浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题5.3 分式方程【十大题型】（学生版+教师版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc654" 【题型1 解分式方程的一般方法】 PAGEREF _Tc654 \h 1
\l "_Tc4759" 【题型2 换元法解分式方程】 PAGEREF _Tc4759 \h 2
\l "_Tc28244" 【题型3 裂项法解分式方程】 PAGEREF _Tc28244 \h 3
\l "_Tc2691" 【题型4 根据分式方程的解求值】 PAGEREF _Tc2691 \h 4
\l "_Tc28399" 【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】 PAGEREF _Tc28399 \h 4
\l "_Tc308" 【题型6 已知分式方程有增根求参数】 PAGEREF _Tc308 \h 5
\l "_Tc3194" 【题型7 已知分式方程有整数解求参数】 PAGEREF _Tc3194 \h 5
\l "_Tc25173" 【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】 PAGEREF _Tc25173 \h 6
\l "_Tc32752" 【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】 PAGEREF _Tc32752 \h 6
\l "_Tc30474" 【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】 PAGEREF _Tc30474 \h 8
【知识点1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知数的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
【题型1 解分式方程的一般方法】
【例1】（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程：的解是_________.
【变式1-1】（2022·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程：
(1)；
(2)．
【变式1-2】（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当________时，分式与分式互为相反数．
【变式1-3】（2022·上海·上外附中七年级期末）解方程：
【知识点2 换元法解分式方程】
换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系
例解方程：
另（x－y）=u，则原方程转换为：
方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。
注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。
【题型2 换元法解分式方程】
【例2】（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：0．
解：设y，则原方程化为：y0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y0的解，
∴当y＝2时，2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，2，解得：x．
经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：1＝0．
【变式2-1】（2022·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的整式方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2022·上海·八年级课时练习）如果，那么的值是（ ）
A．1B．-1C．±1D．4
【变式2-3】（2022·上海·九年级专题练习）解方程组： ．
【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】
解题技巧：裂项相消法：
【题型3 裂项法解分式方程】
【例3】（2022·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律：
=–；=–；=–；……
解答下面的问题：
(1)已知n为正整数，结合你的发现，请将写成上面式子形式；
(2)说明你（1）中式子的正确性；
(3)直接写出+++ … +的结果；
(4)类比你发现的规律，解关于n（n为正整数）的分式方程：．
【变式3-1】（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：，…，回答问题：若+++…+＝，则x的值为 _____．
【变式3-2】（2022·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：
(1)由此可推断：=___；
(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___；
(3)仿照以上方法解方程：
【变式3-3】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察下列算式：
……
(1)填空：＝ ＝ ；
(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律： ．
(3)请用（2）中的规律解方程：．
【知识点4 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
【题型4 根据分式方程的解求值】
【例4】（2022·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于的方程的解为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于的方程的增根是，则字母a的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2022·北京市第九中学八年级期中）若是关于的方程的解，则的值为________．
【变式4-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x的方程有增根，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】
【例5】（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程有解，则a的取值范围是________．
【变式5-1】（2022·湖南·八年级单元测试）若关于x的分式方程无解，则m的值为( )
A．-6B．-10C．0或-6D．-6或-10
【变式5-2】（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A．1或B．1或3C．D．1
【变式5-3】（2022·重庆·二模）若关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
A．7B．10C．13D．21
【知识点5 增根的讨论】
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
【题型6 已知分式方程有增根求参数】
【例6】（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如果方程有增根，则k是 _______________．
【变式6-1】（2022·浙江宁波·七年级期末）用去分母的方法解关于的分式方程时会产生增根，则的值是__________．
【变式6-2】（2022·江西省石城二中九年级阶段练习）解关于x的方程不会产生增根，则k的值是（ ）
A．2B．1C．且D．无法确定
【变式6-3】（2022·全国·八年级）若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
【题型7 已知分式方程有整数解求参数】
【例7】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）若关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分成方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．−2B．3C．5D．10
【变式7-1】（2022·安徽·九年级专题练习）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（ ）
A．7B．11C．12D．13
【变式7-2】（2022·重庆一中八年级阶段练习）关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．4B．8C．11D．15
【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于的不等式组有解，关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．0B．1C．2D．5
【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】
【例8】（2022·重庆一中九年级阶段练习）若关于x的不等式组有解，且关于y的方程的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣3D．﹣1
【变式8-1】（2022·山东·龙口市教学研究室八年级期中）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为______．
【变式8-2】（2022·江苏宿迁·八年级阶段练习）关于x的方程的解大于1，则k的取值范围为_____________．
【变式8-3】（2022·山东济南·八年级期中）若关于的分式方程的解是非负整数解，且满足不等式，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．18B．16C．12D．6
【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】
【例9】（2022·山东聊城·八年级期末）已知：①x+＝3可转化为x+＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，
②x+＝5可转化为x+＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，
③x+＝7可转化为x+＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……
根据以上规律，关于x的方程x+＝2n+4的解为_____．
【变式9-1】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程
①的解是0；
②的解是1；
③的解是 ；
④的解是 ；
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解．
【变式9-2】（2022·江苏无锡·八年级期中）阅读下列材料：
方程的解为，
方程的解为，
方程的解为，
(1)请直接写出方程的解为________；
(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为的分式方程：________；
(3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；________．
【变式9-3】（2022·四川遂宁·八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题．
通过计算，发现：方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；…
(1)观察猜想：关于x的方程的解是 ；
(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程；
(3)实践运用：对关于x的方程的解，小明观察得“”是该方程的一个解，则方程的另一个解= ，请利用上面的规律，求关于x的方程的解．
【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】
【例10】（2022·辽宁大连·八年级期末）当时，定义一种新运算：，例如：，．
（1）直接写出_______________；
（2）若，求出m的值．
【变式10-1】（2022·广西·北海市实验学校八年级期中）对于非零的两个有理数a，b，规定，若，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】（2022·全国·七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b(其中a≠0)，都有a*b＝，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：2*1＝＝0.
(1)求5*4的值；
(2)若x*2＝1(其中x≠0)，求x的值．
【变式10-3】（2022·江苏扬州·八年级期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数m的值.