2023-2024学年四川省内江市第二中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省内江市第二中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用交集和并集的定义可求得结果．
【详解】由已知可得，则．
故选：A．
2．“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用命题的充分而不必要条件定义即可得到二者间的逻辑关系.
【详解】由，可得，
则由“”可以得到“”；
由“” 不能得到“”.
故“”是“”的充分而不必要条件.
故选：B
3．已知幂函数图象过点，则等于（ ）
A．12B．19
C．24D．36
【答案】D
【分析】根据题意，求得，代入即可求解.
【详解】设幂函数，
因为幂函数图象过点，可得，解得，即，
所以.
故选：D.
4．函数的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可.
【详解】在上为单调递增函数，
又，故，
所以的零点一定在内.
故选：B.
5．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度的关系为（为常数）.若牛奶在的冰箱中，保鲜时间约是，在的冰箱中，保鲜时间约是，那么在的冰箱中保鲜时间约是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将对应温度和保鲜时长分别带入关系式，解出方程组即可得，再利用指数关系运算即可得结果.
【详解】由题得，解得，
因此在的冰箱中的保鲜时间大约是.
故选：B．
6．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】D
【分析】根据函数定义域得到不等式，解得答案.
【详解】定义域满足，解得且.
故选：D.
7．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易得为偶函数，且在上单调递增，可将不等式化为，解不等式即可.
【详解】因为为偶函数，且在上单调递增，
因为，所以，
即，所以，
所以或
故选：D.
8．已知函数，函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出函数的图像，原问题转化为函数与共有6个交点，等价于与有三个交点，结合图像得出其范围.
【详解】作出函数的图像如下：

数，且函数有6个零点等价于有6个解，
等价于或共有6个解
等价于函数与共有6个交点，
由图可得与有三个交点，所以与有三个交点
则直线应位于之间，
所以
故选：B.
【点睛】方法点睛：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解.
二、多选题
9．设，则的一个必要不充分条件可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断，找出能使是其真子集的范围即可.
【详解】根据题意可知，需满足是该条件范围的真子集，
经逐一检验可知BD符合题意.
故选：BD
10．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据定义域和对应法则判断.
【详解】A选项：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故A错；
B选项：，，定义域都为R，对应法则相同，故B正确；
C选项：，的定义域都为，对应法则相同，故C正确；
D选项：，，定义域都为R，对应法则相同，故D正确.
故选：BCD.
11．以下说法正确的有（ ）
A．实数是成立的充要条件
B．对恒成立
C．命题“，使得”的否定是“，使得”
D．若，则的最小值是8
【答案】BCD
【分析】利用不等式的性质及充分条件必要条件的定义可判断A，根据不等式的性质，可判断B，由特称命题的否定可判断C，由基本不等式可判断D.
【详解】对A：由实数可推出，而由推不出，如，故实数是成立的充分不必要条件，故错误；
对B：由，可得即，对恒成立，故正确；
对C：命题“，使得”的否定是“，使得”
故正确；
对D：∵，∴，当且仅当即时取等号，故正确.
故选：BCD.
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中不正确的是（ ）
A．是上的增函数B．
C．的值域是D．的值域是
【答案】ABC
【分析】举反例得到ABC错误，变换，确定，得到答案.
【详解】对选项A：，，
，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，错误；
对选项D：，，，
的值域是，正确；
故选：ABC.
三、填空题
13．已知，则= ．
【答案】1
【分析】利用分段函数的解析式，结合指对数运算即可得解.
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
14．设，则大小关系是 .
【答案】
【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小.
【详解】因为在单调增，
所以，即，
因为在单调减，
所以，即
综上，.
故答案为：.
15．函数的单调递减区间是 .
【答案】
【分析】先确定函数的定义域, 再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可.
【详解】 的定义域为，解得，
或,
求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间,
, 可知单调递减区间为,
综上可得, 函数单调递增区间为 .
令 , 由 , 得或,
函数 的定义域为 ,
当 时, 内层函数 为增函数,而外层函数 为减函数,
函数 的单调递减区间是 .
故答案为:.
16．某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有2个零点．则正确结论的序号是 ．
【答案】①②③④
【分析】根据给定的函数，计算判断①；分段探讨函数取值集合判断②；探讨函数的单调性判断③；解方程判断④.
【详解】对于①，，即，①正确；
对于②，当时，，则，，
当时，由①知，因此函数的值域是，②正确；
对于③，当时，，在上单调递增，由①知在上也单调递增，
于是在上单调递增，因此若，则一定有，③正确；
对于④，由，得，解得或，因此函数在上有2个零点，④正确，
所以正确结论的序号是①②③④
故答案为：①②③④
四、解答题
17．已知，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别解不等式得集合A，B，求交集即可；
（2）先求补集，再求交集.
【详解】（1）因为，
所以
（2）易得，
所以
18．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；
（2）利用对数的运算性质计算即可．
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
19．已知函数.
(1)若对任意，都有，则的解析式；
(2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；
(3)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据条件列出等量关系，由此求解出的值，则解析式可知；
（2）根据区间与对称轴的关系列出不等式，由此求解出的取值范围；
（3）分析对称轴与区间的关系，结合二次函数的单调性求解出.
【详解】（1）因为，
所以，
化简得，且不恒为，
所以，所以，
所以；
（2）因为的对称轴为，又在区间上不单调，
所以，所以，
所以的取值范围为；
（3）的对称轴为，
当时，即时，在上单调递增，所以；
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；
当时，即时，在上单调递减，所以，
综上可知，.
20．已知函数（为常数且）的图象经过点
(1)试求的值；
(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，解出即可；（2）不等式参变分离后可化为，求得的最小值为2，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由于函数图像经过，
所以，解得，
故的值为，的值为
（2）原不等式为，
即在时恒成立，
而在时单调递减，
故在时，有最小值为2，
故．
所以实数的取值范围是．
21．2022年12月7日，国务院发布了精准防控新冠疫情的十条最新措施，以减轻疫情防控对企业经营和民众生活带来的损失．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为10万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为30万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是180万元．
【分析】（1）分和两种情况，结合利润公式分析求解；
（2）分和两种情况，结合二次函数和基本不等式运算求解.
【详解】（1）当时，
当时，
（2）若，
当时，万元；
若，
当且仅当时，即时，万元．
则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是180万元．
22．已知函数是奇函数，且过点．
(1)求实数m和a的值；
(2)设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，
【分析】（1）根据奇函数的性质可求得，从而可得解；
（2）由（1）可得，再用整体换元思想将函数转化为二次函数，再分类讨论，讨论时和若时函数的单调性，从而可解决函数在上恒成立问题.
【详解】（1）因为是定义域为R的奇函数，
∴，∴，检验符合.
∴．
又因为过点，
∴ ，
∴
（2）由（1）得，
因为，令，∴，
记，∵函数在上恒成立，
∴（ⅰ）若时，函数在上为增函数，
所以为减函数，
则需函数恒成立，即恒成立．
由于对称轴，函数在区间上为增函数，
∴恒成立，∴恒成立，则恒成立，
故合题意
（ⅱ）若时，则需在恒成立，则：
①
②
③
综上所述：故存在正数，使函数在上恒成立
【点睛】关键点睛：第二小问中，用换元法令，将复杂函数转化为二次函数是关键，再利用分类讨论思想解决函数不等式上恒成立的问题，本题考查了函数的奇偶性，整体换元以及分类讨论思想，属于较难题.