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专题02 旋转与中心对称(分层训练)-2024年中考数学总复习重难考点强化训练(全国通用)
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【基础训练】
一、单选题
1.(2023·浙江丽水·三模)如图,点P(1,4)绕着原点顺时针方向旋转90度后得到像点Q,则点Q的坐标是( )
A.(1,-4)B.(-1,4)C.(4,-1)D.(-4,1)
【答案】C
【分析】根据旋转的方法,作图即可确定旋转以后点的坐标.
【详解】解:P点的坐标为(1,4),根据旋转中心O,旋转方向顺时针,旋转角度90°,画图,
从而得Q点坐标为(4,-1).
故选:C.
【点睛】本题涉及图形变换,旋转,应抓住旋转的三要素:旋转中心,旋转方向,旋转角度,通过画图求解.
2.(2023·广西柳州·统考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,点A2,−3绕着点O旋转180°后得到点B−2,n则n的值为( )
A.3B.−3C.2D.−2
【答案】A
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点“横坐标和纵坐标均互为相反数”解答即可.
【详解】解:点A2,−3绕原点O旋转180°,所得到的对应点的坐标为B−2,3.
∴n=3,
故选:A.
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特点.掌握关于原点对称的点的坐标特点:横坐标和纵坐标均互为相反数是解题关键.
3.(2023上·广西玉林·九年级统考期中)将直角边长为3cm的等腰直角ΔABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′,则图中阴影部分的面积( )
A.332cm2B.33cm2C.23cm2D.6cm2
【答案】A
【分析】根据旋转的性质,旋转角∠CAC′=15∘,则∠BAC′=45∘−15∘=30°,可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形,且已知直角边AC′=3厘米,根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答.
【详解】解:设AB与B′C′交于D点,
根据旋转性质得∠CAC′=15°,而∠CAB=45°,
∴∠C′AD=∠CAB−∠CAC′=30°,
又∵AC′=AC=3cm,∠C′=∠C=90°,
∴C′D=AC′·tan30°=3,
∴阴影部分的面积=12×3×3=332cm2.
故选:A.
【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形.旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素:①定点·旋转中心;②旋转方向;③旋转角度
4.(2023下·贵州铜仁·七年级统考期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置,使得点C、A、B1在一条直线上,那么旋转角等于( )
A.145°B.130°C.135°D.125°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数,根据旋转变换的性质求出∠BAC1=80°,得到∠CAC的度数即可.
【详解】解:∵∠C=90°,∠B=40°,
∴∠BAC=50°,
由旋转的性质可知,∠B1AC1=∠BAC=50°,
∴∠BAC1=80°,
∴∠CAC1=130°,
故选:B.
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、三角形内角和定理的应用,旋转变换的性质:对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,旋转前、后的图形全等.
5.(2023·江苏泰州·统考一模)一个适当大的正六边形,它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合,且与边AB、CD相交于G、H(如图).图中阴影部分的面积记为S,三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l,大正六边形在绕点O旋转过程中,下列说法正确的是( )
A.S变化,l不变B.S不变,l变化
C.S变化,l变化D.S与l均不变
【答案】D
【分析】如图,连接OA,OC.证明△HOC≌△GOA(ASA),可得结论.
【详解】解:如图,连接OA,OC.
∵∠HOG=∠AOC=120°,∠OCH=∠OAG=60°,
∴∠HOC=∠GOA,
在△OHC和△OGA中,
∠HOC=∠GOAOC=OA∠OCH=∠OAG,
∴△HOC≌△GOA(ASA),
∴AG=CH,
∴S阴=S四边形OABC=定值,l=GB+BC+CH=AG+BG+BC=2BC=定值,
故选:D.
【点睛】本题考查正多边形与圆,旋转的性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
6.(2023·河北唐山·统考一模)如图,正五边形ABCDE绕点A旋转了α°,当α=36°时,则∠1=( )
A.72°B.108°C.144°D.120°
【答案】C
【分析】由正五边形得到一个内角的度数,求解∠2,利用旋转的性质与五边形的内角和公式得到答案
【详解】解:如图,因为正五边形的每一个内角为540°5=108°,
∴α=36°, .
∴∠2=108°−36°=72°,
由旋转的旋转得:对应角相等,
∴∠1=540°−3×108°−72°=144°.
故选C.
【点睛】本题考查的是旋转的性质,正多边形的性质,多边形的内角和定理,掌握以上知识是解题的关键.
7.(2022·河北邯郸·校联考二模)如图,将线段AB绕一个点顺时针旋转90∘得到线段CD,则这个点是( )
A.M点B.Q点C.P点D.N点
【答案】A
【分析】根据旋转中心到对应点的距离相等作图可以得解.
【详解】如图,连接AC、BD,分别作AC、BD的垂直平分线,发现相交于M点,因此M点是旋转中心.
故选A.
【点睛】本题考查旋转的应用,熟练掌握旋转的性质、线段垂直平分线的性质及作法是解题关键.
8.(2022上·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习)如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合,若点A的对应点是点C,则这个旋转中心的坐标为( )
A.(5,2)B.(1,5)
C.(4,2)D.(1,5)或(4,2)
【答案】C
【分析】连接AC、BD,作线段AC和BD的垂直平分线,则其交点E即为旋转中心,再根据点E的位置即可得出其坐标.
【详解】如图,连接AC,BD,作线段AC和BD的垂直平分线,交于点E,则点E即为旋转中心.
由图可知旋转中心E的坐标为(4,2).
故选:C.
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转,线段垂直平分线的性质.理解对应点的连线的垂直平分线的交点为旋转中心是解题关键.
9.(2023·江西九江·统考三模)如图,已知在抛物线y=x2−2上有一点A3,1,AB⊥x轴于B点,连接OA,将△OBA绕O点顺时针方向旋转一定的角度后,该三角形的A.B两点中必有一个顶点落在抛物线上,这个角度是( )
A.90°B.120°C.150°D.180°
【答案】B
【分析】如图,设抛物线与y轴的交点为点C,则点C坐标为0,2,再根据OA=2可得当点A与抛物线顶点C重合时满足题意,再利用锐角三角函数求得∠AOB=30°,从而求得旋转角度.
【详解】解:如图,设抛物线与y轴的交点为点C,则点C坐标为0,2,
∵A3,1,AB⊥x轴于B点,
∴AB=1,OB=3,OA=32+12=2,
∵tan∠AOB=ABOB=33,
∴∠AOB=30°,
∴∠AOC=30°+90°=120°,
∴将△OBA绕O点顺时针方向旋转120°,该三角形的A与抛物线的顶点C重合,
故选:B.
【点睛】本题考查抛物线与y轴的交点,旋转的性质、勾股定理及锐角三角函数,根据抛物线求得顶点坐标,从而确定旋转角度是解题的关键.
10.(2023·山西·校联考三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△DEC,点D恰好落在边AB上.若∠B=20°,则∠BCE的度数为( )
A.20°B.40°C.60°D.80°
【答案】B
【分析】根据直角三角形性质先求出∠A=70°,再利用旋转及等腰三角形性质求得∠ACD=40°,即可得出结论.
【详解】解:∵∠ACB=90°,∠B=20°,
∴∠A=70°.
由旋转知,CA=CD,∠ACD=∠BCE.
∴∠ADC=∠A=70°.
∴∠ACD=40°.
∴∠BCE=40°.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了旋转性质,熟练掌握旋转及等腰三角形的性质是解答此题的关键.
11.(2022下·上海普陀·九年级校考期中)已知直线ykxb经过第一、三、四象限,那么直线ybxk一定不经过( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】C
【分析】根据直线y=kx+b经过第一,三,四象限,可以判断k、b的正负,根据一次函数图象的性质,从而可以判断直线y=bx+k经过哪几个象限,不经过哪个象限.
【详解】解:∵直线y=kx+b经过第一,三,四象限,
∴k>0,b
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