四川省内江市第六中学2023-2024学年高一数学上学期开学考试（精英班）试题（Word版附解析）

内江六中高2026届高一上学期入学考试（精英班）

时间：120分钟    满分：150分

姓名：__________    学号：__________    成绩：__________

一、单选题（每小题5分，共40分，将答案写在下方表格中）

1. 下列说法中，正确的是（   ）

A. 若a>b，则 <  B. 若a>b，则ac>bc

C. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd D. 若a>b，则 <

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断，也可举特例说明．

【详解】选项A中，若满足，但仍然有，A错；

选项B中，若，则，B错；

选项C中，则得，，∴，C正确；

选项D中，若，则，甚至中有一个为0时，或无意义，D错．

故选：C．

2. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据“”用于元素与集合，“”用于集合与集合间判断出①⑤错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；根据集合元素的三要素判断出③对.

【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错；

对于②，是任意集合的子集，故②对；

对于③，根据集合中元素的无序性可知两个集合是同一集合，任何一个集合都是它本身的子集，故③对；

对于④，因为是不含任何元素的集合，故④错；

对于⑤，因为“”用于集合与集合，故⑤错.

故错误的有①④⑤，共3个，

故选：C.

3. 化简的结果为（　　）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用同底数幂的运算法则进行计算.

【详解】

故选：C.

4. 不等式的解集是（    ）

A. 或 B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分类讨论、与三种情况，将绝对值不等式转化一元一次不等式，解之即可.

【详解】因为，

当时，，则不等式可化为，解得，故；

当时，，则不等式可化为，解得，故；

当时，，则不等式可化为，解得，故；

综上：或，即不等式的解集为或.

故选：A.

5. 已知集合M满足，则所有满足条件的集合M的个数是（    ）

A 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知集合M的个数等价于集合的非空子集的个数，即可得答案.

【详解】由题意可知，M中必含元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个，

于是集合M的个数等价于集合的非空子集的个数，即．

故选：C.

6. 已知当自变量x在的范围内时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则常数m的值可为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】配方得时，，分、和讨论即可.

【详解】二次函数，

该函数图象开口向下，当时，取得最大值7，

当自变量在的范围内时，

二次函数的最大值与最小值的差为4，

当时，时取得最小值，时取得最大值，

此时最大值与最小值的差为；

当时，和分别取得最小值和最大值，

此时最大值与最小值的差大于4，不符合题意；

当时，和分别取得最大值和最小值，

此时最大值与最小值的差小于4，不符合题意；

由上可得，的取值范围是，

故选：C.

7. 函数的最大值为（    ）

A. 8 B.  C. 2 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的最值，即可得到结果.

【详解】设，则，即，所以，

因为，所以当时，函数取得最大值为.

故选：A

8. 若正实数满足，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1"的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题.

【详解】设，，则，

所以

，

因为，当且仅当时取等号.

所以.

故选:.

【点睛】本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化是中档题.

二、多选题（每小题5分，漏选得2分，多选得0分．将答案写在下方表格中）

9. 已知集合，则下列选项中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知集合逐个分析判断

【详解】对于A，，所以A正确，

对于B，，所以B错误，

对于C，，所以C正确，

对于D，，所以D正确，

故选：ACD

10. 下列结论中，错误的结论有（    ）

A. 取得最大值时x的值为1

B. 若，则的最大值为－2

C. 函数的最小值为2

D. 若，，且，那么的最小值为

【答案】ABCD

【解析】

【分析】根据二次函数的最值以及基本不等式判断各选项.

【详解】对于A，的对称轴为，所以取得最大值时x的值为，故A错误；

对于B，令

若，，，，当时，取等号,

所以，则.则的最大值为，故B错误；

对于C，函数

令，当时，，不满足题意，故C错误；

对于D，若，，且，

，当时，

即时，取等号.

所以的最小值为，故D错误.

故选：ABCD.

11. 已知、为正实数，，则（    ）

A.  B. 的最大值为

C. 的最小值为 D. 的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用基本不等式可判断ABD选项，利用二次函数的基本性质可判断C选项.

【详解】因为、为正实数，，

对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；

对于B选项，因为，则，

故，当且仅当时，等号成立，

所以，最大值为，B对；

对于C选项，，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C错；

对于D选项，，

当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，D对.

故选：ABD.

12. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（    ）

A.  B.

C. 的最大值为1，最小值为0 D. 与的图象有2个交点

【答案】AB

【解析】

【分析】对于A，根据高斯函数的定义直接计算即可，对于B，根据高斯函数的定义分析判断，对于C，由选项B可知是周期为1的周期函数，再分析在上的解析式，即可判断，对于D，在同一个坐标系中作出两函数的图象判断.

【详解】对于A，由题意得，所以A正确，

对于B，，所以B正确，

对于C，由选项B可知，是周期为1的周期函数，则当时，，

当时，，

当时，，

综上，的值域为，即的最小值为0，无最大值，所以C错误，

对于D，由选项C 可知，且的周期为1，

作出与的图象，由图象可知与的图象有无数个交点，所以D错误，

故选：AB

三、填空题（每小题5分，共计20分）

13. 化简_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定式子，确定a的范围，再化简二次根式作答.

【详解】依题意，，所以.

故答案为：

14. 已知集合，，则________.

【答案】

【解析】

【分析】利用不等式求得集合的元素，根据集合的交集，可得答案.

【详解】由，，解得，则；

由，解得或，则或

所以.

故答案为：.

15. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】由函数定义域为，分类讨论是否为0，在根据题意分析即可.

【详解】∵函数的定义域为，

∴在上恒成立，

①当时，恒成立，满足题意；

②当时，要使在上恒成立，

则解得．

综上若函数的定义域为，则实数的取值范围是．

故答案为：.

16. 如图，矩形分别是矩形边上的点，其中，以为邻边的矩形的面积记为，则的最小值是__________.

【答案】4

【解析】

【分析】设（），表示出，然后由∽可表示出，求出矩形的面积，换元后利用基本不等式求最小值即可.

【详解】设（），

因为，，所以，

所以，

因为四边形为矩形，所以，

所以，

因为，所以，

所以∽，所以，

即，所以，

所以矩形的面积，

令，则，，

所以，当且仅当，即时取等号，

所以当时，取得最小值4.

故答案为：4

四、解答题（17题每题10分，其余各题12分，共计70分）

17. （1）计算: ；

（2）化简: .

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）通过指数运算公式及绝对值的定义即可计算；

（2）通过分式运算法则即可运算.

【详解】（1）原式;

（2）原式,

.

18. 已知关于x的方程有两个实数根，

（1）若时，求的值；

（2）若，求实数m的值.

【答案】（1）1    （2）

【解析】

【分析】（1）由利用韦达定理可得答案；

（2）由利用韦达定理可得答案.

【小问1详解】

时，，，

可得，，

；

【小问2详解】

由，得，

，，

由，

得，

解得舍去，或，

所以实数m的值为.

19. 已知为实数，，

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用交集和补集的定义即可求解；

（2）利用集合的运算与子集的关系，结合子集的定义即可求解.

【小问1详解】

，

由，得，

，

，

.

【小问2详解】

，

，

由（1）知，，

当时，,解得；

当 时，，解得,

综上所述：实数a的取值范围是.

20. 已知.

（1）求证：；

（2）求的最小值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）2

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式有，即可证结论；

（2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.

【小问1详解】

由，，当且仅当时取等号.

所以，得证.

【小问2详解】

当且仅当时取等号，故的最小值为2.

21. 已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若最小值记为，，且满足，求证：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先分类讨论得到不含绝对值解析式，再由得到，从而解一元一次不等式即可得解；

（2）先利用分类讨论与一次函数的单调性求得的最小值，再利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可证得结论.

【小问1详解】

因为，

当时，；

当时，；

当时，；

因为，所以，

当时，得，解得，故；

当时，得，解得，故；

当时，得，解得，故；

综上：，即的解集为.

【小问2详解】

由（1）得，

当时，，则；

当时，，则，即；

当时，，则；

综上：，故最小值为，即，

所以，

又，令，则，且，

所以，

当且仅当且，即时，等号成立，此时，

所以，即.

22. 2022年9月22日，中国政府提出双碳目标两周年之际，由《财经》杂志、《财经十一人》、中创碳投联合主办的第二届“碳中和高峰论坛”在京落幕.过去一年，全球地缘政治重构，低碳转型先驱欧洲陷入能源危机，中国也不时出现煤荒电荒.在此背景下，与会专家观点各异，共识是低碳转型大势所趋，不会被暂时的波动所动摇.为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析：全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.

（1）请写出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）

（2）当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1）   

（2）2022年的总产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为4250万元

【解析】

【分析】（1）分和两种情况利用利润＝售价－成本可求出的解析式；

（2）由（1）得到，根据分段函数的性质，分类讨论当和时的最大值，比较大小即可得答案.

【小问1详解】

由题意得当时，，

当时，

，

所以，

【小问2详解】

由（1）得，

当时，，

所以当时，取得最大值4250，

当时，

当且仅当，即时取等号，此时取得最大值4070，

因为，

所以当，即2022年的总产量为25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为4250万元.