人教版八年级数学上册举一反三15.2分式的运算【十大题型】(举一反三)(学生版+解析)

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专题15.2 分式的运算【十大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc844" 【题型1 已知分式恒等式确定分子或分母】  PAGEREF _Toc844 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc31281" 【题型2 比较分式的大小】  PAGEREF _Toc31281 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc26339" 【题型3 负整数指数幂】  PAGEREF _Toc26339 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc19484" 【题型4 利用科学记数法表示小数】  PAGEREF _Toc19484 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc31802" 【题型5 分式的混合运算】  PAGEREF _Toc31802 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc26480" 【题型6 分式的化简求值】  PAGEREF _Toc26480 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc8777" 【题型7 分式加减的应用】  PAGEREF _Toc8777 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc28353" 【题型8 分式运算的规律探究】  PAGEREF _Toc28353 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc31489" 【题型9 分式中的新定义问题】  PAGEREF _Toc31489 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc1848" 【题型10 分式中的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc1848 \h 9【知识点1 分式的运算】分式的乘除法法则：1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：ab×cd=acbd2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：ab÷cd=ab×dc=adbc3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（ab）n=anbn4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式.分式的加减法则：1）同分母分式：分母不变，分子相加减ac±bc=a±bc2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减ab±dc=acbc±bdbc=ac±bdbc 注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。【题型1 已知分式恒等式确定分子或分母】【例1】（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2−x+1，其中A，B，C，D为常数，则A+B+C+D= ．【变式1-1】（2023·山东烟台·八年级统考期末）若3x−4(x−1)(x−2)=Kx−1+2Kx−2，则K＝ ．【变式1-2】（2023上·上海黄浦·八年级上海市民办立达中学校考期中）已如3x2−7x+2x−1x+1=3+ax−1+bx+1是恒等式，请分别求的a、b的值．【变式1-3】（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）阅读下列材料：若1−3xx2−1=Ax+1+Bx−1，试求A、B的值解：等式右边通分，得Ax−1+Bx+1x+1x−1=A+Bx+−A+Bx2−1根据题意，得A+B=−3−A+B=1，解之得A=−2B=−1．仿照以上解法，解答下题．(1)已知x+6x+12x−3=Mx+1−N2x−3（其中M、N为常数）求M、N的值；(2)若12n−12n+1=a2n−1−b2n+1对任意自然数n都成立，则a=_________，b=_________．(3)计算：11×3+13×5+15×7+⋯+12019×2021=_________．【题型2 比较分式的大小】【例2】（2023下·江苏南京·八年级南师附中树人学校校考期中）比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”：如果a−b>0，那么a>b；如果a−b=0，那么a=b；如果a−b<0，那么ay>0，且A=xy，B=x+1y+2，试用“作差法”比较A、B的大小，并说明理由；（2）比较两数1999199820212020和1999199920212022的大小；（3）对于正x，y，A=xy，B=x+1y+2，如果A=B，则x、y满足的关系是______．【变式2-1】（2023上·福建福州·八年级统考期末）已知：P=x+1，Q= 4xx+1．(1)当x>0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；(2)设y=3P−Q2，若x是整数，求y的整数值．【变式2-2】（2023上·湖南常德·八年级常德市第七中学校考期中）(1)若a、b为正数，且a1的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为m−1米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米2和Q千克/米2．下列说法：①P>Q；②P=Q；③Pb>0)，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为ba．(1)糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设a、b、c为△ABC三边的长，求证：ca+b+ab+c+ba+c<2．【变式7-3】（2023上·福建厦门·八年级统考期末）某海湾城市有A，B两个港口、有两条航线能够连接A，B两个港口，两条航线的路程都是150km，已知货轮在静水中的最大航速为vv>5．(1)若该货轮在水流速度为5km/h的航线上航行，用含v的式子表示货轮顺流航行和逆流航行的最大速度；(2)航运公司计划用该货轮将一批货物以最大航速从A港送往B港，再从B港返回A港．根据海流预报：航线1位于外湾，受潮汐影响，水流速度为5km/h，且从A港到B港为顺流航行；航线2位于内湾，水流速度忽略不计．为了使送货的往返的总时间更短，请通过计算说明航运公司应当选择哪一条航线．【题型8 分式运算的规律探究】【例8】（2023上·辽宁大连·八年级期末）观察下列式子：11−3+55−3=2，44−3+22−3=2，−3−3−3+99−3=2，88−3+−2−2−3=2，……按照上面式子的规律，完成下列问题：(1)再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的式子：①　　，②　　；(2)设第一个数为x，则这个规律可用字母x表示为x()=()()＝（　　）（不必写出字母的取值范围）；(3)验证这个规律．【变式8-1】（2023·安徽·校联考三模）观察以下等式：第1个等式：232−4×2−1−41=21；第2个等式：442−4×2−2−42=22；第3个等式：652−4×2−3−43=23；第4个等式：862−4×2−4−44=24；第5个等式：1072−4×2−5−45=25；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：___________；(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．【变式8-2】（2023下·湖南永州·八年级校考期中）阅读理解：阅读下列过程因为2×21=4，2+21=4，所以2×21=2+21因为3×32=92，3+32=92，所以3×32=3+32因为4×43=163，4+43=163，所以4×43=4+43因为5×54=254，5+54=254，所以5×54=5+54…………………………………………………．．(1)根据上面规律填空， 8×87= ____(2)根据你观察的特点，用含n的公式表示上面的规律为______________(3)证明你得到的公式是否正确．【变式8-3】（2023·安徽合肥·统考三模）观察以下等式：第1个等式：12+1=14−1×92，第2－个等式：12+12=19−1×8，第3个等式：12+13=116−1×252，第4个等式：12+14=125−1×18，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：__________________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．【题型9 分式中的新定义问题】【例9】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A−B=AB，则称分式B是分式A“友好分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=1x+1x+2，1x+1×1x+2=1x+1x+2，所以1x+2是1x+1的“友好分式”．(1)分式22y+5______22y+3分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；(2)小明在求分式1x2+y2的“友好分式”时，用了以下方法：设1x2+y2的“友好分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，∴1x2+y2+1N=1x2+y2，∴N=1x2+y2+1．请你仿照小明的方法求分式xx−3的“友好分式”．(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式bax+b的“友好分式”：______．②若n+2mx+m2+n是m−1mx+n2的“友好分式”，则m+n的值为______．【变式9-1】（2023下·浙江湖州·八年级校考期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是B的“n分式”．例如：xx−1−1x−1=1，则称分式xx−1是分式1x−1的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（    ）A．4x+3x+2是x−3x+2的“3分式”B．若a的值为−3，则12+x3+2x是ax+63+2x的“2分式”C．若2aba2−4b2是aa−2b的“1分式”，则a2=3b2D．若a与b互为倒数，则5aa+b2是−5ba2+b的“5分式”【变式9-2】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“互联分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=1(x+1)(x+2)，1x+1×1x+2=1(x+1)(x+2)，所以1x+2是1x+1的“互联分式”．(1)判断分式3x+2与分式3x+5是否是“互联分式”，请说明理由；(2)小红在求分式1x2+y2的“互联分式”时，用了以下方法：设1x2+y2的“互联分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，∴1x2+y2+1N=1x2+y2，∴N=1x2+y2+1．请你仿照小红的方法求分式x+2x+5的“互联分式”．(3)解决问题：仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数a，b的值，使4a−2bx+b是4b+2bx+a的“互联分式”．【变式9-3】（2023下·江苏南京·八年级南京五十中校联考期中）定义：若两个分式A与B满足：A−B=3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．(1)下列三组分式：①1a+1与4a+1；②4aa+1与a−3a+1；③a2a−1与7a−32a−1．其中互为“美妙分式”的有 　　（只填序号）；(2)求分式a2a+1的“美妙分式”；(3)若分式4a2a2−b2与aa+b互为“美妙分式”，且a、b均为不等于0的实数，求分式2a2−b2ab的值．【题型10 分式中的阅读理解类问题】【例10】（2023下·江苏徐州·八年级统考期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．例：将分式x2−3x−1x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：设x+2=t，则x=t−2．原式=(t−2)2−3(t−2)−1t=t2−7t+9t=t−7+9t∴x2−3x−1x+2=x−5+9x+2．这样，分式x2−3x−1x+2就拆分成一个整式(x−5)与一个分式9x+2的和的形式．【应用】(1)使用分离整式法将分式2x+4x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；(2)将分式x2−2x+4x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；【拓展】(3)已知分式x2−x+7x−3的值为整数，求正整数x的值．【变式10-1】（2023上·山东泰安·八年级统考期中）阅读下面的解题过程：已知：xx2+1=13，求x2x4+1的值．解：由xx2+1=13知x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3．所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=32−2=7．故x2x4+1的值为17．(1)上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：xx2−5x+1=−1，求x2x4−7x2+1的值．(2)已知aba+b=6，bcb+c=9，aca+c=15，求abcab+bc+ac的值．【变式10-2】（2023上·湖南益阳·八年级统考期末）阅读下列材料：【材料一】我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如x−1x+2,x2x+1这样的分式就是假分式：再如1x−1,2x−1x2+1这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：x−1x+2=(x+2)−3x+2=1−3x+2．【材料二】问题：用配方法求代数式x2+x+1的最值．解：∵x2+x+1=x+122+34，而x+122≥0，∴x2+x+1=x+122+34≥34，故当x=−12时，x2+x+1的最小值为34．解答下列问题：(1)分式1x是_________（填“真分式”或“假分式”）；假分式x−1x+1可以化为带分式_________的形式；(2)如果分式x+4x−1的值为整数，求满足条件的整数x的值．(3)求分式6x2+6x+1x2+x+1的最值．【变式10-3】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）阅读与理解：阅读下列材料，完成后面的任务：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：若xx2+1=14 ，求代数式x+1x 的值．解：∵xx2+1=14，∴x2+1x=4，即x2x+1x=4，∴x+1x=4.任务：已知xx2−3x+1=13 ．(1)求x+1x的值．(2)求x2x4+2x2+1的值．专题15.2 分式的运算【十大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc844" 【题型1 已知分式恒等式确定分子或分母】  PAGEREF _Toc844 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc31281" 【题型2 比较分式的大小】  PAGEREF _Toc31281 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc26339" 【题型3 负整数指数幂】  PAGEREF _Toc26339 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc19484" 【题型4 利用科学记数法表示小数】  PAGEREF _Toc19484 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc31802" 【题型5 分式的混合运算】  PAGEREF _Toc31802 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc26480" 【题型6 分式的化简求值】  PAGEREF _Toc26480 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc8777" 【题型7 分式加减的应用】  PAGEREF _Toc8777 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc28353" 【题型8 分式运算的规律探究】  PAGEREF _Toc28353 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc31489" 【题型9 分式中的新定义问题】  PAGEREF _Toc31489 \h 28 HYPERLINK \l "_Toc1848" 【题型10 分式中的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc1848 \h 33【知识点1 分式的运算】分式的乘除法法则：1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：ab×cd=acbd2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：ab÷cd=ab×dc=adbc3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（ab）n=anbn4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式.分式的加减法则：1）同分母分式：分母不变，分子相加减ac±bc=a±bc2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减ab±dc=acbc±bdbc=ac±bdbc 注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。【题型1 已知分式恒等式确定分子或分母】【例1】（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2−x+1，其中A，B，C，D为常数，则A+B+C+D= ．【答案】6【分析】由于x4+x2+1=(x2+1)2−x2=x2+1+xx2+1−x，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于A、B、C、D的方程组，解方程组即可求解．【详解】解：∵6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2−x+1，且x4+x2+1=(x2+1)2−x2=x2+1+xx2+1−x，∴6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+1−x+Cx+Dx2+1+xx4+x2+1 ∴6x3+10x=Ax+Bx2+1−x+Cx+Dx2+1+x ∴当x=0时，B+D=0①当x=1时，A+B+3C+D=16②  当x=−1时，3B−A+D−C=−16③ ∵6x3+10x=Ax3+Bx2+Ax+B1−x+Cx3+Dx2+Cx+D1+x,即6x3+10x=A+Cx3+Bx2+Ax+B1−x+Dx2+Cx+D1+x∴A+C=6④联立①②③④解之得A=C=3、B=−2、D=2，∴A+B+C+D=6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于A、B、C、D的方程组即可解决问题．【变式1-1】（2023·山东烟台·八年级统考期末）若3x−4(x−1)(x−2)=Kx−1+2Kx−2，则K＝ ．【答案】1【分析】根据分式的加减和恒等关系即可求解．【详解】解：原式变形，得3x−4(x−1)(x−2)＝3kx−4k(x−1)(x−2),∴3K＝3，4K＝4，解得K＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了分式的加减，解决本题的关键是恒等关系变形．【变式1-2】（2023上·上海黄浦·八年级上海市民办立达中学校考期中）已如3x2−7x+2x−1x+1=3+ax−1+bx+1是恒等式，请分别求的a、b的值．【答案】a=−1b=−6【分析】先把分式恒等式去分母可得3x2−7x+2=3x2+a+bx+a−b−3，再利用恒等建立方程组即可．【详解】解：3x2−7x+2x−1x+1=3+ax−1+bx+1，∴去分母可得：3x2−7x+2=3x+1x−1+ax+1+bx−1，∴3x2−7x+2=3x2+a+bx+a−b−3，由恒等式可得：a+b=−7a−b−3=2，解得：a=−1b=−6．【点睛】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．【变式1-3】（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）阅读下列材料：若1−3xx2−1=Ax+1+Bx−1，试求A、B的值解：等式右边通分，得Ax−1+Bx+1x+1x−1=A+Bx+−A+Bx2−1根据题意，得A+B=−3−A+B=1，解之得A=−2B=−1．仿照以上解法，解答下题．(1)已知x+6x+12x−3=Mx+1−N2x−3（其中M、N为常数）求M、N的值；(2)若12n−12n+1=a2n−1−b2n+1对任意自然数n都成立，则a=_________，b=_________．(3)计算：11×3+13×5+15×7+⋯+12019×2021=_________．【答案】(1)M=−1N=−3(2)12，12(3)10102021【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值；（2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值；（3）由11×3=12×1−13，13×5=12×13−15，⋯，利用裂项相消，即可求解．【详解】（1）解：等式右边通分，得Mx+1−N2x−3=M2x−3−Nx+1x+12x−3=2M−Nx+−3M−Nx+12x−3，根据题意，得2M−N=1−3M−N=6，解之得M=−1N=−3；（2）解：等式右边通分，得a2n−1−b2n+1=a2n+1−b2n−12n−12n+1=2a−2bn+a+b2n−12n+1，根据题意，得2a−2b=0a+b=1，解之得a=b=12；故答案为：12，12；（3）解：11×3+13×5+15×7+⋯+12019×2021=12×1−13+12×13−15+12×15−17+⋯+12×12019−12021=12×1−13+13−15+15−17+⋯+12019−12021=12×1−12021=12×20202021=10102021故答案为：10102021．【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【题型2 比较分式的大小】【例2】（2023下·江苏南京·八年级南师附中树人学校校考期中）比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”：如果a−b>0，那么a>b；如果a−b=0，那么a=b；如果a−b<0，那么ay>0，且A=xy，B=x+1y+2，试用“作差法”比较A、B的大小，并说明理由；（2）比较两数1999199820212020和1999199920212022的大小；（3）对于正x，y，A=xy，B=x+1y+2，如果A=B，则x、y满足的关系是______．【答案】(1) A>B；(2) 1999199820212020>1999199920212022；(3) y=2x【分析】用作差法求解．【详解】(1)A−B=xy−x+1y+2=2x−yyy+2，∵y>0，∴y+2>0，∴yy+2>0．∵2x>y，∴2x−y>0，∴2x−yyy+2>0，即A>B．故答案为：A>B．（2）令19991998=t，20212020=m，1999199820212020−1999199920212022=tm−t+1m+2=tm+2t−tm+mmm+2=2t−mmm+2，∵2t>m，∴2t−m>0，∵m>0，则m+2>0，∴m(m+2)>0，∴1999199820212020>1999199920212022．（3）A−B=0，xy−x+1y+2=0，2x−yyy+2=0，y为正数，所以分母不为0∴2x−y=0，y=2x．故答案为：y=2x．【点睛】本题考查了作差法比较大小：如果A-B＞0，那么A＞B；如果A-B=0，那么A=B；如果A-B＜0，那么A＜B．【变式2-1】（2023上·福建福州·八年级统考期末）已知：P=x+1，Q= 4xx+1．(1)当x>0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；(2)设y=3P−Q2，若x是整数，求y的整数值．【答案】(1)P-Q≥0，理由见解析；(2)y的整数值为：-7，-3，-1，3．【分析】（1）先求差，再比较差与0的大小关系；（2）先表示y，再求y的整数值．【详解】（1）解：P-Q≥0，理由如下：P-Q= x+1−4xx+1=(x+1)2x+1−4xx+1=x2+2x+1−4xx+1=(x−1)2x+1，∵x＞0，∴x+1＞0，（x-1）2≥0．∴P-Q≥0；（2）解：y=3x+1−2xx+1=3−2xx+1=−2(x+1)+5x+1=−2+5x+1，∵x，y是整数，∴x+1是5的因数．∴x+1=±1，±5．对应的y值为：∴y=-2+5=3或y=-2+（-5）=-7或y=-2+1=-1或y=-2+（-1）=-3．∴y的整数值为：-7，-3，-1，3．【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．【变式2-2】（2023上·湖南常德·八年级常德市第七中学校考期中）(1)若a、b为正数，且aab(3)②④【分析】（1）利用作差法判断大小即可．（2）利用作差法比较大小即可．（3）利用作差法逐项进行比较判断即可．【详解】（1）解：a+1b+1−ab =b(a+1)−a(b+1)b(b+1) =b−ab(b+1)，∵b>a>0，∴b−a>0，b(b+1)>0，∴ b−ab(b+1)>0，∴ a+1b+1>ab，即aba>0，c>0，∴c(b−a)>0，b(b+c)>0，∴ c(b−a)b(b+c)>0，即a+cb+c>ab；（3）①m+2n+2−mn =n(m+2)−m(n+2)n(n+2) =mn+2n−mn−2mn(n+2) =2(n−m)n(n+2)，∵n>m>0，∴2(n−m)>0，n(n+2)>0，∴ 2(n−m)n(n+2)>0，则m+2n+2>mn，故①错误；②m−2n−2−mn =n(m−2)−m(n−2)n(n−2) =mn−2n−mn+2mn(n−2) =2(m−n)n(n−2)，∵n>m>2，∴2(m−n)<0，n(n−2)>0，∴ 2(m−n)n(n−2)<0，则m−2n−2m>2，∴3(m−n)<0，(n−2)(n+1)>0，∴ 3(m−n)(n−2)(n+1)<0，则m−2n−2m>2021，∴4043(n−m)>0，(n+2022)(n−2021)>0，∴ 4043(n−m)(n+2022)(n−2021)>0，则m+2022n+2022>m−2021n−2021，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握作差法以及分式混合运算的运算法则是解答本题的关键．【知识点2 整数指数幂的运算】1.整数负指数幂：a−n=1an.2.若am=an，且a≠0，则m=n；反之，若a≠0，且m=n，则am=an。据此，可解决某些条件求值问题.【题型3 负整数指数幂】【例3】（2023下·浙江宁波·八年级校考期末）已知x=1+7n，y=1+7−n，则用x表示y的结果正确的是（    ）A．x+1x−1 B．x+1x+1 C．xx−1 D．7−x【答案】C【分析】将y变形为y=1+17n，再将x=1+7n变形为7n=x−1，代入即可．【详解】解：y=1+7−n=1+17n，∵x=1+7n，∴7n=x−1，∴y=1+17n=1+1x−1=xx−1，故选：C．【点睛】本题考查了负整数指数幂，以及分式的化简，熟练掌握负整数指数幂的运算是解题的关键．【变式3-1】（2023下·辽宁阜新·八年级阜新实验中学校考期中）若a=0.32，b=−3−2，c=−13−2，则a，b，c的大小关系为 （用“＜”连接）．【答案】b＜a＜c【分析】根据a=0.32=0.09，b=−3−2=−132=−19，c=−13−2=1−132=9，比较即可．【详解】∵a=0.32=0.09，b=−3−2=−132=−19，c=−13−2=1−132=9，∴−19＜0.09＜9，故b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c．【点睛】本题考查了幂的计算，负整数指数幂，实数大小比较，熟练掌握公式和大小比较的原则是解题的关键．【变式3-2】（2023上·陕西·八年级校考阶段练习）已知x=3−q，y−1=21−p，z=4p27−q，用x，y表示z的代数式为 ．【答案】4x3y2．【分析】由于z=4p•27-q=（22）p•（33）-q=（2p）2•（3-q）3，题目要求用x，y表示z，又x=3-q，那么关键是用y的代数式表示2p．由y-1=21-p，根据负整指数幂的意义，可知2p=2y．【详解】由y-1=21-p，得y＝2p−1＝2p2，所以2p=2y．z=4p•27-q=（22）p•（33）-q=（2p）2•（3-q）3=（2y）2•x3=4x3y2．【点睛】本题综合考查了幂的运算性质、负整指数幂的意义及代数式的恒等变形．本题能够由已知条件y-1=21-p，得出2p=2y是解题的关键．【变式3-3】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）若x2−12x+1=0，则x4+1x4的个位数字是 ．【答案】2【分析】根据已知可得x+x−1=12，进而根据完全平方公式的得出x2+x−2，x4+x−4，即可求解．【详解】解： 由题设知x≠0，于是有x+x−1=12．于是x2+x−2=x+x−12−2=122−2=142，x4+x−4=x2+x−22−2=1422−2．故x4+x−4的个位数字为2．【点睛】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，将已知等式变形是解题的关键．【题型4 利用科学记数法表示小数】【例4】（2023·河北邯郸·校考一模）把0.00258写成a×10n（1≤a<10，n为整数）的形式，则a+n为（    ）A．2.58 B．5.58 C．−0.58 D．−0.42【答案】D【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：将0.00258用科学记数法表示为：2.58×10-3．故a=2.58，n=-3，则a+n=-0.42．故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式4-1】（2023下·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期末）某种细胞的直径是5×10－4毫米，这个数是（ ）A．0.05毫米 B．0.005毫米 C．0.0005毫米 D．0.00005毫米【答案】C【详解】科学记数法a×10n，n=-4，所以小数点向前移动4位．5×10-4=0.0005，故选C.【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【变式4-2】（2023上·重庆渝中·八年级统考期末）人类进入5G时代，科技竞争日趋激烈．据报道，我国某种芯片的制作工艺已达到28纳米，居世界前列．已知1纳米＝1×10﹣9米，则28纳米等于多少米？将其结果用科学记数法表示为 ．【答案】2.8×10-8米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将28纳米用科学记数法表示为2.8×10-8米，故答案为：2.8×10-8米．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式4-3】（2023下·江苏镇江·八年级校考期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto−10−27，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）．1幺−10−24．一个光子的质量约为1.1×10−23幺克．换算后约为 ronto克．【答案】1.1×10−20【分析】运用科学记数法的运算法则解答即可．【详解】一个光子的质量约为1.1×10−23幺克．换算后约为1.1×10−2310−2710−24=1.1×10−20 ronto克故答案为1.1×10−20．【点睛】本题考查了用科学记数法表示的数的除法运算，解题的关键是掌握用科学计数法表示数的运算方法．【题型5 分式的混合运算】【例5】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）计算：(1)3x−61−x−x+5x2−x(2)x−yx+3y÷x2−y2x2+6xy+9y2−2yx+y【答案】(1)8x(2)1【分析】（1）先对各个分式分子分母因式分解，再通分，利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案；（2）先对各个分式分子分母因式分解，根据分式混合运算顺序，先计算乘除，再利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案．【详解】（1）解：3x−61−x−x+5x2−x=3x−1xx−1+6xxx−1−x+5xx−1 =8x−8xx−1=8x−1xx−1=8x；（2）解：x−yx+3y÷x2−y2x2+6xy+9y2−2yx+y=x−yx+3y⋅x+3y2x+yx−y−2yx+y =x+3yx+y−2yx+y =x+yx+y=1．【点睛】本题考查分式混合运算，涉及通分、约分、因式分解等知识．掌握分式混合运算法则及运算顺序，熟记因式分解的方法，准确找到最简公分母通分是解决分式混合运算的关键．【变式5-1】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）计算a2a−b−a−b的结果是 ．【答案】b2a−b【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减．【详解】解：原式=a2a−b−aa−ba−b−ba−ba−b=a2−aa−b−ba−ba−b=a2−a2+ab−ab+b2a−b=b2a−b．故答案为：b2a−b．【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．【变式5-2】（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）当x分别取−2023，−2022，−2021，…，−2，−1，0，1，12，13，…，12021，12022，12023时，计算分式x2−1x2+1的值，再将所得结果相加，其和等于（        ）A．−1 B．1 C．0 D．2023【答案】A【分析】先求出x=−a和x=1aa≠0时，分式x2−1x2+1的值的和，再归纳出一般规律，由此即可得．【详解】解：当x=−a和x=1aa≠0时，−a2−1−a2+1+1a2−11a2+1=a2−1a2+1+1a2−11a2+1=a2−1a2+1+1−a21+a2=0当x=0时，x2−1x2+1=02−102+1=−1，则所求的和为0+0+0+⋯+0+−1=−1，故选A．【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和归纳出一般规律是解题关键．【变式5-3】（2023上·广西贵港·八年级统考期中）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．x2−9x2+6x+9−2x+12x+6，=x+3x−3x+32−2x+12x+3…第一步，=x−3x+3−2x+12x+3…第二步，=2x−62x+3−2x+12x+3…第三步，=2x−6−2x+12x+3…第四步，=2x−6−2x+12(x+3)…第五步，=−52x+6…第六步．任务一：填空：以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 或填为： ；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是 ；任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算：1a+1−a+2a2−1⋅a2−2a+1a2+4a+4．【答案】任务一：①三，分式的基本性（分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变）；②五，去括号时，括号前面是“−”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：−72x+6；任务三：3a+1a+2【分析】任务一：本题考查的是分式的基本性质的应用，去括号法则的应用；①根据通分的概念及分式的基本性质进行填空；②根据去括号法则进行分析判断；任务二：本题考查的是分式的混合运算；先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，然后进行通分，再计算即可；任务三：本题考查的是分式的混合运算；先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，先计算乘法运算，再通分进行分式加减法运算即可．【详解】解：任务一：①化简步骤中，第三步进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，②第五步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是“−”号，去括号后，括号里的第二项没有变号，任务二：x2−9x2+6x+9−2x+12x+6，=x+3x−3x+32−2x+12x+3=x−3x+3−2x+12x+3=2x−62x+3−2x+12x+3=2x−6−2x+12x+3=2x−6−2x−12(x+3)=−72x+6任务三：1a+1−a+2a2−1⋅a2−2a+1a2+4a+4=1a+1−a+2a+1a−1⋅a−12a+22=1a+1−a−1a+1a+2=a+2a+1a+2−a−1a+1a+2=3a+1a+2．【题型6 分式的化简求值】【例6】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=16，求1ab+3c+3+1bc+3a+3+1ca+3b+3的值．【答案】−710【分析】先根据完全平方公式得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，进一步推出ab+bc+ac=−6，由a+b+c=2得到c=2−a−b，进而推出ab+3c+3=a−3b−3，同理可得bc+3a+3=b−3a−3，ca+3b+3=c−3a−3，由此代入所求式子中并化简得到−7abc−3ab+ac+bc+9a+b+c−27，由此即可得到答案．【详解】解：∵ a+b+c=2，∴ a+b+c2=4，∴ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，∵ a2+b2+c2=16，∴ ab+bc+ac=−6，∵ a+b+c=2，∴ c=2−a−b，∴ 3c+3=9−3a−3b，∴ ab+3c+3=ab+9−3a−3b=ab−3a−3b−9=ab−3−3b−3=a−3b−3，同理可得：bc+3a+3=b−3a−3，ca+3b+3=c−3a−3，∴1ab+3c+3+1bc+3a+3+1ca+3b+3=1a−3b−3+1b−3c−3+1c−3a−3=c−3+a−3+b−3a−3b−3c−3=c+a+b−9ab−3a−3b+9c−3=2−9abc−3ab−3ac+9a−3bc+9b+9c−27=−7abc−3ab+ac+bc+9a+b+c−27=−71+18+18−27=−710．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值问题，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简．【变式6-1】（2023上·河北唐山·八年级统考期中）已知x2−x−2=0求代数式3x−3x2−1÷3xx+1−1x−1的值．【答案】−12．【分析】本题考查了分式的运算化简求值，先对分子和分母因式分解，将除式的分子、分母交换位置将除法转化为乘法，然后约分、化简，再通分化简，把已知变形为x2−x=2整体代入计算即可．熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．【详解】解：3x−3x2−1÷3xx+1−1x−1=3x−1x+1x−1⋅x+13x−1x−1 =1x−1x−1=x−1xx−1−xxx−1=x−1−xxx−1 =−1x2−x ∵x2−x−2=0，∴x2−x=2∴原式=−1x2−x=−12．【变式6-2】（2023下·浙江宁波·八年级校考期末）若abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则1ab+c−1+1bc+a−1+1ac+b−1= ．【答案】−23【分析】首先求出ab+ac+bc=12，将原代数式的分母变形为1a−1b−1+1b−1c−1+1c−1a−1，将该式进一步化简变形，借助已知条件即可解决问题．【详解】解：∵a+b+c=2，∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=4，∵a2+b2+c2=3，∴ab+bc+ac=12，∵a+b+c=2，∴c−1=1−a−b，∴ab+c−1=ab+1−a−b=a−1b−1，同理可得：bc+a−1=b−1c−1，ac+b−1=a−1c−1，∴原式=1a−1b−1+1b−1c−1+1c−1a−1=c−1+a−1+b−1a−1b−1c−1=−1abc−ab−ac−bc+a+b+c−1=−1abc−ab+ac+bc+a+b+c−1=−11−12+2−1=−23，故答案为：−23．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简，对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．【变式6-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且(x2−1)(y2−1)xy+(y2−1)(z2−1)yz+(z2−1)(x2−1)zx=4．求1xy+1yz+1zx的值为 ．【答案】1【分析】先把(x2−1)(y2−1)xy+(y2−1)(z2−1)yz+(z2−1)(x2−1)zx=4去分母、移项，根据因式分解法变形为[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0，由题意得xy+yz+zx﹣1≠0，可推出xyz=x+y+z，化简1xy+1yz+1zx即可得出答案．【详解】解：∵(x2−1)(y2−1)xy+(y2−1)(z2−1)yz+(z2−1)(x2−1)zx=4，∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，整理，得xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0．∵xy+yz+zx≠1，∴xy+yz+zx﹣1≠0，∴xyz﹣（x+y+z）=0，∴xyz=x+y+z，∴1yz+1xz+1xy=x+y+zxyz=xyzxyz=1，即1xy+1yz+1zx的值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了分式化简求值，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．【题型7 分式加减的应用】【例7】（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米m>1的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为m−1米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米2和Q千克/米2．下列说法：①P>Q；②P=Q；③P0，∴−2nm+1m−12<0，即Pb>0)，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为ba．(1)糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设a、b、c为△ABC三边的长，求证：ca+b+ab+c+ba+c<2．【答案】(1)ba+m,ba+mba(3)见解析【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；（2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可；（3）利用（2）的结论来证明即可．【详解】（1）解： 由题意得，加入m克水，糖水为a+m克，∴糖水的浓度为ba+m；∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，∴ba+mb>0,m>0)，∴b−a<0,a+m>0，∴m(b−a)a(a+m)<0，即baba．（3）证明：由（2）可知c+ca+b+c>ca+b,a+aa+b+c>ab+c,b+ba+b+c>ba+c∴c+ca+b+c+a+aa+b+c+b+ba+b+c>ca+b+ab+c+ba+c∴2c+2a+2ba+b+c>ca+b+ab+c+ba+c∵2c+2a+2ba+b+c=2∴ca+b+ab+c+ba+c<2．【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键．【变式7-3】（2023上·福建厦门·八年级统考期末）某海湾城市有A，B两个港口、有两条航线能够连接A，B两个港口，两条航线的路程都是150km，已知货轮在静水中的最大航速为vv>5．(1)若该货轮在水流速度为5km/h的航线上航行，用含v的式子表示货轮顺流航行和逆流航行的最大速度；(2)航运公司计划用该货轮将一批货物以最大航速从A港送往B港，再从B港返回A港．根据海流预报：航线1位于外湾，受潮汐影响，水流速度为5km/h，且从A港到B港为顺流航行；航线2位于内湾，水流速度忽略不计．为了使送货的往返的总时间更短，请通过计算说明航运公司应当选择哪一条航线．【答案】(1)顺流航行的最大速度为v+5km/h，逆流航行的最大速度为v−5km/h；(2)航运公司应当选择航线2．【分析】（1）根据v顺=v静+v水和v逆=v静−v水即可得到代数式；（2）航线1：从A港到B港为顺流航行，从B港返回A港为逆流航行，得到t总=300vv+5v−5；航线2：从A港到B港和从B港返回A港的速度相同，同为v，得到t总'=300v，比较即可得出结论．【详解】（1）解：∵货轮在静水中的最大航速为vv>5，∴水流速度为5km/h，∴顺流航行的最大速度为v+5km/h，逆流航行的最大速度为v−5km/h；（2）解：航线1：从A港到B港为顺流航行，从B港返回A港为逆流航行，依题意得t总=150v+5+150v−5=300vv+5v−5；航线2：从A港到B港和从B港返回A港的速度相同，同为v，依题意得t总'=150v+150v=300v；t总−t总'=300vv+5v−5−300v=300v2−300v2−25vv+5v−5=300×25vv+5v−5>0，∴t总>t总'，∴航运公司应当选择航线2．【点睛】本题考查了分式加减的应用、列代数式，要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列式再求解，解题关键是理解顺水航行速度和逆水航行速度．【题型8 分式运算的规律探究】【例8】（2023上·辽宁大连·八年级期末）观察下列式子：11−3+55−3=2，44−3+22−3=2，−3−3−3+99−3=2，88−3+−2−2−3=2，……按照上面式子的规律，完成下列问题：(1)再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的式子：①　　，②　　；(2)设第一个数为x，则这个规律可用字母x表示为x()=()()＝（　　）（不必写出字母的取值范围）；(3)验证这个规律．【答案】(1)−1−1−3+77−3=2，1010−3+−4−4−3=2（答案不唯一）(2)x-3，6-x，6-x-3(3)见解析【分析】（1）根据所给式子，写出符合条件的即可；（2）第一个数为x，第一个数的分母为x-3，第二个数的分子为6-x,分母为6-x-3，由此可得结论；（3）利用分式的运算方法验证即可．【详解】（1）①−1−1−3+77−3=2；②1010−3+−4−4−3=2；故答案为：−1−1−3+77−3=2，1010−3+−4−4−3=2（答案不唯一）（2）通过观察可得规律：xx−3+6−x6−x−3=2，故答案为：x-3，6-x，6-x-3；（3）xx−3+6−x6−x−3=xx−3+6−x3−x=x−6+xx−3=2(x−3)x−3=2，∴xx−3+6−x6−x−3=2成立．【点睛】本题考查数字的变化规律以及分式的加减运算，通过观察式子的特点，找到各式子分子、分母之间的联系是解题的关键．【变式8-1】（2023·安徽·校联考三模）观察以下等式：第1个等式：232−4×2−1−41=21；第2个等式：442−4×2−2−42=22；第3个等式：652−4×2−3−43=23；第4个等式：862−4×2−4−44=24；第5个等式：1072−4×2−5−45=25；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：___________；(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)1282−4×2−6−46=26(2)2n(n+2)2−4×2−n−4n=2n，证明见解析【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．【详解】（1）解： 1282−4×2−6−46=26；（2）解：2n(n+2)2−4×2−n−4n=2n，理由如下：左边=2nn2+4n×n+4n=2n+4×n+4n=2n=右边，∴等式成立．【点睛】本题考查数字的变化类，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性是解答本题的关键．【变式8-2】（2023下·湖南永州·八年级校考期中）阅读理解：阅读下列过程因为2×21=4，2+21=4，所以2×21=2+21因为3×32=92，3+32=92，所以3×32=3+32因为4×43=163，4+43=163，所以4×43=4+43因为5×54=254，5+54=254，所以5×54=5+54…………………………………………………．．(1)根据上面规律填空， 8×87= ____(2)根据你观察的特点，用含n的公式表示上面的规律为______________(3)证明你得到的公式是否正确．【答案】(1)8+87(2)(n+1)×n+1n=(n+1)+n+1n(3)见详解【分析】（1）由已知算式的规律直接把乘改为加即可；（2）利用以上规律得出答案即可；（3）利用分式的运算方法得出答案即可．【详解】（1）解：8×87=8+87；（2）解：(n+1)×n+1n=(n+1)+n+1n；（3）证明：∵左边=(n+1)2n，右边=n(n+1)n+n+1n=(n+1)2n，∴左边=右边，∴(n+1)×n+1n=(n+1)+n+1n．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．【变式8-3】（2023·安徽合肥·统考三模）观察以下等式：第1个等式：12+1=14−1×92，第2－个等式：12+12=19−1×8，第3个等式：12+13=116−1×252，第4个等式：12+14=125−1×18，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：__________________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)12+15=136−1×492(2)12+1n=1(n+1)2−1×(n+2)22，见解析【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可．【详解】（1）解： 12+15=136−1×492（2）12+1n=1(n+1)2−1×(n+2)22左边=12+1n=n+22n右边=1n2+2n⋅(n+2)22=n+22n∴左边=右边．【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．【题型9 分式中的新定义问题】【例9】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A−B=AB，则称分式B是分式A“友好分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=1x+1x+2，1x+1×1x+2=1x+1x+2，所以1x+2是1x+1的“友好分式”．(1)分式22y+5______22y+3分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；(2)小明在求分式1x2+y2的“友好分式”时，用了以下方法：设1x2+y2的“友好分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，∴1x2+y2+1N=1x2+y2，∴N=1x2+y2+1．请你仿照小明的方法求分式xx−3的“友好分式”．(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式bax+b的“友好分式”：______．②若n+2mx+m2+n是m−1mx+n2的“友好分式”，则m+n的值为______．【答案】(1)是(2)x2x−3(3)①bax+2b；②23【分析】（1）根据友好分式的定义进行判断；（2）仿照题目中给到的方法进行求解；（3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可.【详解】（1）解：∵22y+3−22y+5=42y+32y+5,22y+3×22y+5=42y+32y+5∴22y+3与22y+5是“友好分式”故答案为：是（2）解：设xx−3的“关联分式”为N，则xx−3−N=xx−3×N，∴xx−3+1N=xx−3，∴N=x2x−3．（3）解：①设bax+b的“关联分式”为N，则bax+b−N=bax+b×N，∴bax+b+1N=bax+b，∴N=bax+2b．规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”.故答案为：bax+2b；②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”.据此可得n+2=m−1mx+m2+n=mx+n2+n+2，整理得m−n=3m2−n2=2∴m+n=m2−n2m−n=23．故答案为：23【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键.【变式9-1】（2023下·浙江湖州·八年级校考期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是B的“n分式”．例如：xx−1−1x−1=1，则称分式xx−1是分式1x−1的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（    ）A．4x+3x+2是x−3x+2的“3分式”B．若a的值为−3，则12+x3+2x是ax+63+2x的“2分式”C．若2aba2−4b2是aa−2b的“1分式”，则a2=3b2D．若a与b互为倒数，则5aa+b2是−5ba2+b的“5分式”【答案】C【分析】根据新定义运算逐个验证正确与否即可．【详解】A、4x+3x+2−x−3x+2=3x+6x+2=3，A说法正确；B、12+x3+2x−ax+63+2x=12+x3+2x−−3x+63+2x=4x+63+2x=2，B说法正确；C、由已知条件得：2aba2−4b2−aa−2b=1，化简得：a2=2b2，C说法错误；D、由已知得：ab=1，5aa+b2−−5ba2+b=5abab+b3−−5aba3+ab=51+b3+5a3+1=51+1a3+5a3+1=5a3+1a3+1=5，D说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确运用新定义的运算规则．【变式9-2】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“互联分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=1(x+1)(x+2)，1x+1×1x+2=1(x+1)(x+2)，所以1x+2是1x+1的“互联分式”．(1)判断分式3x+2与分式3x+5是否是“互联分式”，请说明理由；(2)小红在求分式1x2+y2的“互联分式”时，用了以下方法：设1x2+y2的“互联分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，∴1x2+y2+1N=1x2+y2，∴N=1x2+y2+1．请你仿照小红的方法求分式x+2x+5的“互联分式”．(3)解决问题：仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数a，b的值，使4a−2bx+b是4b+2bx+a的“互联分式”．【答案】(1)是，理由见解析；(2)x+22x+7(3)a=14，b=−34【分析】（1）根据关联分式的定义进行判断；（2）仿照题目中给到的方法进行求解；（3）仿照题目中给到的方法进行求解．【详解】（1）分式3x+2与分式3x+5是“互联分式”，理由如下：∵3x+2−3x+5=3x+5−3x+2x+2x+5=9x+2x+5，3x+2×3x+5=9x+2x+5，∴分式3x+2是分式3x+5的“互联分式”，（2）解：设x+2x+5的“互联分式”为N，则x+2x+5−N=x+2x+5×N，∴x+2x+5+1N=x+2x+5，∴N=x+22x+7．（3）解：由（1）（2）可得，yx的“互联分式”是yx+y，∵4a−2bx+b是4b+2bx+a的“互联分式”∴4b+2=4a−2bx+b=bx+a+4b+2，整理得a−b=1a+3b=−2解得a=14b=−34．【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键．【变式9-3】（2023下·江苏南京·八年级南京五十中校联考期中）定义：若两个分式A与B满足：A−B=3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．(1)下列三组分式：①1a+1与4a+1；②4aa+1与a−3a+1；③a2a−1与7a−32a−1．其中互为“美妙分式”的有 　　（只填序号）；(2)求分式a2a+1的“美妙分式”；(3)若分式4a2a2−b2与aa+b互为“美妙分式”，且a、b均为不等于0的实数，求分式2a2−b2ab的值．【答案】(1)②③(2)7a+32a+1或−5a+32a+1(3)−173或−13【分析】（1）根据给出的“美妙分式”定义把每一组的分式相减求绝对值看结果来判断；（2）根据给出的“美妙分式”定义求分式a2a+1的“美妙分式”即可；（3）根据分式4a2a2−b2与aa+b互为“美妙分式”，得到4a2a2−b2−aa+b=3，求出①a=−3b，②ab=3b2−6a2，分别把①②代入分式2a2−b2ab中求出结果即可．【详解】（1）解：①1a+1−4a+1=−3a+1≠3，②4aa+1−a−3a+1=3a+3a+1=3，③a2a−1−7a−32a−1=−6a+32a−1=−6a−32a−1=3，故答案为：②③；（2）设分式a2a+1的“美妙分式”为A，则A−a2a+1=3 ，∴A−a2a+1=3或A−a2a+1=−3，①当A−a2a+1=3时，A=a2a+1+3=a2a+1+6a+32a+1=7a+32a+1，②当A−a2a+1=−3时，A=a2a+1−3=a2a+1−6a+32a+1=−5a−32a+1=−5a+32a+1 ，综上：分式a2a+1的“美妙分式”为7a+32a+1或−5a+32a+1；（3）∵4a2a2−b2与aa+b互为“美妙分式”，∴4a2a2−b2−aa+b=3，∵4a2a2−b2−aa+b=4a2a+ba−b−aa−ba+ba−b=3a2+aba+ba−b=3，∴3a2+aba+ba−b=3或3a2+aba+ba−b=−3，∴3a2+ab=3a2−b2或3a2+ab=−3a2−b2，∵a、b均为不等于0的实数，∴①a=−3b，②ab=3b2−6a2，把①代入2a2−b2ab=2−3b2−b2−3b2=17b2−3b2=−173，把②代入2a2−b2ab=2a2−b23b2−6a2=2a2−b2−32a2−b2=−13，综上：分式2a2−b2ab的值为−173或−13．【点睛】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．【题型10 分式中的阅读理解类问题】【例10】（2023下·江苏徐州·八年级统考期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．例：将分式x2−3x−1x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：设x+2=t，则x=t−2．原式=(t−2)2−3(t−2)−1t=t2−7t+9t=t−7+9t∴x2−3x−1x+2=x−5+9x+2．这样，分式x2−3x−1x+2就拆分成一个整式(x−5)与一个分式9x+2的和的形式．【应用】(1)使用分离整式法将分式2x+4x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；(2)将分式x2−2x+4x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；【拓展】(3)已知分式x2−x+7x−3的值为整数，求正整数x的值．【答案】(1)2+2x+1(2)x−1+3x−1(3)4或2或16【分析】（1）根据题意将2x+4x+1化简为一个整式与一个分式和的形式即可；（2）设x−1=t，则x=t+1，根据例题将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式；（3）设x−3=t，则x=t+3，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解．【详解】（1）解： 2x+4x+1=2x+1+2x+1=2+2x+1，故答案为：2+2x+1；（2）设x−1=t，则x=t+1，∴x2−2x+4x−1=t+12−2t+1+4t=t2+2t+1−2t−2+4t=t2+3t=t+3t∴x2−2x+4x−1=x−1+3x−1，故答案为：x−1+3x−1；（3）设x−3=t，则x=t+3，x2−x+7x−3=(3+t)2−(3+t)+7t =9+6t+t2−3−t+7t=5t+t2+13t=5+t+13t∴x2−x+7x−3=5+(x−3)+13x−3=x+2+13x−3∵分式x2−x+4x−1的值为整数，且x是正整数，∴x−3=±1，x−3=±13，由x−3=±1，得x=4或x=2由x−3=±13，得x=16或x=−10（舍）∴正整数x的值为4或2或16．【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是正确理解题目给出的方法，熟练掌握运算法则．【变式10-1】（2023上·山东泰安·八年级统考期中）阅读下面的解题过程：已知：xx2+1=13，求x2x4+1的值．解：由xx2+1=13知x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3．所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=32−2=7．故x2x4+1的值为17．(1)上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：xx2−5x+1=−1，求x2x4−7x2+1的值．(2)已知aba+b=6，bcb+c=9，aca+c=15，求abcab+bc+ac的值．【答案】(1)17；(2)18031．【分析】本题主要考查运用“倒数法”求分式的值以及分式的混合运算，（1）根据材料提示的“倒数法”将x2x4−7x2+1变形为x2+1x2−7，由此即可求解；（2）将aba+b=6，bcb+c=9，aca+c=15利用“倒数法”变形为1a+1b=16，1b+1c=19，1a+1c=115，将abcab+bc+ac利用“倒数法”变形为1a+1b+1c，由此即可求解．【详解】（1）解：∵xx2−5x+1=−1， ∴x2−5x+1x=x+1x−5=−1，∴x+1x=4∴x+1x2=x2+1x2+2=16，即x2+1x2=14，∵x2x4−7x2+1的倒数为x4−7x2+1x2，∴x4−7x2+1x2=x2+1x2−7，∴x2+1x2−7=14−7=7，∴x2x4−7x2+1=17；（2）解：∵aba+b=6，bcb+c=9，aca+c=15， ∴1a+1b=16，1b+1c=19，1a+1c=115，∴21a+1b+1c=16+19+115=3190∴1a+1b+1c=31180，∵abcab+bc+ac，∴ababc+bcabc+acabc=1a+1b+1c，∴abcab+bc+ac=18031，故答案为：18031．【变式10-2】（2023上·湖南益阳·八年级统考期末）阅读下列材料：【材料一】我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如x−1x+2,x2x+1这样的分式就是假分式：再如1x−1,2x−1x2+1这样的分式就是真分式．类似的假分式也可以化为带分式．如：x−1x+2=(x+2)−3x+2=1−3x+2．【材料二】问题：用配方法求代数式x2+x+1的最值．解：∵x2+x+1=x+122+34，而x+122≥0，∴x2+x+1=x+122+34≥34，故当x=−12时，x2+x+1的最小值为34．解答下列问题：(1)分式1x是_________（填“真分式”或“假分式”）；假分式x−1x+1可以化为带分式_________的形式；(2)如果分式x+4x−1的值为整数，求满足条件的整数x的值．(3)求分式6x2+6x+1x2+x+1的最值．【答案】(1)真分式；1−2x+1(2)−4,0,2,6(3)−23【分析】（1）根据材料一的定义与例题判断化简即可；（2）将x+4x−1化为真分式，然后对分母进行赋值即可；（3）先将6x2+6x+1x2+x+1根据材料一化为真分式，然后根据材料二对分母转化求最值即可．【详解】（1）解：∵1为0次，x为1次， 故分式1x是真分式；x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1；故答案为：真分式，1−2x+1（2）解：x+4x−1=x−1+5x−1=1+5x−1，x−1=−5，解得x=−4；x−1=−1，解得x=0；x−1=1，解得x=2；x−1=5，解得x=6．故满足条件的整数x的值为−4,0,2,6（3）解：6x2+6x+1x2+x+1=6x2+6x+6−5x2+x+1 =6−5x+122+34，故当x=−12时，分式6x2+6x+1x2+x+1的最小值为6−534=−23．【点睛】本题考查了新定义，相关知识点有：分式加法的逆用，多项式的配方等知识点，充分理解题意是解题关键．【变式10-3】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）阅读与理解：阅读下列材料，完成后面的任务：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：若xx2+1=14 ，求代数式x+1x 的值．解：∵xx2+1=14，∴x2+1x=4，即x2x+1x=4，∴x+1x=4.任务：已知xx2−3x+1=13 ．(1)求x+1x的值．(2)求x2x4+2x2+1的值．【答案】(1)x+1x=6(2)136【分析】（1）利用倒数法进行约分化简解题；（2）先求出倒数的值，然后代入求值即可．【详解】（1）解：∵xx2−3x+1=13，∴x2−3x+1x=3，∴x2x−3xx+1x=3，即x+1x=6；（2）解：设x2x4+2x2+1=m，则x4+2x2+1x2=1m，∴x4x2+2x2x2+1x2=1m，∴x2+2+1x2=1m，∴x+1x2=1m， 由(1)可知x+1x=6，∴1m=62=36，∴m=136，故x2x4+2x2+1的值为136．【点睛】本题考查分式的有关运算，理解材料中的计算方法，掌握分式的运算法则是解题的关键．