苏教版小学数学六上第一单元长方体与正方体表面积举一反三题型总结（知识点+例题+变式题）（中等）（学生版+教师版）

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长方体与正方体表面积知识点梳理+题型总结（中等）知识点1：涂色类问题（1）把一个涂色的大正方体平均分成若干个同样大的小正方体。有三个面涂色的小正方体都在大正方体( )的位置，都是( )个。有两个面涂色的小正方体都在大正方体( )的位置。个数都是( ）的倍数有一个面涂色的小正方体都在大正方体的（ ）的中心位置个数都是( )的倍数。（2）如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b、c分别表示2面涂色、1面涂色和6面都不涂色的小正方体的个数，那么a= b= c= （3) 把一个外表面涂有黄色涂料的正方体木块平均分成若干个同样大的小正方体，至少分成（ ）个小正方体才会出现6个面都不涂色的小正方形。答案：（1）顶点；8；棱；12；面；6 （2）12（n-2）；6（n-2）2 ；（n-2）×（n-2）×（n-2） （3）27【例题】 下图是由27个小正方体拼成的大正方体，把它的表面全部涂成绿色。（1）没有涂成绿色的小正方体有几个?一面涂成绿色的小正方体有几个?两面涂成绿色的小正方体有几个?（4）三面涂成绿色的小正方体有几个?答案：（1）1个 （2）6个 （3）12个 （4）8个【变式1】 右图是由125块大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色。三面涂色的有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个，没有涂色的有( ）个。答案：8，36，54，27三面涂色的小正方体都在顶点处，一共有8个；两面涂色的有:(5-2)x12=36(个)；一面涂色的有:(5-2)x(5-2)x6=54 (个)；没有涂色的有:(5-2)x(5-2)x(5-2)=27(个)；【变式2】 下图是由3层小正方体组成的，如果把它的外表面（包括底面）全部涂成蓝色，再把它们分开，那么有多少个小正方体三面是蓝色的?答案：有16个小正方体三面是蓝色的。(1)第一层1个正方体没有涂三面蓝色的；(2)第二层9个正方体，涂三面蓝色在4个顶点上，有4个；(3)第三层25个正方体，涂三面蓝色在每条棱上(4个顶点上除外)，有:(5-2)x4=3x4=12(个)；共有:0+4+12=16(个)【变式3】 将64个棱长1厘米的白色小正方体拼成一个大正方体，再将这个大正方体的表面涂色。（1）有2个面涂色的小正方体有多少个?（2）有3个面涂色的小正方体有多少个?6个面都没有涂色的小正方体有几个?答案：（1）24个 （2）8个 （3）8个知识点2：高的变化引起表面积的变化【例题】 一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 答案：正方体棱长：56÷4÷2=7(厘米)7x7x6-56=294-56=238(平方厘米)答:原来长方体的表面积是238平方厘米【变式1】 一个长方体，如果高减少2厘米就成了正方体，而且表面积要减少56平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？答案：56÷4=14(平方厘米) 14÷2=7(厘米) 7+2=9(厘米) 7x7x2+7x9x4=350(平方厘米)【变式2】 一个长40厘米，截面是正方形的长方体，如果长增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，求原长方体的表面积。答案：80÷5÷4=16÷4=4(厘米)(4x4+4x40+4x40)x2=(16+160+160) x2=336x2=672（平方厘米）答: 原来长方体的表面积是672平方厘米【变式3】.一个长方体，高减少2厘米，就成为表面积是150平方厘米的正方体。原来长方体的表面积是多少平方厘米?答案：正方体的每个面积=150÷6=25平方厘米正方体的棱长=5厘米长方体的高=5+2=7厘米原表面积=2x(5x5+5x7+5x7)=190平方厘米答:原来长方体的表面积是190平方厘米【变式4】一个长10分米，宽4分米，高6分米的长方体，要使它的表面积增加40平方分米，宽和高不变，长要增加多少分米?答案：(4+6)x2=10x2=20（分米）40÷20=2（分米） 答:长要增加2分米知识点3：段的变化【例题】 一个长方体长2米，横截面是边长3厘米的正方形，将这个长方体木料沿横截面锯成五段后，表面积一共增加了多少平方厘米？ 答案：增加的表面积为8x32=72(平方厘米) 答:表面积一共增加了72平方厘米【变式1】 将一个长3米的长方体木料平均截成3段，表面积一共增加了0.36平方分米，这根木料的横截面积是多少平方分米？答案：截面面积=0.36÷4=0.09(平方分米)体积=截面面积x长度=0.09x3x10=2.7(立方分米)答:这根木料的体积是2.7立方分米知识点4：切、拼1、立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）长方体沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。正方体无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。2、立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题）长方体将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。正方体无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。【例题】 一个正方体的表面积是48平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少？ 答案：48÷6＋48÷2=8＋24=32（平方厘米）答：每个小长方体的表面积是32平方厘米【变式1】 一个正方体的表面积是96平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少立方厘米？答案：96÷6＋96÷2=16＋48=64（平方厘米）答：每个小长方体的表面积是64平方厘米【变式2】一个表面积为80平方厘米的长方体正好能切成两个大小相同的小正方体，每个小正方体的表面积为( )平方厘米。答案:长方体的表面积相当于小正方体10个面的面积，每个小正方体的表面积是80÷10×6=48平方厘米【变式3】一个长方体正好可以切成2个完全一样的正方体，切开后每个小正方体的表面积是24平方厘米，原来这个长方体的表面积是( )平方厘米。答案：40平方厘米【变式4】把一个正方体锯成两个完全一样的长方体，每个长方体的表面积是24平方厘米，原来正方体的表面积是多少平方厘米?答案：锯一刀会增加2个面，24×2÷8=6平方厘米，6×6=36平方厘米【例题】 将一个长8厘米，宽6厘米，高5厘米的长方体切成两个小长方体，表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？答案：沿着最大面平行的方向切开表面积增加最多8×6×2=96平方厘米沿着最小面平行的方向切开表面积增加最少6×5×2=60平方厘米 【变式1】两个完全相同的长方体，长5厘米，宽4厘米，高2厘米，把它们拼成一个大长方体，表面积最大是多少平方厘米?最小是多少平方厘米?答案：表面积最大：（5×4+5×2+4×2）×2×2-4×2×2=136平方厘米表面积最小：（5×4+5×2+4×2）×2×2-5×4×2=112平方厘米【例题】 用8个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积最多是多少平方厘米？最少是多少平方厘米？  答案：表面积最多：一共减少2×7=14个面，2×2×（6×8-14）=136平方厘米表面积最少：4×4×6=96平方厘米【变式题】 用四个棱长都是3厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可能是多少？ 答案：拼成的长方体的表面积是162平方厘米或144平方厘米【变式题】如图，把5个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是198平方厘米。求一个正方体的表面积。答案：198÷（5×4+2）×6=54平方厘米课后练习一个长方体的底面是一个边长为20厘米的正方形，高为40厘米。如果把它的高增加5厘米，它的表面积会增加多少?答案：20×5×4=400平方厘米一个长方体正好可以切成5个同样大小的正方体，切成的５个正方体的表面积比原来长方表面积多了２００平方厘米，求原来长方体的表面积？答案：200÷8=25平方厘米，（5×4+2）×25=550平方厘米3、将一个棱长16分米的橙色大正方体，切成棱长为2分米的小正方体。切开后两面涂色的小正方体比一面涂色的小正方体少多少个?答案：切开后两面涂色的小正方体比一面涂色的小正方体少144个4、操作题如图一根长方体木块，表面积是80平方分米，它的横截面是边长1分米的正方形，工人师傅每次都锯下个棱长1分米的小正方体木块。填表。(2）当割下8个小方钢时，剩下方钢的表面积是( )平方分米。(3）当剩下方钢的表面积是20平方分米时，共割下( )个小方钢。(4)当割下n个小方钢时，剩下方钢的表面积是( ）平方分米(n≤20)。答案：（1）76,72,68（2）48（3）15（4）80-4n割下小方钢的个数123....剩下方钢的表面积/平方分米....