还剩52页未读，
继续阅读
所属成套资源：数学人教版初一第一章有理数（含课件及练习）
成套系列资料，整套一键下载
初中数学人教版（2024）七年级上册3.1.1 一元一次方程教课课件ppt
展开
这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册3.1.1 一元一次方程教课课件ppt，共60页。
在①2x+1;②1+7=15-8+1;③1- x=x-1;④x+2y=3中,方程共有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
①2x+1不是等式;②1+7=15-8+1不含未知数;③④是方 程.
方程中的未知数可以是x,也可以是y,t,m等其他字母.
1.一元一次方程的概念 只含有一个未知数,未知数的次数都是1,等号两边都是 整式,这样的方程叫做一元一次方程.2.一元一次方程的概念解读(1)“元”是指未知数,一元是指只含有一个未知数;(2)“次”是指含未知数的项的次数;(3)“整式”是指未知数不在分母的位置上.
已知下列等式:①x-2= ;②0.3x=1;③ =5x-1;④x2-4x=3;⑤x=6;⑥x+2y=0;⑦ax-b=0(a,b为常数).其中一元一次方程的 个数是( )A.2 B.3C.4 D.5
方程①分母中含有未知数,不是整式方程,所以不是一元 一次方程;方程④中未知数的最高次数是2,所以不是一元一次方程;方程⑥有两个未知数,所以不是一元一次方程;⑦没说a≠0,所以不一定是一元一次方程.方程②③⑤都是一元一次方程.
判断一个方程是不是一元一次方程,首先应将原方程化简,整理,然后再判断.若方程可化为ax+b=0(a≠0)的形式,则该方程为一元一次方程.
已知方程(m-1)x|m|=6是关于x的一元一次方程,则m的值 是 .
因为方程(m-1)x|m|=6是关于x的一元一次方程,所以|m|=1且m-1≠0,解得m=±1且m≠1,所以m=-1.
在一元一次方程中,如果未知数的次数或系数中含有某个字母,根据一元一次方程中未知数的次数等于1与未知数的系数不等于0可以求得这个字母的值.
3 方程的解与解方程
检验括号中的数是不是方程的解:(1)2x=10-3x(x=0,x=2);(2)(x-2)(x+1)=0(x=-1,x=1,x=2).
(1)当x=0时,左边=2×0=0,右边=10-3×0=10,因为左边≠ 右边,所以x=0不是方程2x=10-3x的解.当x=2时,左边=2×2=4,右边=10-2×3=4,因为左边=右边,所以x=2是方程2x=10-3x的解.(2)当x=-1时,左边=(-1-2)×(-1+1)=0,所以左边=右边,所以x=-1是方程(x-2)(x+1)=0的解.当x=1时,左边=(1-2)×(1+1)=-2,所以左边≠右边,所以x=1不是方程(x-2)(x+1)=0的解.
当x=2时,左边=(2-2)×(2+1)=0,所以左边=右边,所以x=2是方程(x-2)(x+1)=0的解.
检验一个数是不是方程的解,根据方程的解的概念,只需要将所给的字母的值分别代入方程的左右两边,若两边的值相等,则这个数就是方程的解,否则不是.
已知x=-3是关于x的方程k(x+4)=x+5的解,则k= .
因为x=-3是关于x的方程k(x+4)=x+5的解,所以k(-3+4)=-3+5,解得k=2.
解决这类题的一般方法是“见根代入”.
4 列简单的一元一次方程
(2022北京通州期末)某活动小组购买了4个篮球和5个 足球,共花费435元,其中篮球的单价比足球的单价多3元,求篮 球和足球的单价.设足球的单价为x元,依题意可列方程为 .
4(x+3)+5x=435
若足球的单价为x元,则篮球的单价为(x+3)元,根据“4 个篮球的费用+5个足球的费用=435元”建立方程,得4(x+3)+ 5x=435.
列方程解实际问题首先应分析等量关系,并把某未知的量设为x,然后把x视为已知量,以等量关系为前提列出方程.
知识点2 利用等式的性质解方程
3.1.2 等式的性质
用适当的数或式子填空,使所得结果仍是等式.(1)如果a-3=b+2,那么a+1= ;(2)如果3x=2x+5,那么3x- =5;(3)如果 x=5,那么x= ;(4)如果5m=2n,那么m= .
(1) (2)
(3) (4)
先从不需要填空的一边入手,观察这一边是怎样变形的,再根据等式的性质,对另一边也进行同样的变形.
如果3a-1=2,那么6a= .
等式两边都乘2,得6a-2=4,等式两边都加2,得6a=6.
求某个式子的值有两种代入方法:一是直接代入,二是整体代入.当已知条件仅仅给出式子中部分字母的值时,通常利用整体代入求值.
利用等式的性质解方程的步骤(1)方程两边同时加(或减)同一个数(或式子),使一元一次方程 左边是含未知数的一项,右边是常数项;(2)方程两边同时乘(或除以)同一个数(除数不为0),使未知数 的系数化为1,从而得出方程的解.
2 利用等式的性质解方程
利用等式的性质解下列方程:(1)x+5=7;(2)-4x=20;(3)4x-4=8;(4)4x=8x-12.
分析 利用等式的性质解方程,必须注意在加或减、乘或除 以某个数时,方程两边要同时进行,否则会出现错误.
(1)利用等式的性质1,两边都减去5得x+5-5=7-5,即x=2.(2)利用等式的性质2,两边都除以-4得 = ,即x=-5.(3)利用等式的性质1,两边都加上4得4x-4+4=8+4,即4x=12.利用等式的性质2,两边都除以4得x=3.(4)利用等式的性质1,两边都减去8x得4x-8x=8x-12-8x,即-4x=- 12.利用等式的性质2,两边都除以-4得x=3.
利用等式的性质2时,忽略除数不为0的条件
下列说法中,正确的个数是 ( )①若mx=my,则mx-my=0;②若mx=my,则x=y;③若mx=my,则mx+my=2my;④若x=y,则mx=my.A.1 B.2 C.3 D.4
容易认为m是非零的数而错误地以为②是正确的,从而错选D.实际上没有限制m,当m=0时,不能由mx=my得到x=y.
3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
知识点1 解一元一次方程——系数化为1
知识点2 解一元一次方程——合并同类项
知识点3 解一元一次方程——移项
知识点4 列一元一次方程解决实际问题
1 解一元一次方程——系数化为1
解下列方程:(1)6x=8;(2)- y=6;(3)0.25z=-3.
(1)6x=8,系数化为1,得x= .(2)- y=6,系数化为1,得y=-4.(3)0.25z=-3,即 z=-3,系数化为1,得z=-12.
1.合并同类项的概念 解一元一次方程时,将等号两边含有未知数的项和常数 项分别合成一项的过程,叫做合并同类项.2.用合并同类项法解一元一次方程的步骤(1)合并同类项,即把方程中含有未知数的项合并,常数项合 并,把方程化为ax=b(a≠0)的形式;(2)系数化为1.
2 解一元一次方程——合并同类项
解下列方程:(1)x- x- x=-5+8-6;(2)-2x-1.5x+6.5x=4×3-9×2.
分析 紧扣利用合并同类项法解方程的步骤,正确地将等式 两边的同类项分别合并是解题的关键.
(1)合并同类项,得 x=-3,系数化为1,得x=-12.(2)合并同类项,得3x=-6,系数化为1,得x=-2.
(1)解方程中的合并同类项与整式的加减中的合并同 类项是一样的.(2)合并同类项后的未知数的系数为负数时,不能漏掉“-”号.
3 解一元一次方程——移项
解方程:(1)5x+3=4x;(2) y-1= y+4;(3)-5x+6+7x=1+2x-3+8x.
(1)移项,得5x-4x=-3,合并同类项,得x=-3.(2)移项,得 y- y=4+1,合并同类项,得 y=5,系数化为1,得y=3.(3)移项,得-5x+7x-2x-8x=1-3-6,合并同类项,得-8x=-8,系数化为1,得x=1.
4 列一元一次方程解决实际问题
《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文 如下:今有人共买物,人出十一,盈八;人出九,不足十二.问物价 几何?译文为:现有一些人共同买一个物品,每人出11元,还盈 余8元;每人出9元,则还差12元.问这个物品的价格是多少元?
分析 设共有x人,则物品的价格用两种方式表示为(11x-8)元或(9x+12)元,根据物品的价格不变列方程.
设共有x人,依题意,得11x-8=9x+12,解得x=10.当x=10时,11x-8=11×10-8=102.答:这个物品的价格是102元.
本题为“盈余与不足问题”,分别根据盈余和不足的情况用含未知数的式子表示出同一个量,然后列方程.
为鼓励学生参加体育锻炼,学校计划购买一批篮球和排 球.已知篮球和排球的单价比为3∶2,单价之和为80元,则篮球 和排球的单价分别为多少元?
分析 因为篮球和排球的单价比为3∶2,所以可设篮球和排 球的单价分别为3x元和2x元,再根据它们的单价之和为80元 列方程即可.
设篮球和排球的单价分别为3x元和2x元.根据题意列方 程,得3x+2x=80.合并同类项,得5x=80.系数化为1,得x=16.所以3x=3×16=48,2x=2×16=32.答:篮球和排球的单价分别为48元和32元.
3.3 解一元一次方程(二)——去括号与去分母
知识点1 解一元一次方程——去括号
知识点2 解一元一次方程——去分母
知识点3 解一元一次方程的一般步骤
知识点4 列一元一次方程解应用题
1 解一元一次方程——去括号
解方程:(1)5(x+8)-5=6(2x-7);(2) (2y+3)=1-y- (y-2).
分析 去括号时,要注意括号前面的符号,是负号时去掉括号 后要改变括号内各项的符号;另外要将括号外的系数乘括号 中的每一项.
(1)去括号,得5x+40-5=12x-42.移项,得5x-12x=-42-40+5.合并同类项,得-7x=-77.系数化为1,得x=11.(2)去括号,得y+ =1-y- y+ .移项,得y+y+ y=1+ - .合并同类项,得 y= .系数化为1,得y= .
去括号时,不要漏乘括号内任何一项.
2 解一元一次方程——去分母
解下列方程:(1) x= (x-2);(2) -2= ;(3) =2- ;(4) -1= - .
(1)去分母,得7x=3(x-2).去括号,得7x=3x-6.移项,得7x-3x=-6.合并同类项,得4x=-6.系数化为1,得x=- .(2)去分母,得3(x-1)-12=x.去括号,得3x-3-12=x.移项,得3x-x=3+12.合并同类项,得2x=15.
系数化为1,得x= .(3)去分母,得5(y-2)=20-2(y+1).去括号,得5y-10=20-2y-2.移项,得5y+2y=20-2+10.合并同类项,得7y=28.系数化为1,得y=4.(4)去分母,得5(2x-1)-20=10(2-3x)-4(2x+1).去括号,得10x-5-20=20-30x-8x-4.移项,得10x+30x+8x=20+5+20-4.
合并同类项,得48x=41.系数化为1,得x= .
3 解一元一次方程的一般步骤
解下列方程:(1) =5x;(2)- =2+ .
(1)去括号,得3x- +1=5x.移项,得3x-5x= -1.合并同类项,得-2x= .系数化为1,得x=- .(2)整理,得- =2+ .去分母,得-x=12+2(3-2x).去括号,得-x=12+6-4x.移项,得-x+4x=12+6.
合并同类项,得3x=18.系数化为1,得x=6.
解一元一次方程时,有分母的第一步不一定是去 分母,而要根据题目特征灵活选择解题步骤.
行程问题数量关系:路程=速度×时间(1)相遇问题的等量关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.(2)追及问题的等量关系:同地不同时出发:前者走的路程=追 者走的路程;同时不同地出发:前者走的路程+两出发点间的 距离=追者走的路程.(3)航行问题的等量关系:利用总路程相等,或总时间相等来列 式.顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度.
4 列一元一次方程解应用题
小明、小亮两人相距5 km,小明先出发0.5 h,小亮再出 发,小明在后小亮在前,两人同向而行,小明的速度是8 km/h,小 亮的速度是6 km/h,小明出发几小时后追上小亮?
分析 如图所示,设小明出发x h后追上小亮,小明和小亮相距 5 km,两人同向而行,小明出发0.5 h后小亮才出发,最终小明追 上了小亮,由此寻求到的相等关系为“小明走的路程-小亮走 的路程=两人原来的距离”.
设小明出发x h后追上小亮,根据题意,得8x-6(x-0.5)=5,解得x=1.答:小明出发1 h后追上小亮.
利用线段图能直观地将问题中的总量与分量呈现在一条线段上,分析行程问题时往往用线段图将路程呈现出来,这样便于理解.
解方程: - =1.
去分母、去括号不按照法则计算
去分母,得3(x-3)-5(x-4)=15,去括号,得3x-9-5x+20=15,移项,得3x-5x=15+9-20,合并同类项,得-2x=4,系数化为1,得x=-2.
去分母时要给多项式的分子加括号,不要漏乘不含分母的项.去括号时要用括号外的系数乘括号内的每一项.
3.4 实际问题与一元一次方程
知识点3 商品销售问题
知识点5 方案决策问题
知识点6 分段计费问题
某车间有14名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能 生产螺栓24个或螺母36个,1个螺栓需要配2个螺母,若安排m 名工人生产螺栓,使每小时生产的螺栓和螺母刚好配套,那么 可列方程为 ( )A.24×m=36×(14-m)×2B.24×(14-m)=36×m×2C.24×m×2=36×(14-m)D.24×(14-m)×2=36×m
因为安排m名工人生产螺栓,所以有(14-m)名工人生产 螺母,所以每小时生产的螺栓有24m个,螺母有36×(14-m)个.因 为生产螺母的总数是生产螺栓总数的2倍时刚好配套,所以螺 栓的个数乘2得螺母的个数,所以2×24m=36×(14-m).
解配套问题的关键是了解两种相关数量中,哪种数量 多,哪种数量少,是几比几的配套问题.本题中螺栓∶螺母=1∶2,所以2×螺栓数=1×螺母数.
1.工程问题中的基本相等关系(1)工作量=工作效率×工作时间;(2)工作效率=工作量÷工作时间;(3)工作时间=工作量÷工作效率.2.人均效率表示平均每人单位时间内完成的工作量.涉及人均效率的工 作量=人均效率×人数×时间.
3.工程完成方式一般出现“单独完成”和“合作完成”两种方式,常见的相 等关系为各阶段工作量之和=总工作量.4.两种类型(1)有具体工作总量的;(2)工作总量为单位1的.
将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲单独做 需6小时,乙单独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起 做,则甲、乙一起做还需多长时间才能完成工作?
分析 30分钟= 小时,可设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作,等量关系:甲 小时的工作量+甲、乙合作x小时的工作量=1,把相关数值代入求解即可.
设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.根据题意,得 × + x=1,解得x= , 小时=2小时12分钟.答:甲、乙一起做还需2小时12分钟才能完成工作.
解决工程问题时,一定要看清时间的单位是否统 一,不统一的先统一单位.
某商场为减少库存积压,以每件120元的价格出售两件 衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖中,商场 是盈利了还是亏损了?请求出盈利或者亏损的钱数.
分析 两件衣服共卖了240元,是盈利还是亏损要看两件衣服 的总进价,假设第一件衣服盈利20%,它的进价为x元,则x<120, 第二件衣服亏损20%,它的进价为y元,则y>120,所以x
答:在这次买卖中,商场亏损了,亏损了10元.
当售价相同,盈利率与亏损率也相同时,其结果一定是 亏损.
足球比赛的记分规则如下:胜一场得3分,平一场得1分, 输一场得0分.一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已 比赛了8场,输了1场,共得17分.请问:(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场?(2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低 于29分,就可以达到预期的目标.请你分析一下,在后面的6场 比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标.
分析 (1)如果这支球队胜x场,则平(8-1-x)场,根据积分方法及 积分分数可列出方程.(2)因为胜的场数越多得分越高,所以后面的比赛全部胜利时 得分最高.(3)根据目标要求,后面的比赛只需再得12分.
(1)设前8场比赛中,这支球队共胜了x场,则平了(8-1-x)场,根据题意,得3x+(8-1-x)=17.解得x=5.答:前8场比赛中,这支球队共胜了5场.(2)要使得分最高,必须在后面的比赛中全胜,17+(14-8)×3=35 (分).答:打满14场比赛最高能得35分.(3)设后6场比赛需要至少胜y场,则需平(6-y)场,
由题意,得3y+(6-y)×1=29-17,解得y=3.答:后6场比赛中,这支球队至少要胜3场,才能达到预期目标.
理解“至少”的含义是解题的关键,因为比赛结果分 为胜、输、平三种,所以要想达到预期目标,在后6场比赛中输的场数越少所需胜的场数越少,由此得到后6场比赛中只能出现胜、平两种比赛结果.
在生活中,做一件事情往往有多种方案,这就要选择一个 最优方案,要选择最优方案就要把每一种方案的结果都算出 来,通过比较,确定最优方案.
某商场元旦期间搞促销活动,一次性购物不超过200元 不优惠,超过200元,但不超过500元,全部按9折优惠,超过500 元,超过部分按8折优惠,不超过的500元仍按9折优惠,某人两 次购物分别用了134元和466元.(1)此人两次购物,若物品不打折,则需分别支付多少钱?(2)此人两次购物共节省多少钱?(3)若将两次购物合为一次购物,是否更省钱?说明理由.
分析 (1)中首先应判断花费了134元的物品是否有优惠,花 费了466元的物品是如何优惠的,然后再求解;(2)中应利用(1)的结果求解;(3)中应先计算合为一次购物时付款数为多少,再与(134+466) 元进行比较.
(1)因为200×0.9=180(元),134元<180元,所以花费了134元的物品未优惠.因为500×0.9=450(元)<466(元),所以花费了466元的物品原价 超过了500元.设花费了466元的物品原价为x元,依题意得500×0.9+(x-500)×0.8=466,解得x=520.故如果不打折,则需分别支付134元和520元.(2)节省134+520-(134+466)=54(元).
(3)134+520=654(元),原价为654元的物品优惠价为500×0.9+(654-500)×0.8=573.2 (元).故节省(134+466)-573.2=26.8(元).故将两次购物合为一次购物更省钱,比两次购物节省26.8 元.
本题中条件比较复杂,要分别进行讨论才能判断,分类 讨论是一种重要且常用的数学思想方法.
1.分段计费问题涉及三个量(1)用的量;(2)价格(分段计费);(3)费用.2.解题策略 若已知用的量和价格求费用,需按每段的价格进行计算; 若已知费用和价格求用的量,需根据费用判断用的量的 范围,若无法判断则进行分类讨论.
某市自2020年1月起,对宾馆、饭店用水开始实行阶梯 式计量水价,该阶梯式计量水价分为三级(如下表所示):
(2)某饭店8月份用水量为160立方米,则该饭店8月份应交的 水费为多少元?(3)某饭店9月份交水费1 120元,求该饭店9月份的用水量.
(1)某饭店7月份用水量为20立方米,则该饭店7月份需交的水 费为 元;
分析 (1)直接利用用水量在50立方米以下(含50立方米)的部 分水价为4.6元/立方米计算得出答案即可;(2)根据三级收费 标准不同,分别得出分段费用,进而得出答案;(3)利用用水150 立方米的水费数判断出交1 120元水费时用水量的范围,然后 求解.
(1)由题意可得20×4.6=92(元),故答案为92.(2)由题意,得50×4.6+(150-50)×6.5+(160-150)×8=960(元).答:该饭店8月份应交水费960元.(3)因为50×4.6+(150-50)×6.5=880(元),1 120>880,所以该饭店9月份的用水量超过150立方米,设该饭店9月份的用水量为x立方米,根据题意,得
50×4.6+(150-50)×6.5+8(x-150)=1 120,解得x=180.答:该饭店9月份的用水量为180立方米.
素养解读 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问 题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主 要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题,提出问题,分析 问题,构建模型,计算求解,验证结果,改进模型,最终解决实际 问题.
数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁,是数学应用的 重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段,也 是推动数学发展的动力. 数学建模主要表现为:发现和提出问题,建立和求解模型, 检验和完善模型,分析和解决问题.
小明和小聪到了某游泳馆,他们看了购买入场券信息 后有如下对话:
小明:“我一年大约来游泳m次,办理会员证和不办理会员证 花费一样.”小聪:“我一年来游泳的次数大约是n次,办理会员证比不办 理会员证能节省60元.”根据以上信息解答下列问题.
(1)求m的值;(2)求n的值.
在①2x+1;②1+7=15-8+1;③1- x=x-1;④x+2y=3中,方程共有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
①2x+1不是等式;②1+7=15-8+1不含未知数;③④是方 程.
方程中的未知数可以是x,也可以是y,t,m等其他字母.
1.一元一次方程的概念 只含有一个未知数,未知数的次数都是1,等号两边都是 整式,这样的方程叫做一元一次方程.2.一元一次方程的概念解读(1)“元”是指未知数,一元是指只含有一个未知数;(2)“次”是指含未知数的项的次数;(3)“整式”是指未知数不在分母的位置上.
已知下列等式:①x-2= ;②0.3x=1;③ =5x-1;④x2-4x=3;⑤x=6;⑥x+2y=0;⑦ax-b=0(a,b为常数).其中一元一次方程的 个数是( )A.2 B.3C.4 D.5
方程①分母中含有未知数,不是整式方程,所以不是一元 一次方程;方程④中未知数的最高次数是2,所以不是一元一次方程;方程⑥有两个未知数,所以不是一元一次方程;⑦没说a≠0,所以不一定是一元一次方程.方程②③⑤都是一元一次方程.
判断一个方程是不是一元一次方程,首先应将原方程化简,整理,然后再判断.若方程可化为ax+b=0(a≠0)的形式,则该方程为一元一次方程.
已知方程(m-1)x|m|=6是关于x的一元一次方程,则m的值 是 .
因为方程(m-1)x|m|=6是关于x的一元一次方程,所以|m|=1且m-1≠0,解得m=±1且m≠1,所以m=-1.
在一元一次方程中,如果未知数的次数或系数中含有某个字母,根据一元一次方程中未知数的次数等于1与未知数的系数不等于0可以求得这个字母的值.
3 方程的解与解方程
检验括号中的数是不是方程的解:(1)2x=10-3x(x=0,x=2);(2)(x-2)(x+1)=0(x=-1,x=1,x=2).
(1)当x=0时,左边=2×0=0,右边=10-3×0=10,因为左边≠ 右边,所以x=0不是方程2x=10-3x的解.当x=2时,左边=2×2=4,右边=10-2×3=4,因为左边=右边,所以x=2是方程2x=10-3x的解.(2)当x=-1时,左边=(-1-2)×(-1+1)=0,所以左边=右边,所以x=-1是方程(x-2)(x+1)=0的解.当x=1时,左边=(1-2)×(1+1)=-2,所以左边≠右边,所以x=1不是方程(x-2)(x+1)=0的解.
当x=2时,左边=(2-2)×(2+1)=0,所以左边=右边,所以x=2是方程(x-2)(x+1)=0的解.
检验一个数是不是方程的解,根据方程的解的概念,只需要将所给的字母的值分别代入方程的左右两边,若两边的值相等,则这个数就是方程的解,否则不是.
已知x=-3是关于x的方程k(x+4)=x+5的解,则k= .
因为x=-3是关于x的方程k(x+4)=x+5的解,所以k(-3+4)=-3+5,解得k=2.
解决这类题的一般方法是“见根代入”.
4 列简单的一元一次方程
(2022北京通州期末)某活动小组购买了4个篮球和5个 足球,共花费435元,其中篮球的单价比足球的单价多3元,求篮 球和足球的单价.设足球的单价为x元,依题意可列方程为 .
4(x+3)+5x=435
若足球的单价为x元,则篮球的单价为(x+3)元,根据“4 个篮球的费用+5个足球的费用=435元”建立方程,得4(x+3)+ 5x=435.
列方程解实际问题首先应分析等量关系,并把某未知的量设为x,然后把x视为已知量,以等量关系为前提列出方程.
知识点2 利用等式的性质解方程
3.1.2 等式的性质
用适当的数或式子填空,使所得结果仍是等式.(1)如果a-3=b+2,那么a+1= ;(2)如果3x=2x+5,那么3x- =5;(3)如果 x=5,那么x= ;(4)如果5m=2n,那么m= .
(1) (2)
(3) (4)
先从不需要填空的一边入手,观察这一边是怎样变形的,再根据等式的性质,对另一边也进行同样的变形.
如果3a-1=2,那么6a= .
等式两边都乘2,得6a-2=4,等式两边都加2,得6a=6.
求某个式子的值有两种代入方法:一是直接代入,二是整体代入.当已知条件仅仅给出式子中部分字母的值时,通常利用整体代入求值.
利用等式的性质解方程的步骤(1)方程两边同时加(或减)同一个数(或式子),使一元一次方程 左边是含未知数的一项,右边是常数项;(2)方程两边同时乘(或除以)同一个数(除数不为0),使未知数 的系数化为1,从而得出方程的解.
2 利用等式的性质解方程
利用等式的性质解下列方程:(1)x+5=7;(2)-4x=20;(3)4x-4=8;(4)4x=8x-12.
分析 利用等式的性质解方程,必须注意在加或减、乘或除 以某个数时,方程两边要同时进行,否则会出现错误.
(1)利用等式的性质1,两边都减去5得x+5-5=7-5,即x=2.(2)利用等式的性质2,两边都除以-4得 = ,即x=-5.(3)利用等式的性质1,两边都加上4得4x-4+4=8+4,即4x=12.利用等式的性质2,两边都除以4得x=3.(4)利用等式的性质1,两边都减去8x得4x-8x=8x-12-8x,即-4x=- 12.利用等式的性质2,两边都除以-4得x=3.
利用等式的性质2时,忽略除数不为0的条件
下列说法中,正确的个数是 ( )①若mx=my,则mx-my=0;②若mx=my,则x=y;③若mx=my,则mx+my=2my;④若x=y,则mx=my.A.1 B.2 C.3 D.4
容易认为m是非零的数而错误地以为②是正确的,从而错选D.实际上没有限制m,当m=0时,不能由mx=my得到x=y.
3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
知识点1 解一元一次方程——系数化为1
知识点2 解一元一次方程——合并同类项
知识点3 解一元一次方程——移项
知识点4 列一元一次方程解决实际问题
1 解一元一次方程——系数化为1
解下列方程:(1)6x=8;(2)- y=6;(3)0.25z=-3.
(1)6x=8,系数化为1,得x= .(2)- y=6,系数化为1,得y=-4.(3)0.25z=-3,即 z=-3,系数化为1,得z=-12.
1.合并同类项的概念 解一元一次方程时,将等号两边含有未知数的项和常数 项分别合成一项的过程,叫做合并同类项.2.用合并同类项法解一元一次方程的步骤(1)合并同类项,即把方程中含有未知数的项合并,常数项合 并,把方程化为ax=b(a≠0)的形式;(2)系数化为1.
2 解一元一次方程——合并同类项
解下列方程:(1)x- x- x=-5+8-6;(2)-2x-1.5x+6.5x=4×3-9×2.
分析 紧扣利用合并同类项法解方程的步骤,正确地将等式 两边的同类项分别合并是解题的关键.
(1)合并同类项,得 x=-3,系数化为1,得x=-12.(2)合并同类项,得3x=-6,系数化为1,得x=-2.
(1)解方程中的合并同类项与整式的加减中的合并同 类项是一样的.(2)合并同类项后的未知数的系数为负数时,不能漏掉“-”号.
3 解一元一次方程——移项
解方程:(1)5x+3=4x;(2) y-1= y+4;(3)-5x+6+7x=1+2x-3+8x.
(1)移项,得5x-4x=-3,合并同类项,得x=-3.(2)移项,得 y- y=4+1,合并同类项,得 y=5,系数化为1,得y=3.(3)移项,得-5x+7x-2x-8x=1-3-6,合并同类项,得-8x=-8,系数化为1,得x=1.
4 列一元一次方程解决实际问题
《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文 如下:今有人共买物,人出十一,盈八;人出九,不足十二.问物价 几何?译文为:现有一些人共同买一个物品,每人出11元,还盈 余8元;每人出9元,则还差12元.问这个物品的价格是多少元?
分析 设共有x人,则物品的价格用两种方式表示为(11x-8)元或(9x+12)元,根据物品的价格不变列方程.
设共有x人,依题意,得11x-8=9x+12,解得x=10.当x=10时,11x-8=11×10-8=102.答:这个物品的价格是102元.
本题为“盈余与不足问题”,分别根据盈余和不足的情况用含未知数的式子表示出同一个量,然后列方程.
为鼓励学生参加体育锻炼,学校计划购买一批篮球和排 球.已知篮球和排球的单价比为3∶2,单价之和为80元,则篮球 和排球的单价分别为多少元?
分析 因为篮球和排球的单价比为3∶2,所以可设篮球和排 球的单价分别为3x元和2x元,再根据它们的单价之和为80元 列方程即可.
设篮球和排球的单价分别为3x元和2x元.根据题意列方 程,得3x+2x=80.合并同类项,得5x=80.系数化为1,得x=16.所以3x=3×16=48,2x=2×16=32.答:篮球和排球的单价分别为48元和32元.
3.3 解一元一次方程(二)——去括号与去分母
知识点1 解一元一次方程——去括号
知识点2 解一元一次方程——去分母
知识点3 解一元一次方程的一般步骤
知识点4 列一元一次方程解应用题
1 解一元一次方程——去括号
解方程:(1)5(x+8)-5=6(2x-7);(2) (2y+3)=1-y- (y-2).
分析 去括号时,要注意括号前面的符号,是负号时去掉括号 后要改变括号内各项的符号;另外要将括号外的系数乘括号 中的每一项.
(1)去括号,得5x+40-5=12x-42.移项,得5x-12x=-42-40+5.合并同类项,得-7x=-77.系数化为1,得x=11.(2)去括号,得y+ =1-y- y+ .移项,得y+y+ y=1+ - .合并同类项,得 y= .系数化为1,得y= .
去括号时,不要漏乘括号内任何一项.
2 解一元一次方程——去分母
解下列方程:(1) x= (x-2);(2) -2= ;(3) =2- ;(4) -1= - .
(1)去分母,得7x=3(x-2).去括号,得7x=3x-6.移项,得7x-3x=-6.合并同类项,得4x=-6.系数化为1,得x=- .(2)去分母,得3(x-1)-12=x.去括号,得3x-3-12=x.移项,得3x-x=3+12.合并同类项,得2x=15.
系数化为1,得x= .(3)去分母,得5(y-2)=20-2(y+1).去括号,得5y-10=20-2y-2.移项,得5y+2y=20-2+10.合并同类项,得7y=28.系数化为1,得y=4.(4)去分母,得5(2x-1)-20=10(2-3x)-4(2x+1).去括号,得10x-5-20=20-30x-8x-4.移项,得10x+30x+8x=20+5+20-4.
合并同类项,得48x=41.系数化为1,得x= .
3 解一元一次方程的一般步骤
解下列方程:(1) =5x;(2)- =2+ .
(1)去括号,得3x- +1=5x.移项,得3x-5x= -1.合并同类项,得-2x= .系数化为1,得x=- .(2)整理,得- =2+ .去分母,得-x=12+2(3-2x).去括号,得-x=12+6-4x.移项,得-x+4x=12+6.
合并同类项,得3x=18.系数化为1,得x=6.
解一元一次方程时,有分母的第一步不一定是去 分母,而要根据题目特征灵活选择解题步骤.
行程问题数量关系:路程=速度×时间(1)相遇问题的等量关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.(2)追及问题的等量关系:同地不同时出发:前者走的路程=追 者走的路程;同时不同地出发:前者走的路程+两出发点间的 距离=追者走的路程.(3)航行问题的等量关系:利用总路程相等,或总时间相等来列 式.顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度.
4 列一元一次方程解应用题
小明、小亮两人相距5 km,小明先出发0.5 h,小亮再出 发,小明在后小亮在前,两人同向而行,小明的速度是8 km/h,小 亮的速度是6 km/h,小明出发几小时后追上小亮?
分析 如图所示,设小明出发x h后追上小亮,小明和小亮相距 5 km,两人同向而行,小明出发0.5 h后小亮才出发,最终小明追 上了小亮,由此寻求到的相等关系为“小明走的路程-小亮走 的路程=两人原来的距离”.
设小明出发x h后追上小亮,根据题意,得8x-6(x-0.5)=5,解得x=1.答:小明出发1 h后追上小亮.
利用线段图能直观地将问题中的总量与分量呈现在一条线段上,分析行程问题时往往用线段图将路程呈现出来,这样便于理解.
解方程: - =1.
去分母、去括号不按照法则计算
去分母,得3(x-3)-5(x-4)=15,去括号,得3x-9-5x+20=15,移项,得3x-5x=15+9-20,合并同类项,得-2x=4,系数化为1,得x=-2.
去分母时要给多项式的分子加括号,不要漏乘不含分母的项.去括号时要用括号外的系数乘括号内的每一项.
3.4 实际问题与一元一次方程
知识点3 商品销售问题
知识点5 方案决策问题
知识点6 分段计费问题
某车间有14名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能 生产螺栓24个或螺母36个,1个螺栓需要配2个螺母,若安排m 名工人生产螺栓,使每小时生产的螺栓和螺母刚好配套,那么 可列方程为 ( )A.24×m=36×(14-m)×2B.24×(14-m)=36×m×2C.24×m×2=36×(14-m)D.24×(14-m)×2=36×m
因为安排m名工人生产螺栓,所以有(14-m)名工人生产 螺母,所以每小时生产的螺栓有24m个,螺母有36×(14-m)个.因 为生产螺母的总数是生产螺栓总数的2倍时刚好配套,所以螺 栓的个数乘2得螺母的个数,所以2×24m=36×(14-m).
解配套问题的关键是了解两种相关数量中,哪种数量 多,哪种数量少,是几比几的配套问题.本题中螺栓∶螺母=1∶2,所以2×螺栓数=1×螺母数.
1.工程问题中的基本相等关系(1)工作量=工作效率×工作时间;(2)工作效率=工作量÷工作时间;(3)工作时间=工作量÷工作效率.2.人均效率表示平均每人单位时间内完成的工作量.涉及人均效率的工 作量=人均效率×人数×时间.
3.工程完成方式一般出现“单独完成”和“合作完成”两种方式,常见的相 等关系为各阶段工作量之和=总工作量.4.两种类型(1)有具体工作总量的;(2)工作总量为单位1的.
将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲单独做 需6小时,乙单独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起 做,则甲、乙一起做还需多长时间才能完成工作?
分析 30分钟= 小时,可设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作,等量关系:甲 小时的工作量+甲、乙合作x小时的工作量=1,把相关数值代入求解即可.
设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.根据题意,得 × + x=1,解得x= , 小时=2小时12分钟.答:甲、乙一起做还需2小时12分钟才能完成工作.
解决工程问题时,一定要看清时间的单位是否统 一,不统一的先统一单位.
某商场为减少库存积压,以每件120元的价格出售两件 衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖中,商场 是盈利了还是亏损了?请求出盈利或者亏损的钱数.
分析 两件衣服共卖了240元,是盈利还是亏损要看两件衣服 的总进价,假设第一件衣服盈利20%,它的进价为x元,则x<120, 第二件衣服亏损20%,它的进价为y元,则y>120,所以x
答:在这次买卖中,商场亏损了,亏损了10元.
当售价相同,盈利率与亏损率也相同时,其结果一定是 亏损.
足球比赛的记分规则如下:胜一场得3分,平一场得1分, 输一场得0分.一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已 比赛了8场,输了1场,共得17分.请问:(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场?(2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低 于29分,就可以达到预期的目标.请你分析一下,在后面的6场 比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标.
分析 (1)如果这支球队胜x场,则平(8-1-x)场,根据积分方法及 积分分数可列出方程.(2)因为胜的场数越多得分越高,所以后面的比赛全部胜利时 得分最高.(3)根据目标要求,后面的比赛只需再得12分.
(1)设前8场比赛中,这支球队共胜了x场,则平了(8-1-x)场,根据题意,得3x+(8-1-x)=17.解得x=5.答:前8场比赛中,这支球队共胜了5场.(2)要使得分最高,必须在后面的比赛中全胜,17+(14-8)×3=35 (分).答:打满14场比赛最高能得35分.(3)设后6场比赛需要至少胜y场,则需平(6-y)场,
由题意,得3y+(6-y)×1=29-17,解得y=3.答:后6场比赛中,这支球队至少要胜3场,才能达到预期目标.
理解“至少”的含义是解题的关键,因为比赛结果分 为胜、输、平三种,所以要想达到预期目标,在后6场比赛中输的场数越少所需胜的场数越少,由此得到后6场比赛中只能出现胜、平两种比赛结果.
在生活中,做一件事情往往有多种方案,这就要选择一个 最优方案,要选择最优方案就要把每一种方案的结果都算出 来,通过比较,确定最优方案.
某商场元旦期间搞促销活动,一次性购物不超过200元 不优惠,超过200元,但不超过500元,全部按9折优惠,超过500 元,超过部分按8折优惠,不超过的500元仍按9折优惠,某人两 次购物分别用了134元和466元.(1)此人两次购物,若物品不打折,则需分别支付多少钱?(2)此人两次购物共节省多少钱?(3)若将两次购物合为一次购物,是否更省钱?说明理由.
分析 (1)中首先应判断花费了134元的物品是否有优惠,花 费了466元的物品是如何优惠的,然后再求解;(2)中应利用(1)的结果求解;(3)中应先计算合为一次购物时付款数为多少,再与(134+466) 元进行比较.
(1)因为200×0.9=180(元),134元<180元,所以花费了134元的物品未优惠.因为500×0.9=450(元)<466(元),所以花费了466元的物品原价 超过了500元.设花费了466元的物品原价为x元,依题意得500×0.9+(x-500)×0.8=466,解得x=520.故如果不打折,则需分别支付134元和520元.(2)节省134+520-(134+466)=54(元).
(3)134+520=654(元),原价为654元的物品优惠价为500×0.9+(654-500)×0.8=573.2 (元).故节省(134+466)-573.2=26.8(元).故将两次购物合为一次购物更省钱,比两次购物节省26.8 元.
本题中条件比较复杂,要分别进行讨论才能判断,分类 讨论是一种重要且常用的数学思想方法.
1.分段计费问题涉及三个量(1)用的量;(2)价格(分段计费);(3)费用.2.解题策略 若已知用的量和价格求费用,需按每段的价格进行计算; 若已知费用和价格求用的量,需根据费用判断用的量的 范围,若无法判断则进行分类讨论.
某市自2020年1月起,对宾馆、饭店用水开始实行阶梯 式计量水价,该阶梯式计量水价分为三级(如下表所示):
(2)某饭店8月份用水量为160立方米,则该饭店8月份应交的 水费为多少元?(3)某饭店9月份交水费1 120元,求该饭店9月份的用水量.
(1)某饭店7月份用水量为20立方米,则该饭店7月份需交的水 费为 元;
分析 (1)直接利用用水量在50立方米以下(含50立方米)的部 分水价为4.6元/立方米计算得出答案即可;(2)根据三级收费 标准不同,分别得出分段费用,进而得出答案;(3)利用用水150 立方米的水费数判断出交1 120元水费时用水量的范围,然后 求解.
(1)由题意可得20×4.6=92(元),故答案为92.(2)由题意,得50×4.6+(150-50)×6.5+(160-150)×8=960(元).答:该饭店8月份应交水费960元.(3)因为50×4.6+(150-50)×6.5=880(元),1 120>880,所以该饭店9月份的用水量超过150立方米,设该饭店9月份的用水量为x立方米,根据题意,得
50×4.6+(150-50)×6.5+8(x-150)=1 120,解得x=180.答:该饭店9月份的用水量为180立方米.
素养解读 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问 题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主 要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题,提出问题,分析 问题,构建模型,计算求解,验证结果,改进模型,最终解决实际 问题.
数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁,是数学应用的 重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段,也 是推动数学发展的动力. 数学建模主要表现为:发现和提出问题,建立和求解模型, 检验和完善模型,分析和解决问题.
小明和小聪到了某游泳馆,他们看了购买入场券信息 后有如下对话:
小明:“我一年大约来游泳m次,办理会员证和不办理会员证 花费一样.”小聪:“我一年来游泳的次数大约是n次,办理会员证比不办 理会员证能节省60元.”根据以上信息解答下列问题.
(1)求m的值;(2)求n的值.
相关课件
初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）1.2 有理数教课内容ppt课件： 这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）1.2 有理数教课内容ppt课件，文件包含Unit2Btalkpptxpptx、单元整体教学设计第4课时docx、Let‘stalkwav、Listenandchantwav等4份课件配套教学资源，其中PPT共20页， 欢迎下载使用。
初中数学人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程课文ppt课件： 这是一份初中数学人教版七年级上册<a href="/sx/tb_c20158_t3/?tag_id=26" target="_blank">3.4 实际问题与一元一次方程课文ppt课件</a>，共34页。PPT课件主要包含了等积变形问题，行程问题，储蓄问题，利润问题等内容，欢迎下载使用。
人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程课前预习课件ppt： 这是一份人教版七年级上册<a href="/sx/tb_c88444_t3/?tag_id=26" target="_blank">3.1.1 一元一次方程课前预习课件ppt</a>，共24页。PPT课件主要包含了一元一次方程，方程的解和解方程，等式的基本性质等内容，欢迎下载使用。
