2023-2024学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共28页。

A．B．
C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3＝a3B．（ab）3＝a3b3
C．（a3）2＝a5D．﹣3a﹣a＝﹣2a
3．（3分）已知m﹣n＝3，则2m÷2n的值为（ ）
A．8B．﹣8C．D．1
4．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x
D．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．±2B．﹣2C．0D．2
6．（3分）如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于（ ）
A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cm
7．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（ ）
A．5B．10C．12D．13
8．（3分）已知a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值是（ ）
A．2B．3C．9D．6
9．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝75°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．40°
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝4，则当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．15°
二.填空题（本题共18分，每题3分）
11．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）已知x2y+xy2＝48，xy＝6，则x+y＝ ．
13．（3分）化简＝ ．
14．（3分）如图，在四边形ABDC中，∠ABD＝60°，∠D＝90°，BC平分∠ABD，AB＝3，BC＝4，△ABC的面积等于 ．
15．（3分）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．
已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；
具体数据如图所示，则S1 S2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
16．（3分）操作任务：将初始图九宫格中剪开的9格图片进行平移，拼出目标图《九九消寒图》．
操作规则：为了有效地记录、检验和交流平移过程，小明和同伴约定用“有序数对”描述平移方式并填写操作记录图，约定如下：将初始图中的初始位置图片进行平移，横向移动标记在前，纵向移动标记在后，将向右（或向上）平移1格记为+1（正号可省略），反之记为以此类推，不移动记为0．如“前”字在对应位置标记为（2，﹣1）．
操作过程：
（1）操作记录图中“*”位置应填 ；
（2）判断：操作记录图中，是否有应标记（0，0）的位置，请在答题卡上选择“有”或“无”，如果选择“有”，请同时将相应网格涂黑．
三.解答题（本题共52分，第17题6分；第18题12分；第19-21题，每题5分；第22-23题，每题6分；第24题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（6分）分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．
18．（12分）计算：
（1）98×102；
（2）2m3•3m﹣（2m2）2+m6÷m2；
（3）﹣a2（﹣2ab）+3a（a2b﹣1）；
（4）（x﹣1）2+（x+2）（x﹣3）．
19．（5分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：BF＝CE．
20．（5分）已知2x2+x﹣1＝0，求代数式（2x+1）2﹣2（x﹣3）的值．
21．（5分）已知（a+b）2＝10，（a﹣b）2＝2，求a2+b2，ab的值．
22．（6分）如图，8×12的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：
平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（﹣3，1），（﹣1，4），
（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是 ，点C关于x轴的对称点C1的坐标是 ．
（2）设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点A1的坐标是 ；
②在直线l上找一点P，使PA+PB最小，在图中标出此时点P的位置；
③若Q（m，n）为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点Q1的坐标（用含m，n的式子表示）．
23．（6分）阅读下面的材料：
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+4a﹣4b；
（2）已知等腰三角形的三边a、b、c均为整数，且a+bc+b+ca＝12，则满足该条件的等腰三角形共有 个，请说明理由．
24．（7分）已知等边三角形ABC，D为线段BC上一点，P为B关于直线AD的对称点．过A作AM平行于PC且交∠ABC的外角平分线于M．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠BAD＝α，求∠BAM（用含α的式子表示）；
（3）过D作DQ∥AB且交CP延长线于Q．请用等式表示QD，BM和BA之间的数量关系，并证明．
附加题；（本题共20分，第25-26题，每题3分；第28-29题，每题4分；第30题6分）
25．（3分）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+2ab+b2＝（a+b）2
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
26．（3分）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x＝ ．
27．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为 （用含α的代数式表示）．
28．（4分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且a、b、c满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，请判断△ABC的形状．
29．（6分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b）与图形H，我们给出如下定义：若|a|≥|b|．将图形H关于直线x＝a对称，得到图形H′；若|a|＜|b|，将图形H′向上平移|b|个单位长度，得到图形H”．并称H′为图形H的“斗转星移图”．
（1）点A（3，3）关于点（1，﹣2）的“斗转星移图”为 ；
（2）若点B（5，﹣2）关于点（m+2，m）的“斗转星移图”坐标为（5，6），求m的值；
（3）已知点C（2n2，1），点D（2n2+3，1），点，点E（n+1，3n），点F（n+1，3n+3），P2，若线段CD关于点P1的“斗转星移图”与线段EF关于点P1的“斗转星移图”无公共交点，则n的取值范围是 ．
2023-2024学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共30分，每题3分）
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3＝a3B．（ab）3＝a3b3
C．（a3）2＝a5D．﹣3a﹣a＝﹣2a
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、a•a3＝a4≠a3，故本选项错误；
B、（ab）3＝a3b3，故本选项正确；
C、（a3）2＝a6≠a5，故本选项错误；
D、﹣3a﹣a＝﹣4a≠﹣2a，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的法则是解答此题的关键．
3．（3分）已知m﹣n＝3，则2m÷2n的值为（ ）
A．8B．﹣8C．D．1
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则将原式变形，进而将已知代入得出答案．
【解答】解：∵m﹣n＝3，
∴2m÷2n＝2m﹣n
＝23
＝8．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确将原式变形是解题关键．
4．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x
D．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【解答】解：A、是多项式乘法，不是分解因式，故本选项错误；
B、右边不是积的形式，不是分解因式，故本选项错误；
C、右边不是积的形式，故本选项错误；
D、右边是积的形式，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解的意义；这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．±2B．﹣2C．0D．2
【分析】根据分式值为零条件可得x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：根据分式值为零条件：x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，
解得：x＝﹣2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6．（3分）如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于（ ）
A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cm
【分析】根据题意，可得∠AOC＝∠BOC，又因为CD∥OB，求得∠C＝∠AOC，则CD＝OD可求．
【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C＝BOC，
∴∠C＝∠AOC；
∴CD＝OD＝3cm．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理和性质定理以及平行线的性质，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边．
7．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（ ）
A．5B．10C．12D．13
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，求出BE长即可．
【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线的性质的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
8．（3分）已知a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值是（ ）
A．2B．3C．9D．6
【分析】利用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，进行变形，再将数值代入求解．
【解答】解：a2﹣b2+6b，
＝（a+b）（a﹣b）+6b，
＝3（a﹣b）+6b，
＝3a+3b，
＝3（a+b），
＝9．
故选：C．
【点评】本题主要考查平方差公式，利用整体代入求解是求解的关键，也是解此题的难点．
9．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝75°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．40°
【分析】由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，可求得∠BCE＝∠ACD，∠BEC＝∠B＝75°，由三角形的内角和可求得∠BCE＝30°，从而得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
∠BEC＝∠B＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠BEC＝30°，
∴∠ACD＝30°．
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝4，则当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．15°
【分析】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
【解答】解：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝8，AE＝4，
∴EC＝4＝AE，
∴AM＝BM＝4，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠ECF＝∠ACB＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．
二.填空题（本题共18分，每题3分）
11．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】直接利用分式的有意义的条件分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】此题主要考查了分式的有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
12．（3分）已知x2y+xy2＝48，xy＝6，则x+y＝ 8 ．
【分析】已知第一个等式左边提取公因式，把第二个等式代入计算即可求出所求．
【解答】解：∵x2y+xy2＝xy（x+y）＝48，xy＝6，
∴6（x+y）＝48，
则x+y＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
13．（3分）化简＝ ．
【分析】把分子、分母分解因式，再根据分式的基本性质约分．
【解答】解：，
故答案为：
【点评】此题考查约分问题，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质和因式分解．
14．（3分）如图，在四边形ABDC中，∠ABD＝60°，∠D＝90°，BC平分∠ABD，AB＝3，BC＝4，△ABC的面积等于 3 ．
【分析】根据含30度角的直角三角形可得CD＝BC＝2，利用角平分线的性质即可求出△ABC的面积．
【解答】解：点C作BA延长线的垂线CE，
∵∠ABD＝60°，BC平分∠ABD，
∴∠EBC＝∠DBC＝30°，
∵∠D＝90°，BC＝4．
∴CD＝BC＝2，
∵BC平分∠ABD，CE⊥AB，CD⊥BD，
∴CE＝CD＝2，
∵AB＝3，
∴△ABC的面积＝×AB•CE＝×3×2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质和直角三角形的性质．求出CE＝CD＝2是解题的关键．
15．（3分）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．
已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；
具体数据如图所示，则S1 ＞ S2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：方案一：如图1，S1＝a2﹣b2，
方案二：如图2，S2＝（a﹣b）（+b+）﹣b2＝（a﹣b）（a﹣b）﹣b2＝a2﹣b2﹣b2＝a2﹣2b2，
∵S1﹣S2＝a2﹣b2﹣（a2﹣2b2）＝a2﹣b2﹣a2+2b2＝b2＞0，
∴S1＞S2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了正方形的性质，正方形和矩形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键．
16．（3分）操作任务：将初始图九宫格中剪开的9格图片进行平移，拼出目标图《九九消寒图》．
操作规则：为了有效地记录、检验和交流平移过程，小明和同伴约定用“有序数对”描述平移方式并填写操作记录图，约定如下：将初始图中的初始位置图片进行平移，横向移动标记在前，纵向移动标记在后，将向右（或向上）平移1格记为+1（正号可省略），反之记为以此类推，不移动记为0．如“前”字在对应位置标记为（2，﹣1）．
操作过程：
（1）操作记录图中“*”位置应填 （0，﹣2） ；
（2）判断：操作记录图中，是否有应标记（0，0）的位置，请在答题卡上选择“有”或“无”，如果选择“有”，请同时将相应网格涂黑．
【分析】（1）根据有序数对的定义判断即可；
（2）寻找没有移动的文字即可．
【解答】解：（1）“*”是初始图中的重，重向下平移2个，
∴“*”位置应填（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2）；
（2）有，如图所示．垂的位置表示（0，0）．
【点评】本题考查作图﹣利用平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三.解答题（本题共52分，第17题6分；第18题12分；第19-21题，每题5分；第22-23题，每题6分；第24题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（6分）分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．
【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2
＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）
＝（m﹣2）（x2﹣y2）
＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18．（12分）计算：
（1）98×102；
（2）2m3•3m﹣（2m2）2+m6÷m2；
（3）﹣a2（﹣2ab）+3a（a2b﹣1）；
（4）（x﹣1）2+（x+2）（x﹣3）．
【分析】（1）利用平方差公式解答即可；
（2）利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则化简后合并同类项即可；
（3）利用单项式乘单项式，单项式乘多项式的法则化简后，再合并同类项即可；
（4）利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则运算后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝（100﹣2）（100+2）
＝1002﹣22
＝10000﹣4
＝9996；
（2）原式＝6m4﹣4m4+m4
＝（6﹣4+1）m4
＝3m4；
（3）原式＝2a3b+3a3b﹣3a
＝5a3b﹣3a；
（4）原式＝x2﹣2x+1+x2﹣3x+2x﹣6
＝2x2﹣3x﹣5．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，幂的运算性质，单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，熟练掌握上述法则与公式是解题的关键．
19．（5分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：BF＝CE．
【分析】先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴BC＝EF．
∴BC﹣CF＝EF﹣CF，即BF＝CE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理，正确寻找三角形全等所需的条件，属于基础题，中考常考题型．
20．（5分）已知2x2+x﹣1＝0，求代数式（2x+1）2﹣2（x﹣3）的值．
【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式，化简（2x+1）2﹣2（x﹣3）＝4x2+2x+7，再根据2x2+x﹣1＝0，可得2x2+x＝1，整体代入求值即可．
【解答】解：（2x+1）2﹣2（x﹣3）
＝4x2+4x+1﹣2x+6
＝4x2+2x+7，
∵2x2+x﹣1＝0，
∴2x2+x＝1，
∴4x2+2x＝2（2x2+x）＝2，
∴原式＝2+7＝9．
【点评】本题考查了完全平方公式，代数式求值，涉及单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握整体代入法是解题的关键．
21．（5分）已知（a+b）2＝10，（a﹣b）2＝2，求a2+b2，ab的值．
【分析】利用完全平方公式求解即可．
【解答】解：∵（a+b）2＝10，（a﹣b）2＝2，
∴a2+b2＝[（a+b）2+（a﹣b）2]＝×（10+2）＝6，
ab＝×[（a+b）2﹣（a﹣b）2]＝×（10﹣2）＝2．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
22．（6分）如图，8×12的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：
平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（﹣3，1），（﹣1，4），
（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是 （1，2） ，点C关于x轴的对称点C1的坐标是 （1，﹣2） ．
（2）设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点A1的坐标是 （5，1） ；
②在直线l上找一点P，使PA+PB最小，在图中标出此时点P的位置；
③若Q（m，n）为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点Q1的坐标（用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）①根据A，B两点坐标作出平面直角坐标系即可；
①根据轴对称的性质解决问题即可；
（2）①利用轴对称的性质解决问题；
②作点A关于直线l的对称点A1，连接BA1交直线l于点P，连接AP，点P即为所求；
③利用中点坐标公式解决问题即可．
【解答】解：（1）①建立的直角坐标系xOy如图所示；
②C（1，2），C1（1，﹣2）．
故答案为：（1，2），（1，﹣2）；
（2）①A1（5，1）；
故答案为：（5，1）；
②如图，点P即为所求；
③设Q（x，y），则有＝1，y+n，
∴x＝2﹣m，
∴Q1（2﹣m，n）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（6分）阅读下面的材料：
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+4a﹣4b；
（2）已知等腰三角形的三边a、b、c均为整数，且a+bc+b+ca＝12，则满足该条件的等腰三角形共有 2 个，请说明理由．
【分析】（1）可将原式分组为（a2﹣b2）+（4a﹣4b），再分别分解因式后提公因式分解因式即可求解；
（2）再将所给等式左边分解因式（a+b）（1+c）＝12，继而可求解a+b＝1，c＝11，或a+b＝12，c＝0，或a+b＝2，c＝5，或a+b＝6，c＝1，或a+b＝3，c＝3，或a+b＝4，c＝2，由三角形的三边关系及的等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）原式＝（a2﹣b2）+（4a﹣4b）
＝（a+b）（a﹣b）+4（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b+4）；
（2）∵a+bc+b+ca＝12，
∴（a+b）+（ac+bc）＝12，
∴（a+b）+c（a+b）＝12，
∴（a+b）（1+c）＝12，
∵12＝1×12＝2×6＝3×4，
∴a+b＝1，1+c＝12，或a+b＝12，1+c＝1，或a+b＝2，1+c＝6，或a+b＝6，1+c＝2，或a+b＝3，1+c＝4，或a+b＝4，1+c＝3，
即a+b＝1，c＝11，或a+b＝12，c＝0，或a+b＝2，c＝5，或a+b＝6，c＝1，或a+b＝3，c＝3，或a+b＝4，c＝2，
∵等腰三角形的三边a、b、c均为正整数，
∴a+b＞c，
∴a+b＝6，c＝1或a+b＝4，c＝2，
∴等腰三角形的三边长分别为3，3，1或2，2，2，共2个，
故答案为2．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，因式分解的应用，利用分组分解将式子变形是解题的关键．
24．（7分）已知等边三角形ABC，D为线段BC上一点，P为B关于直线AD的对称点．过A作AM平行于PC且交∠ABC的外角平分线于M．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠BAD＝α，求∠BAM（用含α的式子表示）；
（3）过D作DQ∥AB且交CP延长线于Q．请用等式表示QD，BM和BA之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）连接AP，由B，P关于AD对称，得∠PAD＝∠BAD＝α，AB＝AP，∠BAP＝2α，又△ABC是等边三角形，有AB＝AC，∠BAC＝60°，故AP＝AC，∠CAP＝∠BAC﹣∠BAP＝60°﹣2α，知∠APC＝∠ACP＝（180°﹣∠CAP）÷2＝60°+α＝∠MAP，即得∠BAM＝∠MAP﹣∠BAP＝（60+α）﹣2α＝60°﹣α；
（3）延长QD交AC于K，由BM是等边三角形ABC外角平分线，得∠ABM＝60°＝∠ACD，由（2）知∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣α＝∠BAM，可证△ABM≌△ACD（ASA），得BM＝CD，根据QD∥AB，可得△DKC是等边三角形，CD＝DK，∠AKD＝∠CDQ＝120°，又∠DCQ＝α＝∠BAD＝∠ADK，故△ADK≌△QCD（ASA），有AK＝DQ，即可证QD＝BD，从而BA＝BM+QD．
【解答】解：（1）补全图形如下：
（2）连接AP，如图：
∵B，P关于AD对称，
∴∠PAD＝∠BAD＝α，AB＝AP，
∴∠BAP＝2α，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴AP＝AC，∠CAP＝∠BAC﹣∠BAP＝60°﹣2α，
∴∠APC＝∠ACP＝（180°﹣∠CAP）÷2＝60°+α，
∵AM∥CP，
∴∠MAP＝∠APC＝60°+α，
∴∠BAM＝∠MAP﹣∠BAP＝（60+α）﹣2α＝60°﹣α；
（3）BA＝BM+QD，证明如下：
延长QD交AC于K，如图：
∵BM是等边三角形ABC外角平分线，
∴∠ABM＝60°＝∠ACD，
由（2）知∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣α＝∠BAM，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌△ACD（ASA），
∴BM＝CD，
∵QD∥AB，
∴∠KDC＝∠ABC＝60°，∠DKC＝∠BAC＝60°，
∴△DKC是等边三角形，
∴CD＝DK，∠AKD＝∠CDQ＝120°，
∵∠PAC＝60﹣2α，AP＝AB＝AC，
∴∠ACP＝（180°﹣∠CAP）÷2＝60°+α，
∵∠ACB＝60°，
∴∠DCQ＝α＝∠BAD＝∠ADK，
∴△ADK≌△QCD（ASA），
∴AK＝DQ，
∵AK＝AC﹣CK＝BC﹣CD＝BD，
∴QD＝BD，
∵BA＝BC＝CD+BD，
∴BA＝BM+QD．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等求解．
附加题；（本题共20分，第25-26题，每题3分；第28-29题，每题4分；第30题6分）
25．（3分）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+2ab+b2＝（a+b）2
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【分析】分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答．
【解答】解：甲图中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2，图乙中阴影部分的面积为：（a﹣b）2，
所以a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积．
26．（3分）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x＝ 2 ．
【分析】根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．
【解答】解：根据题意化简＝8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8，
整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8＝0，即4x＝8，
解得：x＝2．
故答案为：2
【点评】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．
27．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为 90°﹣α （用含α的代数式表示）．
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣∠BAD．
【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣α，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣α，
故答案为90°﹣α．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
28．（4分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且a、b、c满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，请判断△ABC的形状．
【分析】由a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0整理可得，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，由非负数的性质可求得a、b、c的关系，即可判断出三角形的形状．
【解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴，
解得a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】此题主要考查了非负性，等边三角形的判定，配方法，解本题的根据是求出a，b，c的关系．
29．（6分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b）与图形H，我们给出如下定义：若|a|≥|b|．将图形H关于直线x＝a对称，得到图形H′；若|a|＜|b|，将图形H′向上平移|b|个单位长度，得到图形H”．并称H′为图形H的“斗转星移图”．
（1）点A（3，3）关于点（1，﹣2）的“斗转星移图”为 （3，5） ；
（2）若点B（5，﹣2）关于点（m+2，m）的“斗转星移图”坐标为（5，6），求m的值；
（3）已知点C（2n2，1），点D（2n2+3，1），点，点E（n+1，3n），点F（n+1，3n+3），P2，若线段CD关于点P1的“斗转星移图”与线段EF关于点P1的“斗转星移图”无公共交点，则n的取值范围是 n＜﹣或n＞0 ．
【分析】（1）将A（3，3）向上平移|﹣2|个单位长度，得到点A（3，3）关于点（1，﹣2）的“斗转星移图”为（3，5）；
（2）根据点B（5，﹣2）与它关于点（m+2，m）的“斗转星移图”（5，6）的横坐标相等，可得|m+2|＜|m|，且B（5，﹣2）向上平移|m|个单位长度得到（5，6），故﹣2+|m|＝6，即可得m的值为﹣8；
（3）求出线段CD为y＝1（2n2≤x≤2n2+3），而n2﹣n+1＝（n﹣）2+≥，故线段CD关于P1（n2﹣n+1，）的“斗转星移图”为y＝1（﹣2n﹣1≤x≤﹣2n+2）；同理求出线段EF关于P2（，﹣1）的“斗转星移图”为x＝n+1（3n+1≤y≤3n+4）；当线段y＝1（﹣2n﹣1≤x≤﹣2n+2）与线段x＝n+1（3n+1≤y≤3n+4）有交点时，，可得﹣≤n≤0，即可得n＜﹣或n＞0时，线段CD关于点P1的“斗转星移图”与线段EF关于点P2的“斗转星移图”无公共交点．
【解答】解：（1）∵|1|＜|﹣2|，
∴将A（3，3）向上平移|﹣2|个单位长度，得到点A（3，3）关于点（1，﹣2）的“斗转星移图”为（3，5）；
故答案为：（3，5）；
（2）∵点B（5，﹣2）与它关于点（m+2，m）的“斗转星移图”（5，6）的横坐标相等，
∴|m+2|＜|m|，且B（5，﹣2）向上平移|m|个单位长度得到（5，6），
∴﹣2+|m|＝6，
解得m＝8（不满足|m+2|＜|m|，舍去）或m＝﹣8，
∴m的值为﹣8；
（3）由点C（2n2，1），点D（2n2+3，1）知线段CD为y＝1（2n2≤x≤2n2+3），
∵n2﹣n+1＝（n﹣）2+≥，
∴线段CD关于P1（n2﹣n+1，）的“斗转星移图”是线段CD关于直线x＝n2﹣n+1的对称图形，
∵2（n2﹣n+1）﹣2n2＝﹣2n+2，2（n2﹣n+1）﹣（2n2+3）＝﹣2n﹣1，
∴线段CD关于点P1（n2﹣n+1，）的“斗转星移图”为y＝1（﹣2n﹣1≤x≤﹣2n+2）；
由点E（n+1，3n），点F（n+1，3n+3）可得线段EF为x＝n+1（3n≤y≤3n+3），
∵||＜|﹣1|，
∴线段EF关于P2（，﹣1）的“斗转星移图”是线段EF向上平移|﹣1|个单位得到的图形，
∴线段EF关于P2（，﹣1）的“斗转星移图”为x＝n+1（3n+1≤y≤3n+4）；
当线段y＝1（﹣2n﹣1≤x≤﹣2n+2）与线段x＝n+1（3n+1≤y≤3n+4）有交点时，
，
解得﹣≤n≤0，
即﹣≤n≤0时，线段y＝1（﹣2n﹣1≤x≤﹣2n+2）与线段x＝n+1（3n+1≤y≤3n+4）有交点，
∴n＜﹣或n＞0时，线段CD关于点P1的“斗转星移图”与线段EF关于点P2的“斗转星移图”无公共交点，
故答案为：n＜﹣或n＞0．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及新定义“斗转星移图”，解题的关键是读懂题意，求出相关图形的“斗转星移图”．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/11 13:43:39；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，具体过程如下：
x2﹣4y2﹣2x+4y
＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，具体过程如下：
x2﹣4y2﹣2x+4y
＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．