青岛版（2024）九年级上册第3章 对圆的进一步认识3.4 直线与圆的位置关系优秀第3课时课时练习

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题型一 切线的性质定理
1．如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【分析】本题考查切线长定理，直接根据切线长定理，即可得出结果．
【详解】∵为外一点，，分别切于，两点，
∴，
故选B．
2．如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，则的长是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】本题考查了切线长定理；由切线长定理得，，即可求解．
【详解】解：、、是的切线，
切点分别是、、，
，，
，
，
故选：B．
3．如图，、切于点、，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据切线长定理得到，结合题意，即可求得的周长．
【详解】是的切线，
．
的周长
．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理，理解切线长定理是解题的关键．
4．如图，四边形外切于，且，，则四边形的周长为
A．60B．55C．45D．50
【答案】D
【分析】根据切线长定理得到，，，，进而求出，再根据四边形的周长公式计算，得到答案．本题考查了切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：四边形外切于，切点分别为、、、，
，，，，
，
四边形的周长为：，
故选：D．
5．如图，，分别切于点A，B，，那么AB的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查切线长定理，由切线长定理知，根据已知条件即可判定是等边三角形，由此可求得AB的长．
【详解】解：∵、分别切于A、B，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：2．
6．如图，是的两条切线，A、B是切点，若，则等于 ．
【答案】30°/30度
【分析】本题考查的是切线长定理的应用，熟记切线长定理的含义是解本题的关键；由切线长定理可得．
【详解】解：∵是的两条切线，，
∴．
故答案为：
7．如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数．
【答案】，
【分析】根据切线的性质，得到，利用互余关系求出的度数，利用切线长定理，得到是等腰三角形，利用三角形内角和求出的度数即可．
【详解】解：∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质和切线长定理．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．
8．如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长．
【答案】
【分析】
本题考查了切线长定理．设，根据切线长定理得到，则，然后解方程求出x，从而得到的长．
【详解】解：设，
∵的内切圆分别和切于点D，E，F，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴．
9．如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积（ ）
A．12B．24C．8D．6
【答案】D
【分析】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积．
【详解】解：与圆切于点，
显然根据切线长定理有，，
设，
则，，
在三角形中由勾股定理得：
，
，
，
，
．
故选：D
10．如图，，切于，两点，切于点，交，于，．若的半径为1，的周长等于，则线段的长是（ ）

A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】连接，根据切线长定理得出，，结合的周长等于，得出，计算，，的值，得出，最后得出为等边三角形，即可求解．
【详解】解：连接，
∵，切于，两点，切于点，
∴，，
∵的周长等于，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故选：A．

【点睛】本题主要考查切线长定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握过圆外一点可以作圆的两条切线，这点到两个切点的距离相等．
11．如图，与相切于点C，经过上的点D，交于点，，是的直径．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，即可得出，进而证得，得到，即可证得结论；
（2）根据切线长定理可得，，然后利用勾股定理求出，再根据，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的切线，与相切，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
即的半径长为3．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12．如图，已知D为上一点，点C在直径的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)过点B作的切线交的延长线于点E，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定、切线长定理、圆周角定理、勾股定理、三角形相似的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键．
（1）如图，连接．由是的直径，可得，可证得．进而可证，再由是的半径，即可证得结论；
（2）如图，连接．利用切线性质，可得，得，，再由，可得，得出，在中，设，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接．
是的直径，
，
．
，
，
．
又，即，
，即，
．
又是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接．
、均为的切线，
，，
，，
，
，
又∵
∴，
∴，
∵，，
，
，
∴，
，
在中，设，
，
解得．
即的长为5．
13．如图，是直角三角形，，以为直径的与边交于点，过作的切线交于，连接，交于．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）方法一：连接交于，利用切线长定理可得，，可得，利用圆周角定理证明，从而可得结论；方法二：证明 结合利用三角形的中位线的性质可得结论；
（2）连接，证明，由，利用等角的三角函数值相等，求解从而可得答案．
【详解】证明（1）方法一：连接交于，
∵且为直径
∴是的切线
又∵DE是的切线
∴，，
∴
∴
∵为直径
∴
∴
方法二：连接，
∵且为直径
∴是的切线
又∵是的切线
∴
∴
∵为直径
∴
∴
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
（2）连接，
∵
∴
∵
∴
∴
∵
又∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆的切线的判定与性质，平行线的判定，直角三角形的两锐角互余，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．