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苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题13弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略(原卷版+解析)
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这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题13弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略(原卷版+解析)，共47页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc23805" 【典型例题】 PAGEREF _Tc23805 \h 1
\l "_Tc8679" 【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】 PAGEREF _Tc8679 \h 1
\l "_Tc31048" 【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】 PAGEREF _Tc31048 \h 2
\l "_Tc184" 【考点三 求某点的弧形运动路径长度】 PAGEREF _Tc184 \h 3
\l "_Tc481" 【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 PAGEREF _Tc481 \h 6
\l "_Tc14186" 【考点五 求图形旋转后扫过的面积】 PAGEREF _Tc14186 \h 7
\l "_Tc11633" 【考点六 求弓形的面积】 PAGEREF _Tc11633 \h 9
\l "_Tc614" 【考点七 求其他不规则图形的面积】 PAGEREF _Tc614 \h 12
\l "_Tc11675" 【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】 PAGEREF _Tc11675 \h 15
\l "_Tc54" 【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】 PAGEREF _Tc54 \h 17
\l "_Tc21605" 【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】 PAGEREF _Tc21605 \h 18
\l "_Tc22981" 【过关检测】 PAGEREF _Tc22981 \h 22
【典型例题】
【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知扇形的半径为3cm，圆心角为，则该扇形的弧长为 cm．
【变式训练】
1．（2023·浙江湖州·统考一模）一个扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的弧长为 ．
2．（2023·浙江温州·统考中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ．
【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为 ．
【变式训练】
1．（2023·江苏镇江·统考二模）扇形的弧长为，半径是12，该扇形的圆心角为 度．
2．（2023·浙江温州·校考三模）若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为 ．
【考点三 求某点的弧形运动路径长度】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点A对应，点与点B对应．如果，．则点A经过的路径长度为 （含的式子表示）
【变式训练】
1．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）．
2．（2023·广东东莞·校考一模）如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为．三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为 ．
【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积是 ．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是 ．
2．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ．
【考点五 求图形旋转后扫过的面积】
例题：（2023·河南安阳·统考一模）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，则扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ．
【变式训练】
1．（2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习）如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
2．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，在Rt中，，，，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，使三点在同一条直线上，则直角边扫过的图形面积为 ．
【考点六 求弓形的面积】
例题：（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·统考二模）如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是
2．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【考点七 求其他不规则图形的面积】
例题：（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）图1是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图2，其中是的中点，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式训练】
1．（2023·河南信阳·统考一模）如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
2．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形中，，，以D为圆心，以长为半径画弧，以C为圆心，以长为半径画弧，两弧恰好交于上的点E处，则阴影部分的面积为 ．
【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保留）
【变式训练】
1．（2023春·云南昭通·九年级统考期中）若圆雉的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是 ．
2．（2023·广东梅州·统考一模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是 ．
4．（2023·浙江衢州·统考二模）某个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为 cm．
【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】
例题：（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知圆锥的底面圆半径是，母线长是，则圆锥侧面展开的扇形圆心角是 ．
【变式训练】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 ，圆锥侧面展开图形的圆心角是 度．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）若要制作一个母线长为，底面圆的半径为的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】
例题：（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）一个扇形的半径是，圆心角是，则此扇形的弧长是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江温州·校联考三模）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宜传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面愁为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥侧面展开图的圆心角是 ．
7．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，半圆的直径，弦，的长为，则的长为 ．
8．（2023·江苏扬州·统考中考真题）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
9．（2023·吉林长春·校联考二模）如图，是的直径，，点在上（点不与、重合），过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的长度是 （结果保留）
10．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，，长为半径画和 ，连接，则图中阴影部分面积是 ．
三、解答题
11．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为，另外两个扇形的圆心角度数的比为．
(1)求另外两个扇形的圆心角；
(2)若圆的半径是，求圆心角为的扇形的面积（结果保留）．
12．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，与边相交于点，连接，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若当点为的中点时，的半径为，求阴影部分的面积．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______；
(2)连接，则的半径为______；扇形的圆心角度数为______；
(3)若扇形是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
14．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径，母线长．
(1)求这种加工材料的顶角的大小．
(2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
15．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图为的直径，且，点是弧上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．
(1)若，求线段的长度；
(2)求证：是的切线；
(3)当时，求图中阴影部分面积．
专题13 弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc23805" 【典型例题】 PAGEREF _Tc23805 \h 1
\l "_Tc8679" 【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】 PAGEREF _Tc8679 \h 1
\l "_Tc31048" 【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】 PAGEREF _Tc31048 \h 2
\l "_Tc184" 【考点三 求某点的弧形运动路径长度】 PAGEREF _Tc184 \h 3
\l "_Tc481" 【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 PAGEREF _Tc481 \h 6
\l "_Tc14186" 【考点五 求图形旋转后扫过的面积】 PAGEREF _Tc14186 \h 7
\l "_Tc11633" 【考点六 求弓形的面积】 PAGEREF _Tc11633 \h 9
\l "_Tc614" 【考点七 求其他不规则图形的面积】 PAGEREF _Tc614 \h 12
\l "_Tc11675" 【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】 PAGEREF _Tc11675 \h 15
\l "_Tc54" 【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】 PAGEREF _Tc54 \h 17
\l "_Tc21605" 【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】 PAGEREF _Tc21605 \h 18
\l "_Tc22981" 【过关检测】 PAGEREF _Tc22981 \h 22
【典型例题】
【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知扇形的半径为3cm，圆心角为，则该扇形的弧长为 cm．
【答案】/
【分析】直接利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：，扇形的半径为3cm，圆心角为，
∴扇形的弧长，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江湖州·统考一模）一个扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的弧长为 ．
【答案】
【分析】利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：弧长为；
故答案为：
【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握弧长公式，是解题的关键．
2．（2023·浙江温州·统考中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ．
【答案】
【分析】根据弧长公式即可求解．
【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，
∴它的弧长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】根据弧长和扇形面积关系可得，求出R，再根据扇形面积公式求解.
【详解】∵一个扇形的弧长是，面积是，
∴，即，解得：，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.
【变式训练】
1．（2023·江苏镇江·统考二模）扇形的弧长为，半径是12，该扇形的圆心角为 度．
【答案】90
【分析】设此扇形的圆心角为，代入弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设此扇形的圆心角为，
由题意得，，
解得，，
故答案为：90．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式是解题的关键．
2．（2023·浙江温州·校考三模）若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为 ．
【答案】/90度
【分析】设扇形圆心角的度数为n，根据弧长公式即可得出结论．
【详解】解：设扇形圆心角的度数为n，
∵扇形的弧长为2π，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．
【考点三 求某点的弧形运动路径长度】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点A对应，点与点B对应．如果，．则点A经过的路径长度为 （含的式子表示）
【答案】
【分析】A点坐标为已知，求出长度，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：
如图，由题意A点以原点O旋转中心旋转了
点A经过的路径的长度
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的旋转、弧长等知识点，需要熟练掌握弧长计算公式．
【变式训练】
1．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）．
【答案】
【分析】由于旋转到，故C的运动路径长是的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．
【详解】以A为圆心作圆弧，如图所示．
在直角中，，则，
则．
∴．
由旋转性质可知，，又，
∴是等边三角形．
∴．
由旋转性质知，．
故弧的长度为：；
故答案为：
【点睛】本题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C点的运动轨迹．
2．（2023·广东东莞·校考一模）如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为．三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为 ．
【答案】
【分析】根据三角形内角和和含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据旋转的性质得，于是可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算弧的长度即可．
【详解】∵，
∴，
∵三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴弧的长度，
即点所转过的路径长为．
答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了弧长公式．
【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积是 ．
【答案】
【详解】根据扇形的面积公式即可求解．
【分析】解：扇形的面积．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是 ．
【答案】
【分析】设该扇形的半径为，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：设该扇形的半径为，由题意得：
，解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是解题的关键．
2．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的外角和为，
每一个外角的度数为，
正五边形的每个内角为，
正五边形的边长为4，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．
【考点五 求图形旋转后扫过的面积】
例题：（2023·河南安阳·统考一模）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，则扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得，然后利用扇形面积公式计算即可．
【详解】∵，，
∴为等边三角形，
∴，
由旋转性质可得，，，
则，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习）如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
【答案】/
【分析】由于将绕点C旋转得到可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．
【详解】解：从图中可以看出，线段扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是，小圆半径是，圆心角是，所以阴影面积大扇形面积小扇形面积
【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．
2．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，在Rt中，，，，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，使三点在同一条直线上，则直角边扫过的图形面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得：，，，因此直角边扫过的图形面积为，因为，因此，代入数值即可求得答案．
【详解】解：根据题意可得：，，，，
所以直角边扫过的图形面积为，
由于，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹问题，关键是根据旋转的性质，找出扫过的面积构成，利用扇形的面积公式计算即可．
【考点六 求弓形的面积】
例题：（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·统考二模）如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是
【答案】
【分析】设的中点为，连接，用扇形的面积减去的面积即可得出结果．
【详解】解：设的中点为，连接，
∵C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
过点作，则：，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
【点睛】本题考查求弓形的面积，同时考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去三角形的面积，是解题的关键．
2．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接，，然后根据已知条件求出，，从而得到，最后结合扇形的面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，．
∵为直径，
∴．
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴阴影部分的面积=
．
故答案为：．
【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．
【考点七 求其他不规则图形的面积】
例题：（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）图1是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图2，其中是的中点，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，可以求得的长，再根据图形，可知阴影部分的面积扇形的面积的面积扇形的面积，计算即可．
【详解】解：连接，
由题意可得，，，，
，
，
，
阴影部分的面积是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式训练】
1．（2023·河南信阳·统考一模）如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】连接，，由，得，求出，根据公式求出，即可得到阴影面积．
【详解】如图，连接，，
由题意，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方法连接辅助线是解题的关键．
2．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形中，，，以D为圆心，以长为半径画弧，以C为圆心，以长为半径画弧，两弧恰好交于上的点E处，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】如图，连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，根据的等于扇形的面积减去，即可求解．
【详解】解：连接，如图：
四边形是矩形，
，，
，
，
，
扇形的面积为：，
∵，
阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，扇形的面积，三角形面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．
【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保留）
【答案】
【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】解：根据圆锥的侧面积公式：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·云南昭通·九年级统考期中）若圆雉的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是 ．
【答案】4
【分析】根据圆锥的侧面积，列出方程求解即可．
【详解】解：∵圆锥的侧面积为，底面半径为3，
．
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．
2．（2023·广东梅州·统考一模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，属于简单题，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是 ．
【答案】1
【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可．
【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得，
解得．
故答案为1．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
4．（2023·浙江衢州·统考二模）某个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为 cm．
【答案】2
【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【详解】解：设此圆锥的底面半径为，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
，
故答案为．
【点睛】此题考查了圆的周长和圆弧长的计算，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键．
【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】
例题：（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知圆锥的底面圆半径是，母线长是，则圆锥侧面展开的扇形圆心角是 ．
【答案】/度
【分析】根据圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵圆锥底面半径是，
∴圆锥的底面周长为，
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为，
∴，
解得：，
∴圆锥侧面展开的扇形圆心角是．
故答案为：．
【点睛】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角．掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 ，圆锥侧面展开图形的圆心角是 度．
【答案】 216
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解该圆锥的侧面积；结合弧长公式求出圆锥侧面展开图形的圆心角即可．
【详解】解：圆锥的侧面积，
圆锥的底面周长，
扇形圆心角．
故答案为：，216．
【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）若要制作一个母线长为，底面圆的半径为的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
【答案】/160度
【分析】利用圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算，即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是n，
根据题意得：，
解得，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长是解答本题的关键．
【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】
例题：（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为60的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径．
【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作,
∴
设∠ASB＝n°，
即：，
得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
【答案】/
【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得．
【详解】画出圆锥侧面展开图如下：
如图，连接、，
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，
因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，
所以，
解得，
则，
又，
是等边三角形，
点为的中点，
，，
在中，，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【答案】3
【分析】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出即可解答．
【详解】解：如图，连接，作于点，
∴即为蚂蚁爬行的最短距离，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
∴蚂蚁爬行的最短距离为3．
故答案为：3
【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）一个扇形的半径是，圆心角是，则此扇形的弧长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：由题意得，扇形的半径为，圆心角为，
故此扇形的弧长为，
故选：A．
【点睛】此题考查了扇形弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般．
2．（2023·浙江温州·校联考三模）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
圆锥的侧面积为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】顶点从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点为圆心，为半径的圆弧，旋转的角度是，所以根据弧长公式可得．
【详解】解：在含有角的直角三角板中，，，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，由折叠的性质可得，从而得到为等边三角形，再求出，从而得出，进行得出，最后由与面积相等及，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
，
根据折叠的性质，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
与面积相等，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、扇形面积的计算—求不规则图形的面积，添加适当的辅助线，得到是解题的关键．
5．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宜传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面愁为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据计算即可．
【详解】
故选：D．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
二、填空题
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥侧面展开图的圆心角是 ．
【答案】/90度
【分析】根据弧长公式，弧长与圆锥底面圆的周长相等，建立等式计算即可．
【详解】∵圆锥母线长，底面圆半径，圆锥侧面展开图的圆心角，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，熟练掌握展开的特点，牢记弧长公式是解题的关键．
7．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，半圆的直径，弦，的长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】由题意可知：是等边三角形，从而可求出弧的长度，再求出半圆弧的长度后，即可求出弧的长度．
【详解】解：连接、，
，
是等边三角形，
，
的长，
又半圆弧的长度为：，
．
故答案为：
【点睛】本题考查圆了弧长的计算，等边三角形的性质等知识，属于中等题型．
8．（2023·江苏扬州·统考中考真题）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：，就可以求出圆锥的底面圆的半径．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，，
由扇形的面积：，
得：
故答案为：
【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．
9．（2023·吉林长春·校联考二模）如图，是的直径，，点在上（点不与、重合），过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的长度是 （结果保留）
【答案】/
【分析】连接，根据切线的性质，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即，再根据圆的基本概念，得出，再根据弧长公式，计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
又∵是的直径，，
∴，
∴的长度为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、三角形的内角和定理、弧长公式，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
10．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，，长为半径画和 ，连接，则图中阴影部分面积是 ．
【答案】
【分析】作于点，根据勾股定理求出，根据面积和差计算即可．
【详解】如图，过作于，
∵，，，
∴由勾股定理得：，
由旋转的性质可知，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质与判定，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为，另外两个扇形的圆心角度数的比为．
(1)求另外两个扇形的圆心角；
(2)若圆的半径是，求圆心角为的扇形的面积（结果保留）．
【答案】(1)和
(2)
【分析】（1）设另外两个扇形的圆心角度数分别为度与度，根据周角为，即可求得x的值，从而求得另外两个扇形圆心角度数；
（2）利用扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：设另外两个扇形的圆心角度数分别为度与度，
由题意得：，
解得：，
另外两个扇形的圆心角分别为：
答：另外两个扇形的圆心角分别为和．
（2）解：由扇形面积公式得：，
答：圆心角为的扇形的面积．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、求扇形面积等知识，题目较简单，是基础题，掌握这些知识是关键．
12．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，与边相交于点，连接，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若当点为的中点时，的半径为，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见详解；
(2)．
【分析】（1）连接，得到，利用等角代换证明，从而得到，即证为的切线；
（2）过点作，当点为的中点时，可证为正三角形，从而得到，，利用垂径定理和含角的直角三角形的性质可求得、的长，再利用三角形面积公式和扇形面积公式即可求阴影面积．
【详解】（1）证明：连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线，
（2）由题意，在中，当点为的中点时，且，
则为正三角形，即，
∴，
∴，
过点作于H，如图所示；
∵的半径为，
∴，
∴
∴，
∴，
，
=．
【点睛】本题考查圆的计算与证明——切线的证明与线段长的计算，涉及到的知识点有切线的证明方法、垂径定理、矩形的性质、含30度的直角三角形的性质与斜边中线性质、等边三角形的判定与性质，三角形面积与扇形面积公式、不规则图形面积的求法、辅助线的应用；掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______；
(2)连接，则的半径为______；扇形的圆心角度数为______；
(3)若扇形是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
【答案】(1)画图见解析，
(2)，
(3)
【分析】（1）找到的垂直平分线的交点D，设，由，利用两点间距离公式解方程即可求出y的值，即可得到圆心坐标；
（2）利用勾股定理求出得长，即可得到圆的半径长，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，则扇形的圆心角度数为；
（3）先求得扇形弧长，除以即为圆锥的底面半径．
【详解】（1）解：作的垂直平分线相交于点D．
设．
∵，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：如图所示，连接，
由（1）得，
∴的半径为；
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴扇形的圆心角度数为，
故答案为：，；
（3）解：由题意得，该圆锥的底面半径为；
【点睛】本题考查了垂径定理的推论以及圆锥的有关计算，勾股定理和勾股定理得逆定理．用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心；圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆周长．
14．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径，母线长．
(1)求这种加工材料的顶角的大小．
(2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据圆锥侧面展开图的扇形面积公式，即可求解；
（2）分别求得和扇形的面积，进而即可求解．
【详解】（1）解：设，依题意，
∴，
∴；
（2）解：设加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积为，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴,
∴
【点睛】本题考查了圆锥侧面积公式，扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键．
15．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图为的直径，且，点是弧上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．
(1)若，求线段的长度；
(2)求证：是的切线；
(3)当时，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，如图，连接，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论；
（2）连接，，由是的中点，可得，证明，得，则结论得证；
（3）阴影部分的面积即为四边形的面积减去扇形的面积．
【详解】（1）如图，连接，
是的切线，
，
，
为的直径，
，
，
；
（2）连接
为的直径，
，在中，
，
，
，
是的切线，
，
为半径，
是的切线；
（3）
，
，
，
．
四边形的面积为，
阴影部分面积为．
【点睛】此题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，正确的作出辅助线是解题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc23805" 【典型例题】 PAGEREF _Tc23805 \h 1
\l "_Tc8679" 【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】 PAGEREF _Tc8679 \h 1
\l "_Tc31048" 【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】 PAGEREF _Tc31048 \h 2
\l "_Tc184" 【考点三 求某点的弧形运动路径长度】 PAGEREF _Tc184 \h 3
\l "_Tc481" 【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 PAGEREF _Tc481 \h 6
\l "_Tc14186" 【考点五 求图形旋转后扫过的面积】 PAGEREF _Tc14186 \h 7
\l "_Tc11633" 【考点六 求弓形的面积】 PAGEREF _Tc11633 \h 9
\l "_Tc614" 【考点七 求其他不规则图形的面积】 PAGEREF _Tc614 \h 12
\l "_Tc11675" 【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】 PAGEREF _Tc11675 \h 15
\l "_Tc54" 【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】 PAGEREF _Tc54 \h 17
\l "_Tc21605" 【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】 PAGEREF _Tc21605 \h 18
\l "_Tc22981" 【过关检测】 PAGEREF _Tc22981 \h 22
【典型例题】
【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知扇形的半径为3cm，圆心角为，则该扇形的弧长为 cm．
【变式训练】
1．（2023·浙江湖州·统考一模）一个扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的弧长为 ．
2．（2023·浙江温州·统考中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ．
【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为 ．
【变式训练】
1．（2023·江苏镇江·统考二模）扇形的弧长为，半径是12，该扇形的圆心角为 度．
2．（2023·浙江温州·校考三模）若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为 ．
【考点三 求某点的弧形运动路径长度】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点A对应，点与点B对应．如果，．则点A经过的路径长度为 （含的式子表示）
【变式训练】
1．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）．
2．（2023·广东东莞·校考一模）如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为．三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为 ．
【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积是 ．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是 ．
2．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ．
【考点五 求图形旋转后扫过的面积】
例题：（2023·河南安阳·统考一模）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，则扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ．
【变式训练】
1．（2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习）如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
2．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，在Rt中，，，，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，使三点在同一条直线上，则直角边扫过的图形面积为 ．
【考点六 求弓形的面积】
例题：（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·统考二模）如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是
2．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【考点七 求其他不规则图形的面积】
例题：（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）图1是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图2，其中是的中点，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式训练】
1．（2023·河南信阳·统考一模）如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
2．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形中，，，以D为圆心，以长为半径画弧，以C为圆心，以长为半径画弧，两弧恰好交于上的点E处，则阴影部分的面积为 ．
【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保留）
【变式训练】
1．（2023春·云南昭通·九年级统考期中）若圆雉的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是 ．
2．（2023·广东梅州·统考一模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是 ．
4．（2023·浙江衢州·统考二模）某个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为 cm．
【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】
例题：（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知圆锥的底面圆半径是，母线长是，则圆锥侧面展开的扇形圆心角是 ．
【变式训练】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 ，圆锥侧面展开图形的圆心角是 度．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）若要制作一个母线长为，底面圆的半径为的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】
例题：（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）一个扇形的半径是，圆心角是，则此扇形的弧长是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江温州·校联考三模）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宜传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面愁为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥侧面展开图的圆心角是 ．
7．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，半圆的直径，弦，的长为，则的长为 ．
8．（2023·江苏扬州·统考中考真题）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
9．（2023·吉林长春·校联考二模）如图，是的直径，，点在上（点不与、重合），过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的长度是 （结果保留）
10．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，，长为半径画和 ，连接，则图中阴影部分面积是 ．
三、解答题
11．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为，另外两个扇形的圆心角度数的比为．
(1)求另外两个扇形的圆心角；
(2)若圆的半径是，求圆心角为的扇形的面积（结果保留）．
12．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，与边相交于点，连接，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若当点为的中点时，的半径为，求阴影部分的面积．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______；
(2)连接，则的半径为______；扇形的圆心角度数为______；
(3)若扇形是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
14．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径，母线长．
(1)求这种加工材料的顶角的大小．
(2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
15．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图为的直径，且，点是弧上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．
(1)若，求线段的长度；
(2)求证：是的切线；
(3)当时，求图中阴影部分面积．
专题13 弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc23805" 【典型例题】 PAGEREF _Tc23805 \h 1
\l "_Tc8679" 【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】 PAGEREF _Tc8679 \h 1
\l "_Tc31048" 【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】 PAGEREF _Tc31048 \h 2
\l "_Tc184" 【考点三 求某点的弧形运动路径长度】 PAGEREF _Tc184 \h 3
\l "_Tc481" 【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 PAGEREF _Tc481 \h 6
\l "_Tc14186" 【考点五 求图形旋转后扫过的面积】 PAGEREF _Tc14186 \h 7
\l "_Tc11633" 【考点六 求弓形的面积】 PAGEREF _Tc11633 \h 9
\l "_Tc614" 【考点七 求其他不规则图形的面积】 PAGEREF _Tc614 \h 12
\l "_Tc11675" 【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】 PAGEREF _Tc11675 \h 15
\l "_Tc54" 【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】 PAGEREF _Tc54 \h 17
\l "_Tc21605" 【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】 PAGEREF _Tc21605 \h 18
\l "_Tc22981" 【过关检测】 PAGEREF _Tc22981 \h 22
【典型例题】
【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知扇形的半径为3cm，圆心角为，则该扇形的弧长为 cm．
【答案】/
【分析】直接利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：，扇形的半径为3cm，圆心角为，
∴扇形的弧长，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江湖州·统考一模）一个扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的弧长为 ．
【答案】
【分析】利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：弧长为；
故答案为：
【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握弧长公式，是解题的关键．
2．（2023·浙江温州·统考中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ．
【答案】
【分析】根据弧长公式即可求解．
【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，
∴它的弧长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】根据弧长和扇形面积关系可得，求出R，再根据扇形面积公式求解.
【详解】∵一个扇形的弧长是，面积是，
∴，即，解得：，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.
【变式训练】
1．（2023·江苏镇江·统考二模）扇形的弧长为，半径是12，该扇形的圆心角为 度．
【答案】90
【分析】设此扇形的圆心角为，代入弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设此扇形的圆心角为，
由题意得，，
解得，，
故答案为：90．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式是解题的关键．
2．（2023·浙江温州·校考三模）若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为 ．
【答案】/90度
【分析】设扇形圆心角的度数为n，根据弧长公式即可得出结论．
【详解】解：设扇形圆心角的度数为n，
∵扇形的弧长为2π，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．
【考点三 求某点的弧形运动路径长度】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点A对应，点与点B对应．如果，．则点A经过的路径长度为 （含的式子表示）
【答案】
【分析】A点坐标为已知，求出长度，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：
如图，由题意A点以原点O旋转中心旋转了
点A经过的路径的长度
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的旋转、弧长等知识点，需要熟练掌握弧长计算公式．
【变式训练】
1．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）．
【答案】
【分析】由于旋转到，故C的运动路径长是的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．
【详解】以A为圆心作圆弧，如图所示．
在直角中，，则，
则．
∴．
由旋转性质可知，，又，
∴是等边三角形．
∴．
由旋转性质知，．
故弧的长度为：；
故答案为：
【点睛】本题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C点的运动轨迹．
2．（2023·广东东莞·校考一模）如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为．三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为 ．
【答案】
【分析】根据三角形内角和和含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据旋转的性质得，于是可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算弧的长度即可．
【详解】∵，
∴，
∵三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴弧的长度，
即点所转过的路径长为．
答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了弧长公式．
【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积是 ．
【答案】
【详解】根据扇形的面积公式即可求解．
【分析】解：扇形的面积．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是 ．
【答案】
【分析】设该扇形的半径为，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：设该扇形的半径为，由题意得：
，解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是解题的关键．
2．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的外角和为，
每一个外角的度数为，
正五边形的每个内角为，
正五边形的边长为4，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．
【考点五 求图形旋转后扫过的面积】
例题：（2023·河南安阳·统考一模）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，则扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得，然后利用扇形面积公式计算即可．
【详解】∵，，
∴为等边三角形，
∴，
由旋转性质可得，，，
则，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习）如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
【答案】/
【分析】由于将绕点C旋转得到可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．
【详解】解：从图中可以看出，线段扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是，小圆半径是，圆心角是，所以阴影面积大扇形面积小扇形面积
【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．
2．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，在Rt中，，，，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，使三点在同一条直线上，则直角边扫过的图形面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得：，，，因此直角边扫过的图形面积为，因为，因此，代入数值即可求得答案．
【详解】解：根据题意可得：，，，，
所以直角边扫过的图形面积为，
由于，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹问题，关键是根据旋转的性质，找出扫过的面积构成，利用扇形的面积公式计算即可．
【考点六 求弓形的面积】
例题：（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解．
【详解】∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·统考二模）如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是
【答案】
【分析】设的中点为，连接，用扇形的面积减去的面积即可得出结果．
【详解】解：设的中点为，连接，
∵C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
过点作，则：，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
【点睛】本题考查求弓形的面积，同时考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去三角形的面积，是解题的关键．
2．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接，，然后根据已知条件求出，，从而得到，最后结合扇形的面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，．
∵为直径，
∴．
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴阴影部分的面积=
．
故答案为：．
【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．
【考点七 求其他不规则图形的面积】
例题：（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）图1是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图2，其中是的中点，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，可以求得的长，再根据图形，可知阴影部分的面积扇形的面积的面积扇形的面积，计算即可．
【详解】解：连接，
由题意可得，，，，
，
，
，
阴影部分的面积是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式训练】
1．（2023·河南信阳·统考一模）如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】连接，，由，得，求出，根据公式求出，即可得到阴影面积．
【详解】如图，连接，，
由题意，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方法连接辅助线是解题的关键．
2．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形中，，，以D为圆心，以长为半径画弧，以C为圆心，以长为半径画弧，两弧恰好交于上的点E处，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】如图，连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，根据的等于扇形的面积减去，即可求解．
【详解】解：连接，如图：
四边形是矩形，
，，
，
，
，
扇形的面积为：，
∵，
阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，扇形的面积，三角形面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．
【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保留）
【答案】
【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】解：根据圆锥的侧面积公式：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·云南昭通·九年级统考期中）若圆雉的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是 ．
【答案】4
【分析】根据圆锥的侧面积，列出方程求解即可．
【详解】解：∵圆锥的侧面积为，底面半径为3，
．
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．
2．（2023·广东梅州·统考一模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，属于简单题，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是 ．
【答案】1
【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可．
【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得，
解得．
故答案为1．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
4．（2023·浙江衢州·统考二模）某个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为 cm．
【答案】2
【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【详解】解：设此圆锥的底面半径为，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
，
故答案为．
【点睛】此题考查了圆的周长和圆弧长的计算，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键．
【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】
例题：（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知圆锥的底面圆半径是，母线长是，则圆锥侧面展开的扇形圆心角是 ．
【答案】/度
【分析】根据圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵圆锥底面半径是，
∴圆锥的底面周长为，
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为，
∴，
解得：，
∴圆锥侧面展开的扇形圆心角是．
故答案为：．
【点睛】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角．掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 ，圆锥侧面展开图形的圆心角是 度．
【答案】 216
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解该圆锥的侧面积；结合弧长公式求出圆锥侧面展开图形的圆心角即可．
【详解】解：圆锥的侧面积，
圆锥的底面周长，
扇形圆心角．
故答案为：，216．
【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）若要制作一个母线长为，底面圆的半径为的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
【答案】/160度
【分析】利用圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算，即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是n，
根据题意得：，
解得，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长是解答本题的关键．
【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】
例题：（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为60的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径．
【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作,
∴
设∠ASB＝n°，
即：，
得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
【答案】/
【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得．
【详解】画出圆锥侧面展开图如下：
如图，连接、，
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，
因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，
所以，
解得，
则，
又，
是等边三角形，
点为的中点，
，，
在中，，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【答案】3
【分析】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出即可解答．
【详解】解：如图，连接，作于点，
∴即为蚂蚁爬行的最短距离，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
∴蚂蚁爬行的最短距离为3．
故答案为：3
【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）一个扇形的半径是，圆心角是，则此扇形的弧长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：由题意得，扇形的半径为，圆心角为，
故此扇形的弧长为，
故选：A．
【点睛】此题考查了扇形弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般．
2．（2023·浙江温州·校联考三模）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
圆锥的侧面积为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】顶点从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点为圆心，为半径的圆弧，旋转的角度是，所以根据弧长公式可得．
【详解】解：在含有角的直角三角板中，，，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，由折叠的性质可得，从而得到为等边三角形，再求出，从而得出，进行得出，最后由与面积相等及，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
，
根据折叠的性质，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
与面积相等，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、扇形面积的计算—求不规则图形的面积，添加适当的辅助线，得到是解题的关键．
5．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宜传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面愁为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据计算即可．
【详解】
故选：D．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
二、填空题
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥侧面展开图的圆心角是 ．
【答案】/90度
【分析】根据弧长公式，弧长与圆锥底面圆的周长相等，建立等式计算即可．
【详解】∵圆锥母线长，底面圆半径，圆锥侧面展开图的圆心角，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，熟练掌握展开的特点，牢记弧长公式是解题的关键．
7．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，半圆的直径，弦，的长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】由题意可知：是等边三角形，从而可求出弧的长度，再求出半圆弧的长度后，即可求出弧的长度．
【详解】解：连接、，
，
是等边三角形，
，
的长，
又半圆弧的长度为：，
．
故答案为：
【点睛】本题考查圆了弧长的计算，等边三角形的性质等知识，属于中等题型．
8．（2023·江苏扬州·统考中考真题）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：，就可以求出圆锥的底面圆的半径．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，，
由扇形的面积：，
得：
故答案为：
【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．
9．（2023·吉林长春·校联考二模）如图，是的直径，，点在上（点不与、重合），过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的长度是 （结果保留）
【答案】/
【分析】连接，根据切线的性质，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即，再根据圆的基本概念，得出，再根据弧长公式，计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
又∵是的直径，，
∴，
∴的长度为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、三角形的内角和定理、弧长公式，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
10．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，，长为半径画和 ，连接，则图中阴影部分面积是 ．
【答案】
【分析】作于点，根据勾股定理求出，根据面积和差计算即可．
【详解】如图，过作于，
∵，，，
∴由勾股定理得：，
由旋转的性质可知，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质与判定，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为，另外两个扇形的圆心角度数的比为．
(1)求另外两个扇形的圆心角；
(2)若圆的半径是，求圆心角为的扇形的面积（结果保留）．
【答案】(1)和
(2)
【分析】（1）设另外两个扇形的圆心角度数分别为度与度，根据周角为，即可求得x的值，从而求得另外两个扇形圆心角度数；
（2）利用扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：设另外两个扇形的圆心角度数分别为度与度，
由题意得：，
解得：，
另外两个扇形的圆心角分别为：
答：另外两个扇形的圆心角分别为和．
（2）解：由扇形面积公式得：，
答：圆心角为的扇形的面积．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、求扇形面积等知识，题目较简单，是基础题，掌握这些知识是关键．
12．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，与边相交于点，连接，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若当点为的中点时，的半径为，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见详解；
(2)．
【分析】（1）连接，得到，利用等角代换证明，从而得到，即证为的切线；
（2）过点作，当点为的中点时，可证为正三角形，从而得到，，利用垂径定理和含角的直角三角形的性质可求得、的长，再利用三角形面积公式和扇形面积公式即可求阴影面积．
【详解】（1）证明：连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线，
（2）由题意，在中，当点为的中点时，且，
则为正三角形，即，
∴，
∴，
过点作于H，如图所示；
∵的半径为，
∴，
∴
∴，
∴，
，
=．
【点睛】本题考查圆的计算与证明——切线的证明与线段长的计算，涉及到的知识点有切线的证明方法、垂径定理、矩形的性质、含30度的直角三角形的性质与斜边中线性质、等边三角形的判定与性质，三角形面积与扇形面积公式、不规则图形面积的求法、辅助线的应用；掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______；
(2)连接，则的半径为______；扇形的圆心角度数为______；
(3)若扇形是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
【答案】(1)画图见解析，
(2)，
(3)
【分析】（1）找到的垂直平分线的交点D，设，由，利用两点间距离公式解方程即可求出y的值，即可得到圆心坐标；
（2）利用勾股定理求出得长，即可得到圆的半径长，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，则扇形的圆心角度数为；
（3）先求得扇形弧长，除以即为圆锥的底面半径．
【详解】（1）解：作的垂直平分线相交于点D．
设．
∵，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：如图所示，连接，
由（1）得，
∴的半径为；
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴扇形的圆心角度数为，
故答案为：，；
（3）解：由题意得，该圆锥的底面半径为；
【点睛】本题考查了垂径定理的推论以及圆锥的有关计算，勾股定理和勾股定理得逆定理．用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心；圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆周长．
14．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径，母线长．
(1)求这种加工材料的顶角的大小．
(2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据圆锥侧面展开图的扇形面积公式，即可求解；
（2）分别求得和扇形的面积，进而即可求解．
【详解】（1）解：设，依题意，
∴，
∴；
（2）解：设加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积为，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴,
∴
【点睛】本题考查了圆锥侧面积公式，扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键．
15．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）如图为的直径，且，点是弧上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．
(1)若，求线段的长度；
(2)求证：是的切线；
(3)当时，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，如图，连接，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论；
（2）连接，，由是的中点，可得，证明，得，则结论得证；
（3）阴影部分的面积即为四边形的面积减去扇形的面积．
【详解】（1）如图，连接，
是的切线，
，
，
为的直径，
，
，
；
（2）连接
为的直径，
，在中，
，
，
，
是的切线，
，
为半径，
是的切线；
（3）
，
，
，
．
四边形的面积为，
阴影部分面积为．
【点睛】此题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，正确的作出辅助线是解题的关键．
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