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第二十七章 相似（知识清单）
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第二十七章 相似（知识清单）一、学习目标1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质；2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.重点：1.利用相似三角形的知识解决实际的问题；2.位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形.难点：把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型并求解.二、学习过程章节介绍中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似.本章将在前面对全等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究.本章研究的主要问题是相似图形的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形.此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和旋转三种图形的全等变换，本章将介绍一种新的图形变换-位似.知识梳理1.相似图形的概念：数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的概念：如果两个边数相同的多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例.4.相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比.5.比例线段的概念：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)，我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.6.相似三角形的概念：在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k, 即三角分别相等、三边成比例，我们就说△ABC和△A′B′C′相似，k为相似比.7.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称：平行线分线段成比例.8.平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.9.相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.10.相似三角形判定定理4：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.11.三角形相似判定定理5：两角分别相等的两个三角形相似.12.直角三角形相似判定定理1：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.13.相似三角形的性质：14.利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意画出示意图（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的已知线段、已知角（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出未知量（4）写出答案15.位似图形的概念：如果两个图形的对应顶点的连线都经过同一点，且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个图形叫做位似图形.16.位似图形的性质：1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等． 2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比）3）对应线段平行或者在一条直线上．17.把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比（新图与原图的相似比）为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，则图象上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.考点解读考查题型一 判断相似图形1．下列图形，一定相似的是（ ）A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；C.两个等边三角形，角都是60°，故相似；D.任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；故选C．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．2．如图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到的（ ）A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换【答案】D【分析】根据相似变换的概念判断即可．【详解】解：∵右边的“晶晶”和左边的“晶晶”只有形状相同，∴两个图形相似，∴右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”通过相似变换得到的．故选：D．【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟记各种变换的概念的解题的关键．3．观察下列图形，这四组形状各异的图形中，是相似图形的有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】B【分析】根据相似图形的定义，对图形进行一一分析，选出正确答案．【详解】解：第一组形状不同，不符合相似形的定义；第二组形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；第三组形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；第四组形状不同，不符合相似形的定义，是相似图形的有2组．故选：B．【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．考查题型二 由平行判定成比例线段1．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）A．ABAE=AGAD B．DFCF=DGAD C．FGAC=EGBD D．AEBE=CFDF【答案】D【分析】根据EG∥BD，可得△AEG∽△ABD，根据FG∥AC，可得△DGF∽△DAC，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵GE∥BD，∴AEBE=AGDG，△AEG∽△ABD，∴ABAE=ADAG，故选项A错误；∵GF∥AC，∴DFCF=DGAG，△DGF∽△DAC，故选项B错误；∵DFCF=DGAG∴AGDG=CFDF∴AEBE=CFDF故选项D正确；∵△AEG∽△ABD，△DGF∽△DAC，∴FGAC=DGDA，EGBD=AGAD故选项C错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，利用平行线分线段成比例，找出比例式是解题的关键．2．如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（ ）A．AFBF=AEED B．BFAF=BEEC C．AEAD+BEBC=1 D．AFBF=CEED【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可．【详解】解：对A、B选项．∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴AFBF=AEED，BFAF=BEEC，故AB正确，不符合题意；C．∵AEAD=AFAB，BEBC=BFAB，∴AEAD+BEBC=AFAB+BFAB=AF+BFAB=ABAB=1，故C正确，不符合题意；D．∵AFBF=CEEB，而DE≠EB，∴AFBF≠CEED，故D错误，不符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ） A．BDAD=DFAC B．BFFC=AEEC C．BFFC=DFAC D．BFFC=CEAE【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A．由DF∥AC，得BDBA=DFAC，故A选项错误；B．由DF∥AC，得BFFC=BDDA，又由DE∥BC，得BDDA=CEEA，则BFFC= CEEA，故B选项错误，D选项正确；C．由DF∥AC，得BFBC=DFAC，故C选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．考查题型三 由平行截线求相关线段的长或比例1．如图，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．103【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴ABBC=DEEF.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴56=DE4.∴DE=103.故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD=2，BD=3，则AEAC的值是（ ） A．25 B．12 C．35 D．【答案】A【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出AEAC=ADAB，即可求解．【详解】解：∵△ABC中，DE∥BC，∴AEAC=ADAB，∵AD=2，BD=3∴AEAC=ADAD+BD=22+3=25，故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．3．如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD=4DE，连接并延长交AC于点F，则：FC的值是（ ）A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：3【答案】A【分析】过点D作DG∥AC，与BF交于点G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG=3:2【详解】过点D作DG∥AC，与BF交于点G，如图：∵AD=4DE∵AD是△ABC的中线∴BDDC=12∴AFDG=AEDE=3DEDE=3,即AF=3DG∴DGFC=BDBC=12，即FC=2DG∴AF:FC=3DG:2DG=3:2故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键．4．如图，在△ABC中，AB=BC，点D为AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接，若DE=13，AC=20，则的长为（ ）A．12 B．20 C．24 D．26【答案】C【分析】根据题意可知DE为△ABC的中位线，根据等腰三角形的性质可得BE⊥AC，勾股定理解Rt△BCE即可求解．【详解】∵点D为AB的中点，∴AD=BD，∵DE∥BC，∴ADBD=AEEC，∴AE=EC，∴DE=12BC，∴BC=2DE=26,EC=12AC=10，∵AB=BC,AE=EC，∴BE⊥AC，在Rt△BCE中，BE=BC2-EC2=24，故选C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线的判定与性质，三线合一，勾股定理，求得E是AC中点是解题的关键．考查题型四 证明两个三角形相似1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：△ACD∽△ABC．【答案】见解析【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．【详解】证明：如图，∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高∴∵∠A是公共角∴△ACD∽△ABC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．2．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．【答案】见解析【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可．【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝∠2＋60°，∴∠1＝∠2，∴△ADC∽△DEB．【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键．3．已知：如图，点D在三角形ABC的AB上，DE交AC于点E，∠ADE=∠B，点F在AD上，且AD2=AF⋅AB．求证：(1)ADAB=AEAC；(2)△AEF∽△ACD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据∠ADE=∠B，可得DE∥BC，从而得到ADDB=AEEC，即可求证；（2）根据AD2=AF⋅AB，可得ADAB=AFAD，从而得到AEAC=AFAD．即可求证．【详解】（1）证明：∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴ADDB=AEEC，∴ADAB=AEAC．（2）证明：∵AD2=AF⋅AB，∴ADAB=AFAD，∵ADAB=AEAC，∴AEAC=AFAD．又∠A=∠A，∴△AEF∽△ACD．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定定理是解题的关键．4．如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且AB⋅AC=BD⋅CE．求证：△ABD∽△ECA．【答案】见解析【分析】先由等边三角形的性质推出∠ABD=∠ECA，再由AB⋅AC=BD⋅CE，得到ABEC=BDCA，即可推出△ABD∽△ECA．【详解】解；∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，∴∠ABD=∠ECA，又∵AB⋅AC=BD⋅CE，∴ABEC=BDCA，∴△ABD∽△ECA．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．5．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．（1）求证：△AEF∽△DFC；（2）求线段EF的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）EF=5．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到结论；（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到DF=CF2-CD2=6，求得AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC；（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，∴DF=CF2-CD2=6，∴AF=4，∵AE=AB-BE=8-EF，∴EF2=AE2+AF2，即EF2=（8-EF）2+42，解得：EF=5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．考查题型五 补充条件使两个三角形相似1．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍无法判定△ACD∽△ABC的是（ ）A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACB C．ADAC=CDBC D．AC2=AD⋅AB【答案】C【分析】根据公共角∠A，再分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【详解】∵∠A=∠AA、当∠ACD=∠B时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故选项A不合题意；B、当∠ADC=∠ACB时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故选项B不合题意；C、当ADAC=CDBC时，∠A不是夹角，所以无法得出△ACD∽△ABC，故选项C符合题意；D、当AC2=AD⋅AB时，即ACAB=ADAC，再由∠A=∠A，故选项D不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．2．如图，要使△ACD∽△ABC，需要具备的条件是（ ）A．ACAD=ABBC B．CDAD=BCACC．AC2=AD⋅AB D．CD2=AD⋅BD【答案】C【分析】题目中隐含条件∠A＝∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是ACAB=ADAC，根据比例性质即可推出答案．【详解】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：ACAB=ADAC，∴AC2＝AD⋅AB ．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．3．如图，如果∠BAD=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）A．∠B=∠D B．∠C=∠AEDC．AB⋅BC=AD⋅DE D．AB⋅AE=AD⋅AC【答案】C【分析】根据题意可得∠EAD=∠CAB，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．【详解】解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，A．若添加∠B=∠D，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；B．若添加∠C=∠AED，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；C．若添加AB⋅BC=AD⋅DE，不能证明△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；D．若添加AB⋅AE=AD⋅AC，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．考查题型六 相似三角形与动点问题1．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，cosA=3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？【答案】过2.4或3211秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似【分析】由∠C=90°，BC=8cm，cosA=3：5，即AC：：5，利用勾股定理即可求得AB与AC的长，然后设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则可得BP=2tcm，，CQ=tcm，再分别从当CPCB=CQCA时，△CPQ∽△CBA与当CPCA=CQCB时，△CPQ∽△CAB，去分析求解即可求得答案．【详解】解：，BC=8cm，cosA=3：5，即AC：：5，∴设AC=3xcm，，则，即4x=8，解得：，，AB=10cm，，设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则，，，是公共角，∴①当CPCB=CQCA，即8-2t8=t6时，△CPQ∽△CBA，解得：t=2.4，②当CPCA=CQCB，即8-2t6=t8时，△CPQ∽△CAB，解得：t=3211，∴过2.4或3211秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用是解题的关键．2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，．点P从点C出发沿折线CA-AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿BC-CA-AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t>0）．发现：(1)AB=___________；(2)当点P，Q相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时AP的长．探究：(3)当t=1时，△PQC的面积为___________；(4)点P，Q分别在AC，BC上时，△PQC的面积能否是△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．拓展：(5)当PQ∥BC时，求出此时t的值．【答案】(1)5(2)相遇点在AB边上，1(3)1(4)不能，见解析(5)t=4413【分析】（1）利用勾股定理直接求解即可；（2）分类讨论点的位置对应不同的时间，直接计算即可；（3）直接求出边长来求面积即可；（4）解方程时通过求根公式来说明不能取到值；（5）先画出图形，然后利用平行线间的线段比列方程求值．【详解】（1）在中， AB=AC2+BC2=32+42=5∴AB=5； （2）点P运动到B需要：4+5÷1=9s点Q运动到B点需要：3+4+5÷2=6s当点P,Q相遇时，有2t-t=4．解得t=4．∴相遇点在AB边上，此时AP=4-3=1． （3）当t=1时，PC=1,BQ=2，即∴SΔPQC=12PC•CQ=12×1×2=1 故答案为1；（4）不能理由：若△PQC的面积是△ABC面积的一半，即12t(4-2t)=12×12×3×4，化为t2-2t+3=0．∵Δ=-22-4×1×3<0，∴方程没有实数根，即△PQC的面积不能是△ABC面积的一半．（5）由题可知，点P先到达AB边，当点Q还在AC边上时，存在PQ∥BC，如图所示．这时，AQAC=APAB．∵AQ=7-2t，AP=t-3，∴7-2t3=t-35．解得t=4413，即当PQ∥BC时，t=4413．【点睛】此题考查动点问题以及平行线的线段比，解题关键是将点的路程表示出来找到等量关系，以及平行线中线段成比例列方程．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒．(1)求线段CD的长；(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当t为何值时，△CPQ与△CAD相似？请直接写出t的值．【答案】(1)4.8(2)S=SΔCPQ=-25t2+4825t(0≤t≤4.8)(3)3或95【分析】（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过△CHP~△BCA，可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式，即可解决问题；（3）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分∠CPQ=90°与∠CQP=90°两种情况，利用相似三角形的性质，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=AC2+BC2=10，∵，∴12×6×8=12×10CD，解得：CD=4.8；（2）解：过点P作PH⊥AC于点H，如图，根据题意得：DP=t，CQ=t，则CP=4.8-t，∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B，∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°，∴∠CHP=∠ACB，∴△CHP~△BCA，∴PHAC=PCAB，即PH8=4.8-t10，解得：PH=9625-45t，∴；（3）解：根据题意得：DP=t，CQ=t．则CP=4.8-t．∵∠ACD=∠PCQ，且∠ADC=90°，当∠CPQ=∠ADC=90°时，△CPQ~△CDA，如图，∴CQAC=CPCD，即t8=4.8-t4.8，解得：t=3；当∠CQP=∠ADC=90°时，△CQP~△CDA，如图，∴，即4.8-t8=t4.8，解得：t=95；综上所述，当t为3或95时，△CPQ与△CAD相似．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．考查题型七 相似三角形与存在性问题1．如图，在矩形ABCD中，，BC=6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0
第二十七章 相似（知识清单）一、学习目标1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质；2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.重点：1.利用相似三角形的知识解决实际的问题；2.位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形.难点：把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型并求解.二、学习过程章节介绍中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，全等是一种特殊的相似.本章将在前面对全等形研究的基础上，借鉴全等三角形研究的基本套路对相似图形进行研究.本章研究的主要问题是相似图形的定义、性质和判定方法，研究的主要载体是三角形.此外，教科书在前面的章节中介绍了平移、轴对称和旋转三种图形的全等变换，本章将介绍一种新的图形变换-位似.知识梳理1.相似图形的概念：数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的概念：如果两个边数相同的多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例.4.相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比.5.比例线段的概念：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)，我们就称四条线段是成比例线段，简称比例线段.6.相似三角形的概念：在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k, 即三角分别相等、三边成比例，我们就说△ABC和△A′B′C′相似，k为相似比.7.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称：平行线分线段成比例.8.平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.9.相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.10.相似三角形判定定理4：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.11.三角形相似判定定理5：两角分别相等的两个三角形相似.12.直角三角形相似判定定理1：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.13.相似三角形的性质：14.利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意画出示意图（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的已知线段、已知角（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出未知量（4）写出答案15.位似图形的概念：如果两个图形的对应顶点的连线都经过同一点，且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个图形叫做位似图形.16.位似图形的性质：1）位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等． 2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比）3）对应线段平行或者在一条直线上．17.把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比（新图与原图的相似比）为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，则图象上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.考点解读考查题型一 判断相似图形1．下列图形，一定相似的是（ ）A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；C.两个等边三角形，角都是60°，故相似；D.任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；故选C．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．2．如图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到的（ ）A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换【答案】D【分析】根据相似变换的概念判断即可．【详解】解：∵右边的“晶晶”和左边的“晶晶”只有形状相同，∴两个图形相似，∴右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”通过相似变换得到的．故选：D．【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟记各种变换的概念的解题的关键．3．观察下列图形，这四组形状各异的图形中，是相似图形的有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】B【分析】根据相似图形的定义，对图形进行一一分析，选出正确答案．【详解】解：第一组形状不同，不符合相似形的定义；第二组形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；第三组形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；第四组形状不同，不符合相似形的定义，是相似图形的有2组．故选：B．【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．考查题型二 由平行判定成比例线段1．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）A．ABAE=AGAD B．DFCF=DGAD C．FGAC=EGBD D．AEBE=CFDF【答案】D【分析】根据EG∥BD，可得△AEG∽△ABD，根据FG∥AC，可得△DGF∽△DAC，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵GE∥BD，∴AEBE=AGDG，△AEG∽△ABD，∴ABAE=ADAG，故选项A错误；∵GF∥AC，∴DFCF=DGAG，△DGF∽△DAC，故选项B错误；∵DFCF=DGAG∴AGDG=CFDF∴AEBE=CFDF故选项D正确；∵△AEG∽△ABD，△DGF∽△DAC，∴FGAC=DGDA，EGBD=AGAD故选项C错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，利用平行线分线段成比例，找出比例式是解题的关键．2．如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（ ）A．AFBF=AEED B．BFAF=BEEC C．AEAD+BEBC=1 D．AFBF=CEED【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可．【详解】解：对A、B选项．∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴AFBF=AEED，BFAF=BEEC，故AB正确，不符合题意；C．∵AEAD=AFAB，BEBC=BFAB，∴AEAD+BEBC=AFAB+BFAB=AF+BFAB=ABAB=1，故C正确，不符合题意；D．∵AFBF=CEEB，而DE≠EB，∴AFBF≠CEED，故D错误，不符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ） A．BDAD=DFAC B．BFFC=AEEC C．BFFC=DFAC D．BFFC=CEAE【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A．由DF∥AC，得BDBA=DFAC，故A选项错误；B．由DF∥AC，得BFFC=BDDA，又由DE∥BC，得BDDA=CEEA，则BFFC= CEEA，故B选项错误，D选项正确；C．由DF∥AC，得BFBC=DFAC，故C选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．考查题型三 由平行截线求相关线段的长或比例1．如图，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．103【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴ABBC=DEEF.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴56=DE4.∴DE=103.故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD=2，BD=3，则AEAC的值是（ ） A．25 B．12 C．35 D．【答案】A【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出AEAC=ADAB，即可求解．【详解】解：∵△ABC中，DE∥BC，∴AEAC=ADAB，∵AD=2，BD=3∴AEAC=ADAD+BD=22+3=25，故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．3．如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD=4DE，连接并延长交AC于点F，则：FC的值是（ ）A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：3【答案】A【分析】过点D作DG∥AC，与BF交于点G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG=3:2【详解】过点D作DG∥AC，与BF交于点G，如图：∵AD=4DE∵AD是△ABC的中线∴BDDC=12∴AFDG=AEDE=3DEDE=3,即AF=3DG∴DGFC=BDBC=12，即FC=2DG∴AF:FC=3DG:2DG=3:2故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键．4．如图，在△ABC中，AB=BC，点D为AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接，若DE=13，AC=20，则的长为（ ）A．12 B．20 C．24 D．26【答案】C【分析】根据题意可知DE为△ABC的中位线，根据等腰三角形的性质可得BE⊥AC，勾股定理解Rt△BCE即可求解．【详解】∵点D为AB的中点，∴AD=BD，∵DE∥BC，∴ADBD=AEEC，∴AE=EC，∴DE=12BC，∴BC=2DE=26,EC=12AC=10，∵AB=BC,AE=EC，∴BE⊥AC，在Rt△BCE中，BE=BC2-EC2=24，故选C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线的判定与性质，三线合一，勾股定理，求得E是AC中点是解题的关键．考查题型四 证明两个三角形相似1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：△ACD∽△ABC．【答案】见解析【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．【详解】证明：如图，∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高∴∵∠A是公共角∴△ACD∽△ABC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．2．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．【答案】见解析【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可．【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝∠2＋60°，∴∠1＝∠2，∴△ADC∽△DEB．【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键．3．已知：如图，点D在三角形ABC的AB上，DE交AC于点E，∠ADE=∠B，点F在AD上，且AD2=AF⋅AB．求证：(1)ADAB=AEAC；(2)△AEF∽△ACD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据∠ADE=∠B，可得DE∥BC，从而得到ADDB=AEEC，即可求证；（2）根据AD2=AF⋅AB，可得ADAB=AFAD，从而得到AEAC=AFAD．即可求证．【详解】（1）证明：∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴ADDB=AEEC，∴ADAB=AEAC．（2）证明：∵AD2=AF⋅AB，∴ADAB=AFAD，∵ADAB=AEAC，∴AEAC=AFAD．又∠A=∠A，∴△AEF∽△ACD．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定定理是解题的关键．4．如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且AB⋅AC=BD⋅CE．求证：△ABD∽△ECA．【答案】见解析【分析】先由等边三角形的性质推出∠ABD=∠ECA，再由AB⋅AC=BD⋅CE，得到ABEC=BDCA，即可推出△ABD∽△ECA．【详解】解；∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，∴∠ABD=∠ECA，又∵AB⋅AC=BD⋅CE，∴ABEC=BDCA，∴△ABD∽△ECA．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．5．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．（1）求证：△AEF∽△DFC；（2）求线段EF的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）EF=5．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到结论；（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到DF=CF2-CD2=6，求得AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC；（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，∴DF=CF2-CD2=6，∴AF=4，∵AE=AB-BE=8-EF，∴EF2=AE2+AF2，即EF2=（8-EF）2+42，解得：EF=5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．考查题型五 补充条件使两个三角形相似1．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍无法判定△ACD∽△ABC的是（ ）A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACB C．ADAC=CDBC D．AC2=AD⋅AB【答案】C【分析】根据公共角∠A，再分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【详解】∵∠A=∠AA、当∠ACD=∠B时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故选项A不合题意；B、当∠ADC=∠ACB时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故选项B不合题意；C、当ADAC=CDBC时，∠A不是夹角，所以无法得出△ACD∽△ABC，故选项C符合题意；D、当AC2=AD⋅AB时，即ACAB=ADAC，再由∠A=∠A，故选项D不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．2．如图，要使△ACD∽△ABC，需要具备的条件是（ ）A．ACAD=ABBC B．CDAD=BCACC．AC2=AD⋅AB D．CD2=AD⋅BD【答案】C【分析】题目中隐含条件∠A＝∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是ACAB=ADAC，根据比例性质即可推出答案．【详解】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：ACAB=ADAC，∴AC2＝AD⋅AB ．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．3．如图，如果∠BAD=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）A．∠B=∠D B．∠C=∠AEDC．AB⋅BC=AD⋅DE D．AB⋅AE=AD⋅AC【答案】C【分析】根据题意可得∠EAD=∠CAB，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．【详解】解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，A．若添加∠B=∠D，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；B．若添加∠C=∠AED，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；C．若添加AB⋅BC=AD⋅DE，不能证明△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；D．若添加AB⋅AE=AD⋅AC，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．考查题型六 相似三角形与动点问题1．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，cosA=3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？【答案】过2.4或3211秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似【分析】由∠C=90°，BC=8cm，cosA=3：5，即AC：：5，利用勾股定理即可求得AB与AC的长，然后设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则可得BP=2tcm，，CQ=tcm，再分别从当CPCB=CQCA时，△CPQ∽△CBA与当CPCA=CQCB时，△CPQ∽△CAB，去分析求解即可求得答案．【详解】解：，BC=8cm，cosA=3：5，即AC：：5，∴设AC=3xcm，，则，即4x=8，解得：，，AB=10cm，，设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则，，，是公共角，∴①当CPCB=CQCA，即8-2t8=t6时，△CPQ∽△CBA，解得：t=2.4，②当CPCA=CQCB，即8-2t6=t8时，△CPQ∽△CAB，解得：t=3211，∴过2.4或3211秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用是解题的关键．2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，．点P从点C出发沿折线CA-AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿BC-CA-AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t>0）．发现：(1)AB=___________；(2)当点P，Q相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时AP的长．探究：(3)当t=1时，△PQC的面积为___________；(4)点P，Q分别在AC，BC上时，△PQC的面积能否是△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．拓展：(5)当PQ∥BC时，求出此时t的值．【答案】(1)5(2)相遇点在AB边上，1(3)1(4)不能，见解析(5)t=4413【分析】（1）利用勾股定理直接求解即可；（2）分类讨论点的位置对应不同的时间，直接计算即可；（3）直接求出边长来求面积即可；（4）解方程时通过求根公式来说明不能取到值；（5）先画出图形，然后利用平行线间的线段比列方程求值．【详解】（1）在中， AB=AC2+BC2=32+42=5∴AB=5； （2）点P运动到B需要：4+5÷1=9s点Q运动到B点需要：3+4+5÷2=6s当点P,Q相遇时，有2t-t=4．解得t=4．∴相遇点在AB边上，此时AP=4-3=1． （3）当t=1时，PC=1,BQ=2，即∴SΔPQC=12PC•CQ=12×1×2=1 故答案为1；（4）不能理由：若△PQC的面积是△ABC面积的一半，即12t(4-2t)=12×12×3×4，化为t2-2t+3=0．∵Δ=-22-4×1×3<0，∴方程没有实数根，即△PQC的面积不能是△ABC面积的一半．（5）由题可知，点P先到达AB边，当点Q还在AC边上时，存在PQ∥BC，如图所示．这时，AQAC=APAB．∵AQ=7-2t，AP=t-3，∴7-2t3=t-35．解得t=4413，即当PQ∥BC时，t=4413．【点睛】此题考查动点问题以及平行线的线段比，解题关键是将点的路程表示出来找到等量关系，以及平行线中线段成比例列方程．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒．(1)求线段CD的长；(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当t为何值时，△CPQ与△CAD相似？请直接写出t的值．【答案】(1)4.8(2)S=SΔCPQ=-25t2+4825t(0≤t≤4.8)(3)3或95【分析】（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过△CHP~△BCA，可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式，即可解决问题；（3）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分∠CPQ=90°与∠CQP=90°两种情况，利用相似三角形的性质，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=AC2+BC2=10，∵，∴12×6×8=12×10CD，解得：CD=4.8；（2）解：过点P作PH⊥AC于点H，如图，根据题意得：DP=t，CQ=t，则CP=4.8-t，∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B，∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°，∴∠CHP=∠ACB，∴△CHP~△BCA，∴PHAC=PCAB，即PH8=4.8-t10，解得：PH=9625-45t，∴；（3）解：根据题意得：DP=t，CQ=t．则CP=4.8-t．∵∠ACD=∠PCQ，且∠ADC=90°，当∠CPQ=∠ADC=90°时，△CPQ~△CDA，如图，∴CQAC=CPCD，即t8=4.8-t4.8，解得：t=3；当∠CQP=∠ADC=90°时，△CQP~△CDA，如图，∴，即4.8-t8=t4.8，解得：t=95；综上所述，当t为3或95时，△CPQ与△CAD相似．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．考查题型七 相似三角形与存在性问题1．如图，在矩形ABCD中，，BC=6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0
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