四川省叙永第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省叙永第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
第I卷 选择题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A. 3B. C. 1D.
5. 设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米/秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米/秒，则至少约为（结果精确到，参考数据：，）（ ）
A. 吨B. 吨C. 吨D. 吨
8. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列关系正确是（ ）
A. B.
C. D. 
10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的定义域为R
B. 是奇函数
C. 在定义域上是减函数
D. 无最小值，无最大值
11. 已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A. 在区间上有且仅有个不同的零点
B. 的最小正周期可能是
C. 的取值范围是
D. 在区间上单调递增
12. 已知，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为D. 的最大值为2
第II卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若，且，则__________．
14. 如图，正六边形边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________．

15. 已知是第二象限的角.化简：的值为____________.
16. 已知正实数满足，则的最小值是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）.
18. 集合，集合，
（1）若，求实数的取值范围.
（2）若，求实数的取值范围.
19. 已知角是第三象限角，.
（1）求，的值；
（2）求的值.
20. 为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量(单位：)与时间(单位：）的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．
（1）求值；
（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
21. 已知函数，且函数图像中相邻两条对称轴间的距离为.
（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数最值，并写出相应的自变量的取值.
22. 已知函数偶函数，函数为奇函数，且满足．
（1）求函数，的解析式；
（2）若函数，且方程恰有三个解，求实数k的取值范围．叙永一中高2023级高一上期期末考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
第I卷 选择题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的运算法则计算．
【详解】，．
故选：C．
2. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得恒成立，由即可求出.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，所以，解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由可得，
由已知且，若，则，所以，，则，矛盾.
若，则，从而，合乎题意.
综上所述，“”是“”的充要条件.
故选：C.
4. 已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A. 3B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据是幂函数，由求得，再根据函数在上是减函数，确定的值求解.
【详解】由函数为幂函数知，
，解得或.
∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴，，
∴.
故选：C.
5. 设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式等价变形，转化为对勾函数在上的最值，即可求解.
【详解】由在上有解，得在上有解，
则，由于，而在单调递增，
故当时，取最大值为，故，
故选：C
6. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
7. 2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米/秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米/秒，则至少约为（结果精确到，参考数据：，）（ ）
A. 吨B. 吨C. 吨D. 吨
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可.
【详解】因为当时，，
所以，
由，
得，
所以，
解得（吨），
即至少约为吨.
故选：B
8. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值.
【详解】根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,
可得
由,
可知
即
所以
的最大值为,的最小值为
则的最大值为,的最小值为
所以的最大值为
故选:A
【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换,三角函数性质的综合应用,利用函数的最值求参数的取值情况,属于难题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D. 
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.
【详解】由空集的定义知：，A正确.
,B正确.
，C错误.
,D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的定义域为R
B. 是奇函数
C. 在定义域上是减函数
D. 无最小值，无最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】求解，可判断A；利用函数奇偶性的定义可判断B；比较可判断C；分离常数得到，分析单调性及函数值域可判断D
【详解】选项A，，解得，故的定义域为，选项A错误；
选项B，函数定义域关于原点对称，且，故是奇函数，选项B正确；
选项C，，故，即在定义域上不是减函数，选项C不正确；
选项D，，令，，由于在上单调递增，在分别单调递减，故函数在分别单调递减，且时，，时，，时，，时，，故函数的值域为，无最小值，无最大值，选项D正确
故选：BD
11. 已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A. 在区间上有且仅有个不同的零点
B. 的最小正周期可能是
C. 的取值范围是
D. 在区间上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】根据三角函数对称轴情况可得的取值范围，进而判断各选项.
【详解】解：由函数（），
令，，则，，
函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，
由，得，即，
则，，，，
即，
，C正确；
对于A，，，
，
当时，在区间上有且仅有个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故A错误；
对于B，周期，由，则，
，
又，所以的最小正周期可能是，故B正确；
对于D，，，
又，
又，所以在区间上不一定单调递增，故D错误；
故选：BC．
12. 已知，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 最小值为D. 的最大值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】对A，直接运用均值不等式即可判断；
对B，，运用均值不等式即可判断；
对C，，讨论二次函数最值即可；
对D，，讨论最值即可.
【详解】，，当时，即时，可取等号，A错；
，当时，即时，可取等号，B对；
，当时，可取等号，C对；
，D错.
故选：BC
第II卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】计算出的值，由，可得出，由此可求得的值.
【详解】，所以，，
，因此，.
故答案为：.
14. 如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________．

【答案】
【解析】
【分析】利用圆半径得到为等边三角形得出，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可．
【详解】如图，连接.
由题意知，线段的长度都等于半径，
所以，为正三角形，则，
故的面积为，
扇形的面积为，
由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，
所以阴影部分的面积.
故答案为：.

15. 已知是第二象限的角.化简：的值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题可以先通过是第二象限的角得出，然后对进行化简即可得到结果．
【详解】因为是第二象限的角，所以，
所以
.
故答案：.
【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简，利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是本题的关键．
16. 已知正实数满足，则的最小值是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】构造函数，结合条件及函数的单调性可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】设，则函数为增函数，
∵，
∴，即
∴，
∴，
当且仅当，即取等号.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
本题的关键是构造函数，从而得到，再利用基本不等式可求.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）18
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算法则化简求值即可；
（2）利用对数函数运算性质和换底公式进行化简运算即可
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式.
18. 集合，集合，
（1）若，求实数的取值范围.
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论是否为空集，当时，根据子集关系列式，解不等式可得结果；
（2）先求时，实数的取值范围，再求其补集即可得解.
【小问1详解】
①当时，，
此时,解得，
②当时，为使，需满足，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
【小问2详解】
先求时，实数的取值范围，再求其补集，
当时，由（1）知，
当时，为使，需满足或，
解得，
综上知，当或时，，
所以若，则实数的取值范围是.
19. 已知角是第三象限角，.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）利用平方关系和商数关系列方程组求解；
（2）用诱导公式化简后，再把齐次式化为关于的式子，代入已知计算．
【小问1详解】
由题意，又在第三象限，，故解得；
【小问2详解】
．
20. 为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量(单位：)与时间(单位：）的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．
（1）求的值；
（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）把代入即可求得的值；
（2）根据，通过分段讨论列出不等式组，从而求解.
【详解】（1）由题意可知，故；
（2）因为，所以，
又因为时，药物释放量对人体有害，
所以或，解得或，所以，
由，故对人体有害的时间为．
21. 已知函数，且函数图像中相邻两条对称轴间的距离为.
（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数的最值，并写出相应的自变量的取值.
【答案】（1），单调递增区间为
（2）时，取最小值；时，取最大值2
【解析】
【分析】（1）先由题意求出，再由解出即可求解；
（2）由可得，结合函数的图像求解即可.
【小问1详解】
因为函数图像中相邻两条对称轴间的距离为，
所以，
所以，即，
所以，
由，
得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，
所以，，
所以即时，取最小值；
即时，取最大值.
22. 已知函数为偶函数，函数为奇函数，且满足．
（1）求函数，的解析式；
（2）若函数，且方程恰有三个解，求实数k的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由及函数奇偶性得到，联立方程组求解即可；
（2）由（1）得到解析式，画出其图象，求出方程的两个解，数形结合即可得到实数k的取值范围．
【小问1详解】
因为是偶函数，是奇函数，且，①
所以，，
所以，即，②
由①②解得，
①②解得；
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
所以，，
作出的图象，如图所示：
因为方程恰有三个解，
即方程恰有三个解，
所以恰有三个解，
解得或，
又因为，结合图形可得：
或，解得或．
所以实数k的取值范围为．