2023-2024学年北京市海淀区师达中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市海淀区师达中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6B．a2•a3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5
3．（3分）若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．8或10
4．（3分）五边形的内角和为（ ）
A．720°B．540°C．360°D．180°
5．（3分）如图，△ABD≌△ECB，点E在BD上，若BC＝11，DE＝6，EC＝7，则AD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A+∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
7．（3分）已知a2﹣5＝2a，则代数式（a﹣2）（a+3）﹣3（a﹣1）的值是（ ）
A．2B．﹣2C．8D．﹣8
8．（3分）已知x2﹣mx+9是某个整式的平方的展开式，则m的值为（ ）
A．3B．±3C．6D．±6
9．（3分）如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
10．（3分）如图，锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O，则下列结论：①∠BOC＝120°；②连接ED，则ED∥BC；③BC＝BE+CD；④若BO＝AC，则∠ABC＝40°．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．③④
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）若（x﹣2）0＝1，则x的取值范围是 ．
12．（3分）若点A（m，n）与点B（3，2）关于x轴对称，则m+n的值为 ．
13．（3分）等腰三角形的一个内角50°，则这个三角形的底角是 ．
14．（3分）若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为 ．
15．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝8，则BE的长为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝6，则△ABC的周长是 ．
17．（3分）如图，B、C、D在一直线上，△ABC和△ADE是等边三角形，若CE＝15，CD＝6，则AC＝ ．
18．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分别为射线BE、BC上的动点，若BD＝10，则CM+MN的最小值为 ．
三、解答题（共46分，第19、25-26题各7分，第20、22-23题各5分，第21题4分，第24题6分）
19．（7分）（1）计算：（﹣x2y）3•（﹣2xy3）2；
（2）先化简，再求值：3a（a2﹣2a+1）﹣2a2（a﹣3），其中a＝2．
20．（5分）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC．
作法：
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F；
③作射线BF交AC于点P．
则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明
证明：连接DF，FE
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF．
∴∠ABF＝∠CBF（ ）（填推理的依据）．
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝ （ ）（填推理的依据）．
21．（4分）如图，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置，BE交AD于点F．求证：重叠部分（即△BDF）是等腰三角形．
22．（5分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
23．（5分）如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AC＝BF．
求证：AE＝EF．
24．（6分）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式；
（2）解决问题：如果a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．
25．（7分）已知：△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连接AD，在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP＝30°，作点A关于射线DP的对称点E，连接DE、CE．
（1）当点D在线段BC上运动时，
①依题意将图1补全；
②请用等式表示线段AB、CE、CD之间的数量关系，并证明；
（2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB、CE、CD之间的数量关系，不需证明．
26．（7分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（4，0），C（0，4），给出如下定义：若P为△ABC内（不含边界）一点，且AP与△BCP的一条边相等，则称P为△ABC的友爱点．
（1）在P1（0，3），P2（﹣1，1），P3（﹣2，1）中，△ABC的友爱点是 ．
（2）如图2，若P为△ABC内一点，且∠PAB＝∠PCB＝15°，求证：P为△ABC的友爱点；
（3）直线l为过点M（0，m）且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的三个友爱点，直接写出m的取值范围是 ．
2023-2024学年北京市海淀区师达中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6B．a2•a3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5
【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方解决此题．
【解答】解：A．根据幂的乘方，得（a2）3＝a6，故A符合题意．
B．根据同底数幂的乘法，得a2•a3＝a5，故B不符合题意．
C．根据积的乘方，得（2a）3＝8a3，故C不符合题意．
D．根据同底数幂的除法，得a10÷a2＝a8，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方是解决本题的关键．
3．（3分）若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．8或10
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为4时，周长＝4+4+2＝10；
当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为4，这个三角形的周长是 10．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．（3分）五边形的内角和为（ ）
A．720°B．540°C．360°D．180°
【分析】利用多边形的内角和定理即可求解．
【解答】解：五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理的计算公式，理解公式是关键．
5．（3分）如图，△ABD≌△ECB，点E在BD上，若BC＝11，DE＝6，EC＝7，则AD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】欲求AD的长度，只需求得BE的长度即可．所以根据全等三角形的对应边相等推知AD＝BE，BD＝BC＝11，则AD＝BD﹣DE．
【解答】解：∵△ABD≌△ECB，BC＝11，
∴AD＝BE，BD＝BC＝11．
又∵DE＝6，
∴BE＝BD﹣DE＝5．
∴AD＝BE＝5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应边．
6．（3分）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A+∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
【分析】利用三角形内角和定理证明∠B＝∠D，再利用三角形的外角的性质判定B，C正确即可．
【解答】解：∵∠A+∠AOD+∠D＝180°，∠C+∠COB+∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A+∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
7．（3分）已知a2﹣5＝2a，则代数式（a﹣2）（a+3）﹣3（a﹣1）的值是（ ）
A．2B．﹣2C．8D．﹣8
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、多项式乘多项式的运算法则、合并同类项把原式化简，整体代入计算，得到答案．
【解答】解：原式＝a2+3a﹣2a﹣6﹣（3a﹣3）
＝a2+3a﹣2a﹣6﹣3a+3
＝a2﹣2a﹣3，
∵a2﹣5＝2a，
∴a2﹣2a＝5，
则原式＝5﹣3＝2，
故选：A．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
8．（3分）已知x2﹣mx+9是某个整式的平方的展开式，则m的值为（ ）
A．3B．±3C．6D．±6
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵x2﹣mx+9＝x2﹣mx+32是某个整式的平方的展开式，
∴﹣m＝±6，
解得：m＝±6．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（3分）如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
【分析】根据垂直平分线性质，∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC．则有∠B+∠C+2∠DAE＝150°，即 180°﹣∠BAC+2∠DAE＝150°，再与∠BAC+∠DAE＝150°联立解方程组即可．
【解答】解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC．
∵∠BAC+∠DAE＝150°，①
∴∠B+∠C+2∠DAE＝150°．
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴180°﹣∠BAC+2∠DAE＝150°，
即∠BAC﹣2∠DAE＝30°．②
由①②组成的方程组，
解得∠BAC＝110°．
故选：B．
【点评】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到∠BAC和∠DAE的数量关系，难度中等．
10．（3分）如图，锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O，则下列结论：①∠BOC＝120°；②连接ED，则ED∥BC；③BC＝BE+CD；④若BO＝AC，则∠ABC＝40°．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．③④
【分析】由角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠BOC的度数，进而判断①；当ED∥BC时，有∠EDB＝∠DBC＝∠EBD，∠DEC＝∠DCE＝∠ECB，可推出△ABC是等边三角形，而此时其不一定为等边三角形，据此可判断②；在BC上取一点F，使BF＝BE，证△EBO≌△FBO，进而推出∠FOC＝∠DOC＝60°，再证△OCF≌△OCD，得出FC＝DC．结合线段的和差即可判断③；过点B作BG⊥CE垂足为G，BG交CE的延长线于点G，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠G＝∠CHA＝90°，用“AAS”分别证△ACH≌△OBG、△BEG≌△CEH，推出EB＝EC，∠EBG＝∠ECH，设∠EBG＝∠ECH＝x，则有x+∠EBO＝30°，由全等三角形的对应角相等、等腰三角形的性质和角的和差列出关于x的方程，求出x，进而求出∠ABC的度数，即可判断④．
【解答】解：①∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝×120°＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，故①正确；
②连接ED，
∵BD、CE分别是∠ABC和∠BCA的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACE＝∠ECB，
当ED∥BC时，∠EDB＝∠DBC＝∠EBD，∠DEC＝∠DCE＝∠ECB，
∴ED＝EB＝DC．
∵ED∥BC，
∴．
∴AE＝AD．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等边三角形，而此时其不一定为等边三角形，故ED∥BC不成立．
故②错误．
③在BC上取一点F，使BF＝BE，如图1所示．
在△EBO和△FBO中，
，
∴△EBO≌△FBO（SAS）．
∴∠EOB＝∠FOB＝180°﹣∠BOC＝60°．
∴∠FOC＝∠BOC﹣∠FOB＝∠DOC＝60°．
在△OCF和△OCD中，
，
∴△OCF≌△OCD（ASA）．
∴FC＝DC．
又BE＝BF，
∴BC＝BF+CF＝BE+CD．
∴③正确．
如图2，过点B作BG⊥CE垂足为G，BG交CE的延长线于点G，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠G＝∠CHA＝90°，
∵∴∠EOB＝60°（已证），
∴∠CAH＝∠BOG＝60°，
∴∠ACH＝30°，
在△ACH和△OBG中，
，
∴△ACH≌△OBG（AAS），
∴BG＝CH，∠OBG＝∠ACH＝30°，
在△BEG和△CEH中，
，
∴△BEG≌△CEH（AAS），
∴EB＝EC，∠EBG＝∠ECH，即∠EBG+∠EBO＝30°
∴∠EBC＝∠ECB＝∠ACB，
设∠EBG＝∠ECH＝x，则有x+∠EBO＝30°，
∵∠EBO＝∠EBC，
∴x+∠EBC＝30°，即∠EBC＝60°﹣2x，
∵∠ECB＝∠ACE＝∠ECH+∠ACH＝x+30°，
∴60°﹣2x＝x+30°，
∴x＝10°，
∴∠EBC＝60°﹣2x＝40°，即∠ABC＝40°．
∴④正确．
∴正确的结论是①③④．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，解题的关键是作辅助线构建全等三角形，属于中考常考题型．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）若（x﹣2）0＝1，则x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据零指数幂的意义直接解答即可．
【解答】解：∵（x﹣2）0＝1，
∴x﹣2≠0，
∴x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查零指数幂的意义，零指数幂：a0＝1（a≠0）．
12．（3分）若点A（m，n）与点B（3，2）关于x轴对称，则m+n的值为 1 ．
【分析】根据点A（m，n）与点B（3，2）关于x轴对称，可知m＝3，n＝﹣2，代入m+n直接求值即可得到答案．
【解答】解：∵点A（m，n）与点B（3，2）关于x轴对称，
∴A（3，﹣2），
∴m+n＝3﹣2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中点关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变、纵坐标互为相反数，掌握点关于坐标轴对称点的坐标特征是解决问题的关键．
13．（3分）等腰三角形的一个内角50°，则这个三角形的底角是 50°或65° ．
【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是50°，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．
【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．
故答案为：50°或65°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．
14．（3分）若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为 ﹣2 ．
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可．
【解答】解：（x2+2x+4）（x+k）
＝x3+2x2+4x+kx2+2kx+4k
＝x3+（2+k）x2+（4+2k）x+4k，
∵展开后不含有一次项，
∴4+2k＝0，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝8，则BE的长为 4 ．
【分析】根据等边对等角可得∠DAC＝40°，根据角的差可得∠BAE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE的长．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAE＝70°﹣40°＝30°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴BE＝AB＝×8＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，解本题的关键是根据等腰三角形的性质得出∠DAC＝40°．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝6，则△ABC的周长是 12 ．
【分析】由AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，根据三线合一的性质，可得BD＝CD，又由点C在AE的垂直平分线上，可得AC＝CE，继而可得AB＝CE，则可得△ABC的周长为2DE．
【解答】解：∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝CE，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，
∴AB+BD＝AC+CD＝CE+CD＝DE，
∵DE＝6，
∴AB+BC+AC＝AB+BD+AC+CD＝2×6＝12，
即△ABC的周长等于12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
17．（3分）如图，B、C、D在一直线上，△ABC和△ADE是等边三角形，若CE＝15，CD＝6，则AC＝ 9 ．
【分析】根据等边三角形性质得出AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝∠B＝60°，求出∠BAD＝∠CAE，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE＝15cm，求出BC即可．
【解答】解：∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝∠B＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE＝15，
∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形性质和全等三角形的性质和判定，关键是推出△BAD≌△CAE．
18．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分别为射线BE、BC上的动点，若BD＝10，则CM+MN的最小值为 5 ．
【分析】过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，可得CM+MN的最小值为CF．延长BA，CF两线交于点G，证明△ABD≌△ACG，△GBF≌△CBF，根据全等三角形的性质，得到GF＝CF＝CG＝BD，进而可求出CM+MN的最小值．
【解答】解：过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，可得CM+MN的最小值为CF，
延长BA，CF两线交于点G，
∵∠A＝∠DFC＝90°，∠ADB＝∠FDC
∴∠ABD＝∠FCD，
在△ABD和△ACG中，
，
∴△ABD≌△ACG（ASA），
∴BD＝CG；
在△GBF和△CBF中，
，
∴△GBF≌△CBF（ASA），
∴GF＝CF＝CG＝BD；
∵BD＝10，
∴CF＝5，
∴CM+MN的最小值为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定性质，垂线段最短，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键．
三、解答题（共46分，第19、25-26题各7分，第20、22-23题各5分，第21题4分，第24题6分）
19．（7分）（1）计算：（﹣x2y）3•（﹣2xy3）2；
（2）先化简，再求值：3a（a2﹣2a+1）﹣2a2（a﹣3），其中a＝2．
【分析】（1）根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算；
（2）根据单项式乘多项式的运算法则、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣x6y3•4x2y6＝﹣4x8y9；
（2）原式＝3a3﹣6a2+3a﹣（2a3﹣6a2）
＝3a3﹣6a2+3a﹣2a3+6a2
＝a3+3a，
当a＝2时，原式＝23+3×2＝8+6＝14．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20．（5分）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC．
作法：
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F；
③作射线BF交AC于点P．
则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明
证明：连接DF，FE
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF．
∴∠ABF＝∠CBF（ 全等三角形的对应角相等 ）（填推理的依据）．
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝ PQ （ 角平分线上的点到角的两边的距离相等 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先证明△BDF≌△BEF得到∠ABF＝∠CBF，根据角平分线的性质得到点P到AB的距离等于PC．
【解答】解：（1）如图，点P为所作；
（2）完成下面证明
证明：连接DF，FE
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF．
∴∠ABF＝∠CBF（全等三角形的对应角相等），
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝PQ（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为全等三角形的对应角相等；角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
21．（4分）如图，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置，BE交AD于点F．求证：重叠部分（即△BDF）是等腰三角形．
【分析】由矩形的性质和折叠的性质证出∠ADB＝∠EBD，得出BF＝DF即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠CBD，
由折叠的性质得：∠EBD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠EBD，
∴BF＝DF，
∴△BDF是等腰三角形．
【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证出∠ADB＝∠EBD是解决问题的关键．
22．（5分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
【分析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．
【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键．
23．（5分）如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AC＝BF．
求证：AE＝EF．
【分析】延长AD到点G，使GD＝AD，连接GB，可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△GBD≌△ACD，得GB＝AC，∠G＝∠CAF，由AC＝BF，得GB＝BF，进而可得AE＝EF．
【解答】证明：延长AD到点G，使GD＝AD，连接GB，
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△GBD和△ACD中，
，
∴△GBD≌△ACD（SAS），
∴GB＝AC，∠G＝∠CAF，
∵AC＝BF．
∴GB＝BF，
∴∠G＝∠BFG，
∵∠EFA＝∠BFG，
∴∠G＝∠EFA，
∴∠CAF＝∠EFA，
∴AE＝EF．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．（6分）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式；
（2）解决问题：如果a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．
【分析】（1）由图形可知应该是完全平方公式；
（2）由完全平方公式即可求解；
（3）由完全平方公式求出（8﹣x）和（x﹣2）的乘积即可．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
∵ab＝3，
∴a2+b2＝19；
（3）∵（8﹣x）+（x﹣2）＝6，
∴[（8﹣x）+（x﹣2）]2＝36，
∴（8﹣x）2+（x﹣2）2+2（8﹣x）（x﹣2）＝36，
∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，
∴（8﹣x）（x﹣2）＝8，
∴长方形的面积是8．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，关键是掌握并熟练应用此公式．
25．（7分）已知：△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连接AD，在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP＝30°，作点A关于射线DP的对称点E，连接DE、CE．
（1）当点D在线段BC上运动时，
①依题意将图1补全；
②请用等式表示线段AB、CE、CD之间的数量关系，并证明；
（2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB、CE、CD之间的数量关系，不需证明．
【分析】（1）①根据题意补全图形；
②先判断出△ADE为等边三角形，进而判断出△ABD≌△ACE，即可得出结论；
（2）分点D在线段BC上，在CB的延长线上，在BC的延长线上，同（1）①的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）①补全图形如图1所示：
②AB＝CE+CD，
理由：∵点A关于射线DP的对称点为E，
∴DP垂直平分AE，
∴AD＝DE．
又∵∠ADP＝30°，
∴∠ADE＝2∠ADP＝60°；
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即：∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE （SAS）
∴BD＝CE
∴AB＝BC＝BD+CD＝CE+CD．
（2）①当点D在线段BC上时，AB＝CE+CD，
理由：如图1，在（1）②的过程；
②当点D在CB的延长线上时，AB＝CD﹣CE，
如图2，
理由：由（1）①得，△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°．
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即：∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE （SAS）
∴BD＝CE
∴AB＝BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE；
③当点D在BC的延长线上时，AB＝CE﹣CD，
理由：如图3，由（1）①得，△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°．
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即：∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE （SAS）
∴BD＝CE
∴AB＝BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD；
即：AB＝CE+CD，AB＝CD﹣CE，AB＝CE﹣CD．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，分三种情况画图图形是解本题的关键．
26．（7分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（4，0），C（0，4），给出如下定义：若P为△ABC内（不含边界）一点，且AP与△BCP的一条边相等，则称P为△ABC的友爱点．
（1）在P1（0，3），P2（﹣1，1），P3（﹣2，1）中，△ABC的友爱点是 P1，P2 ．
（2）如图2，若P为△ABC内一点，且∠PAB＝∠PCB＝15°，求证：P为△ABC的友爱点；
（3）直线l为过点M（0，m）且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的三个友爱点，直接写出m的取值范围是 0＜m＜2 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质和坐标得出OA，OB，OC，进而利用勾股定理解答即可；
（2）根据三角形的内角和定理得出∠APC，进而利用等腰三角形的判定解答即可；
（3）根据友爱点的概念分三种情况①AP＝BP②AP＝CP③AP＝BC＝AC解答即可．
【解答】（1）解：∵A（﹣4，0），B（4，0），C（0，4），
∴OA＝OB＝OC＝4，AC＝BC＝，
连接P1A，P1B，如图，
∵A点与B点关于y轴对称，点P1在y轴上，
∴P1A＝P1B，
∴P1点是△ABC的友爱点；
连接P2A，P2B，P2C，过点P2分别作x轴，y轴的垂线段P2M，P2N，如图，
则OM＝P2M＝ON＝P2N＝1，∠AMP2＝∠CNP2＝90°，
∴AM＝CN＝3，
在Rt△AP2M与Rt△CP2N中，
，
∴Rt△AP2M≌Rt△CP2N（SAS），
∴AP2＝CP2，
∴P2点是△ABC的友爱点；
连接P3A，P3B，P3C，过点P3分别作x轴，y轴的垂线段P3D，P3E，如图，
则OD＝P3E＝2，OE＝P3D＝1，∠ADP3＝∠BDP3＝∠CEP3＝90°，
∴AD＝2，BD＝6，CE＝3，
在Rt△AP3D中，由勾股定理得，AP3＝，
在Rt△BP3D中，由勾股定理得，BP3＝，
在Rt△CP3E中，由勾股定理得，CP3＝，
∴P3点不是△ABC的友爱点；
综上所述，△ABC的友爱点是P1，P2，
故答案为：P1，P2；
（2）证明：在Rt△AOC和Rt△BOC中，OA＝OB＝OC＝4，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∵∠PAB＝∠PCB＝15°，
∴∠PAC＝∠OAC﹣∠PAB＝30°，∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝75°，
∴∠APC＝180°﹣∠PAC﹣∠ACP＝75°＝∠ACP，
∴AP＝AC，
∴AP＝BC，
∴P点是△ABC的友爱点；
（3）解：由题意知，△ABC的友爱点P，满足AP＝BP或AP＝CP或AP＝BC＝AC，
若AP＝BP，则点P在线段AB的垂直平分线上，
即y轴上；
若AP＝CP，则点P在线段AC的垂直平分线上；
若AP＝BC＝AC，则点P在以点A为圆心，AC长为半径的圆弧上，
设AC的中点为G，则点G的纵坐标为2，如图，
由图可知，当直线l在过点G且平行于x轴的直线与x轴之间时，直线l存在△ABC的友爱点，
∴直线l为过点M（0，m）且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的三个友爱点，则m的取值范围是0＜m＜2；
故答案为：0＜m＜2．
【点评】此题考查一次函数的综合题，关键是根据轴对称的性质和坐标以及勾股定理解答．
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