置不变，
所以，下图或都为满足题意的位似图形．
【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应点的坐标．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校九年级期末）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到，请画出；
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的位似比为2：1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可．
（1）
解：如图，即为所求．
；
（2）
解：如图，即为所求．
【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．
2．（2021·江苏·仪征市古井中学九年级期末）如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中，
(1)画出向上平移个单位，再向右平移个单位后的；
(2)以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出；
(3)直接写出的面积，及，的坐标．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)9，
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出的坐标，然后描点即可；
（2）延长BA到使，延长BC到使，从而得到；
（3）利用三角形面积公式的面积，然后利用（1）、（2）中所画图形写出 的坐标．
（1）
解：如图所示，即为所求；
（2）
解：如图所示，即为所求；
（3）
解：由题意得：，
【点睛】本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
课后训练
一、选择题
1．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，若，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且都在同一侧的两个位似图形，其坐标比等于相似比，相似比为，则对应的坐标比也为，即可解得点C的坐标．
【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，点的坐标为，
∴点C的坐标为，即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）下列三个关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】B
【分析】根据位似图形与相似图形之间的联系和区别去判断即可．
【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；
位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；
位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误；
正确答案为：②③
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形与相似图形之间的联系和区别，如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比．
3．（2022·山西太原·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（ ）
A．（8，0）B．（8，1）C．（10，0）D．（10，1）
【答案】C
【分析】连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心．
【详解】解：如图，点E即为位似中心，E（10，0），
故选：C．
【点睛】此题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键．
4．（2023·浙江·翠苑中学九年级阶段练习）如图四个图中，均与相似，且对应点交于一点，则与成位似图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】直接利用位似图形的性质分析判断得出答案．
【详解】解：图1中，与成位似图形；
图2中，∵与不平行，与不平行，∴与不成位似图形；
图3中，与成位似图形；
图4中，与成位似图形；
综上，与成位似图形的有图1、图3、图4，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似变换，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点所在直线的交点是位似中心．
二、填空题
5．（2020·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图所示，与是位似图形，点是位似中心，若，，则___________．
【答案】18
【分析】由位似图形的性质可得从而可得答案．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，
∵点是位似中心，
∴ 而，
∴
故答案为：18.
【点睛】本题考查的是位似图形的性质，掌握“相似三角形的面积之比是相似比的平方”是解本题的关键．
6．（2022·甘肃·平凉市第十中学九年级阶段练习）如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，则五边形的周长与五边形的周长比是______．
【答案】1：2
【分析】根据已知可得五边形ABCDE的周长与五边形的位似比，然后由相似多边形的性质可证得：五边形ABCDE的周长与五边形的周长比．
【详解】以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，，，
五边形的周长与五边形的位似比为：：：，
五边形的周长与五边形的周长比是：：．
故答案为1:2．
【点睛】此题考查了位似图形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题关键．
7．（2022·福建·宁德市博雅培文学校九年级阶段练习）如图，是反比例函数（）图像上一点，点、在轴正半轴上，是关于点的位似图形，且与的位似比是1：3，的面积为1，则该反比例函数的表达式为______．
【答案】
【分析】设点A的坐标为（a，），根据位似比即可得出BD的长度，根据的面积为1，即可求出k的值．
【详解】解：设点A的横坐标为a，
∵点A在反比例函数图像上，
∴点A的纵坐标为反比例函数，即A（a，），
∴B（0，），则OB=，AB=a，
∵与的位似比是1：3，
∴，
∴BD==，
∵的面积为1，
∴，则：，解得：k=8．
∴该反比例函数的表达式为：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的位似以及反比例函数的图像和性质，熟练掌握相关内容，通过位似比和三角形的面积求出k的值是解题的关键．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________.
【答案】或
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.
【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，
∴
（1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点.
设AG所在的直线的解析式为
解得
∴AG所在的直线的解析式为
当时，，所以EC与AG的交点为
（2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点
设AE所在的直线的解析式为
解得
∴AE所在的直线的解析式为
设CG所在的直线的解析式为
解得
∴AG所在的直线的解析式为
联立解得
∴AE与CG的交点为
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或
故答案为或
【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键.
三、解答题
9．（2022·广东·江门市第二中学九年级开学考试）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系
【答案】（1）见解析；（2）2:1；（3）见解析
【分析】（1）各对应点连线所在直线的交点即为位似中心；
（2）任意一对对应边的比即为两三角形的位似比；
（3）以位似中心为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系即可．
【详解】（1）如图，各对应点连线所在直线的交点即为位似中心O；
（2）
△ABC与的位似比为；
（3）如图，以位似中线为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．
【点睛】本题考查了位似图形位似比与位似中心的确定，注意位似比为所给两三角形对应边的比，位置不能颠倒，掌握位似图形的性质是解题的关键．
10．（2022·安徽亳州·九年级期末）如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给出了三角形ABC．
（1）作出关于x轴对称的；
（2）以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出的位似图形，使与的位似比为1：2；
（3）若的面积为3.5平方单位，求出的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）14平方单位．
【分析】（1）根据轴对称性质即可画出△ABC关于x轴对称的；
（2）根据位似图形的性质即可画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为1：2;（3）利用相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：（1）如图，，即为所求作；
（2）如图，，即为所求作；
（3）∵与的位似比为1：2，
∴∽，，
∴，
∵的面积为3.5平方单位，即的面积为3.5平方单位，
∴的面积为：2=4×3.5=14平方单位．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．（2022·山东·济南外国语学校九年级阶段练习）如图所示，小华在学习（图形的位似）时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
(1)在图中标出与的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标；
(2)若以点O为位似中心，与是位似图形，且与的位似比为，则满足条件的点坐标为______．
(3)请你帮小华在图中给定的网格内画出．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）对应点连接的交点即为位似中心；
（2）利用方格特点，在直线上找出点使得，写出点坐标即可；
（3）利用位似性质作图即可．
（1）
解：如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为；
（2）
解：在直线上找出点使得，
当点在第三象限时，坐标为，
当点在第一象限时，坐标为，
即满足条件的点坐标为或；
（3）
解：当点在第三象限时，如下图所示：
当点在第一象限时，如下图所示：
【点睛】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）．
12．（2022·山西晋中·九年级期末）如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
（1）在图中标出与的位似中心点的位置，并写出点的坐标______；
（2）若以点为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出的位似图形，且与的位似比为2：1．
【答案】（1）见解析，；（2）见解析
【分析】（1）连接 交于点M，则点M即为所求，然后分别求出直线 和的解析式，即可求解；
（2）根据题意可得：分两种情况：当点 在线段 上，且 ，点 在线段 上，且时；当点 在线段 延长线上，且 ，点 在线段 延长线上，且时，讨论即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接 交于点M，则点M即为所求，
根据题意得：点 ，
设直线 的解析式为 ，
把点代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
同理直线 的解析式为 ，
联立，得：，解得： ，
∴点的坐标为 ；
（2）∵以点为位似中心，且与的位似比为2：1，
当点 在线段 上，且 ，点 在线段 上，且时，
∵，
∴点，点，
当点 在线段 延长线上，且 ，点 在线段 延长线上，且时，
∵，
∴， ．
画出图形，如图所示：
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，画位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3
(2)存在，（1，5）或（1，﹣5）
(3)（3，0）或
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）根据抛物线的对称性以及菱形的对称性求得点的坐标；
（3）根据（2）的结论找到位似中心，分类讨论，根据相似的性质即可求解．
（1）
∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）
根据题意为对称轴上的点，为的垂直平分线上的点，
B（3，0）
则
当时，y＝﹣2+3+3=；
设直线PB的解析式为y＝mx+n，
则有，
解得．
∴直线PB的解析式为y＝x+．
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴xQ＝1，yQ＝×1+＝5，
∴点Q的坐标为（1，5）
根据对称性点Q坐标还可以为（1，﹣5）．
（3）
①如图，由（2）可得△QAB△POB，△QAB与△POB位似，则，
又交于点,则位似中心为点B，点B的坐标为（3，0）．
②如图，若当Q点坐标（1，﹣5）时,设与轴的交点为，则位似中心为，
由（2）可得△QAB△POB，则，
又
，，
解得
则当Q点坐标（1，﹣5）时，位似中心坐标为（，0）；
综上所述，位似中心坐标为（3，0）或（，0）
【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的性质与判定，翻折的性质，菱形的性质，位似图形的性质，掌握以上知识是解题的关键．