专题02 分式方程及其应用（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（22·23下·泰州·阶段练习）解分式方程xx−1=2+3x−1，去分母后得到（ ）
A．x=2+3B．x=2x−1+3
C．x=3x−1+2D．xx−1=2+3x−1
2．（22·23下·宝山·期末）上海市16个区共约1326条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程，如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是（ ）
A．9x−91.5x=15B．91.5x−9x=0.25C．91.5x−9x=15D．9x−91.5x=0.25
3．（22·23上·天津·期末）中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约700km，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，则下面所列方程中正确（ ）
A．700x−7002.8x=3.6B．7002.8x−700x=3.6
C．700×2.8x−700x=3.6D．7002.8x=3.6−700x
4．（22·23下·广州·一模）方程8x=2x−3的解为（ ）
A．x＝4B．x＝125C．x＝12D．x＝310
5．（22·23上·恩施·期末）分式方程mx−1x−1=0有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≠1C．m≠0或m≠1D．m≠0且m≠1
6．（22·23下·哈尔滨·一模）方程1x−1=2x+3的解为（ ）．
A．x=3B．x=2C．x=−5D．x=5
7．（22·23上·石家庄·期末）分式方程9x2−9−2x−3=1x+3的解为（ ）
A．2B．−3C．3或−3D．无解
8．（22·23下·广东·期末）如果关于x的分式方程mx−3−13−x=2有增根，则m的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．4
9．（22·23上·三门峡·期末）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米成饭食味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60hm2五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为xhm2，则下列方程正确的是（ ）
A．60(1+20%)x−x60=2B．60(1+20%)x−60x=2
C．60x−60(1+20%)x=2D．60x−60(1+20%)x=2
10．（22·23上·永州·期中）如果解关于x的分式方程mx−3−3x3−x=1时出现增根，那么m的值为（ ）
A．3B．−3C．9D．−9
11．（22·23上·沧州·阶段练习）定义一种新运算：a※b=aa−b(a>b)−bb−a(a2y+162y≥3y−a至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．−4B．−3C．0D．2
18．（22·23上·淄博·期中）若关于x的分式方程2x−3+x+m3−x=2无解，则m的值为（ ）
A．−1B．0C．3D．−2
19．（22·23下·舟山·期末）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x下，下列方程正确的是（ ）
A．100x=100−20x−30B．100x=100+20x+30C．100x=100+20x−30D．100x=100−20x+30
20．（22·23下·重庆·开学考试）若关于x的一元一次不等式组−5−x≤111x−a3x+12>2x+1的解集恰好有3个负整数解，且关于y的分式方程2y−ay−1−3y−21−y=1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．6B．9C．−1D．2
二、填空题
21．（22·23下·河源·期末）分式方程3x−2=1的解为 ．
22．（22·23上·本溪·期中）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资9000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了两间直播教室，总投资追加了3000元．若设原计划每间直播教室的建设费用是x元，根据题意，可列方程为 ．
23．（22·23下·达州·期末）解关于x的方程x−3x−1=m−1x−1时，若产生增根，则m的值等于 ．
24．（22·23下·连云港·期中）关于x的分式方程m−2x−1−2xx−1=1有增根，则m的值为 ．
25．（22·23下·镇江·期末）已知分式4x+mx+n（m，n为常数）满足表格中的信息，则k= ．
26．（22·23上·绍兴·阶段练习）在一个不透明的口袋中，装有若干个颜色不同其余都相同的球．如果口袋中装有2个红球且摸到红球的概率为15，那么口袋中球的总个数为 .
27．（22·23下·乌鲁木齐·二模）在一个不透明的口袋中有红、白两种小球，它们除颜色外均相同，其中红球2只，白球n只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为35，则n＝ ．
28．（22·23下·宁波·期末）关于x的分式方程kx−2+x−1x−2=2有增根，则k的值为 ．
29．（22·23下·九龙坡·三模）关于x的不等式组−x+aa有解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
33．（22·23下·赣州·阶段练习）有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程1−axx−2+2=12−x有正整数解的概率为 ．
34．（22·23上·邯郸·阶段练习）代数式2x−1与代数式3x−2的值相等，则列等式为 ，解得x＝ ．
35．（23·24上·重庆·阶段练习）从−4、−1、−12、0、12、2、3这七个数中，随机抽取一个数a，若数a使关于x的分式方程axx−2−3x−2=x2−x的解为整数，且使不等式组123x−1≤x+15x+3>a−2x有且仅有四个整数解，那么这七个数中满足所有条件的a的值之和为 ．
三、解答题
36．（22·23下·宝鸡·二模）解方程：2xx−1−x−1x2−1=2．
37．（22·23下·无锡·一模）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多2平方米．若用60平方米建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的35．求每个A，B类摊位的占地面积．
38．（22·23下·沙坪坝·阶段练习）解方程：
(1)4x−1=2x；
(2)1x+2+4xx2−4=2x−2．
39．（22·23上·昌平·期中）现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：
x+1x=2+12的解为x1=2,x2=12；
x+1x=3+13的解为x1=3,x2=13；
x+1x=4+14的解为x1=4,x2=14；
(1)猜想关于x的方程x+1x=5+15的解是 ；
(2)猜想关于x的方程x＋１x＝a＋１a的解是 ；
(3)用上述方法求关于x的方程x2+x+1x+1=a+1a+1的解．
40．（22·23下·松原·一模）2022年北京冬奥会期间吉祥物冰墩墩受到了很多人的喜欢，一墩难求．某生产厂接到了要求几天内生产出14400个冰墩墩外套的加工任务，为了让更多人尽快拿到冰墩墩，工人们愿意奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂生产线进行生产，实际每天加工的个数比原计划多13，结果提前4天完成任务．问实际每天加工多少个冰墩墩外套？
41．（22·23上·江苏·期末）解方程：x+2x−2−16x2−4=1．
42．（22·23上·渭南·期末）小明在解一道分式方程1−x2−x−1=2x−5x−2，过程如下：
第一步：方程整理x−1x−2−1=2x−5x−2
第二步：去分母x−1−(x−2)=2x−5
……
(1)请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是___________、___________；
(2)请把以上解分式方程过程补充完整．
43．（22·23上·忠县·期末）忠县某酒厂在去年双12节（12月12日）推出甲、乙两种罐装白酒，营业员在定期盘点时发现双12节后第一周甲、乙两种白酒共卖出100罐，甲种白酒总销售额为14000元，乙种白酒总销售额为27000元，其中每罐乙种白酒的价格是甲种白酒的97倍．
(1)求第一周甲种白酒每罐多少元？
(2)今年元旦节时，为提高营业员推销积极性，酒厂制定出如下奖励办法：每卖出1罐甲种白酒按售价的a%给予营业员奖励，每卖出1罐乙种白酒按售价的0.5％给予营业员奖励；在奖励办法的激励下，元旦节后的第一周甲种白酒的销量比去年双12节后第一周提高了50％，乙种白酒的销量比去年双12节后第一周提高了20a％，若想保证营业员获得的奖励不少于609元，求a的最小值．
44．（22·23下·南阳·阶段练习）为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某校开展了首届校园数学节活动，让学生体会“学数学其乐无穷，用数学无处不在，爱数学终身受益”．现年级决定购买A、B两种礼品奖励在此次数学活动中的优秀学生，已知A种礼品的单价比B种礼品的单价便宜3元，用3600元购买A种礼品的数量是用1350元购买B种礼品的数量的4倍．
(1)求A种礼品的单价；
(2)根据需要，年级组准备购买A、B两种礼品共150件，其中购买A种礼品的数量不超过B种礼品的3倍．设购买A种礼品m件，所需经费为w元，试写出w与m的函数关系式，并求所需的最少经费．
45．（22·23上·忠县·期末）为满足老百姓常态性防疫需求，我县某药店需储备定数量的医用酒精和医用口罩．已知每箱医用酒精比每箱医用口罩的进价多100元．该药店用4800元去购买医用酒精的箱数恰好与用3600元去购买医用口罩的箱数相同．
（1）求每箱医用酒精和每箱医用口罩的进价各是多少元？
（2）由于疫情紧张，该药店为了帮助大家共渡难关，决定再次购买医用酒精和医用口罩共50箱用于储备，此时，每箱医用口罩的进价已经增长了20%，每箱医用酒精的进价也已经增长了10%，如果再次购买两种防护用品的总费用不超过19000元，那么该药店最多可购进多少箱医用酒精？
46．（22·23上·永州·期中）为抗击新冠肺炎按情，某公司承担生产8800万个口罩的任务，该公司有A，B两个生产口罩的车间，A车间每天生产的口罩数量是B车间的1.2倍，现两车间共同生产一半后，A车间被抽调生产其他急需用品．剩下的由B车间单独完成，结果前后共用16天完成，求 A，B两车间每天分别能生产口罩多少万个?
47．（22·23下·漳州·期中）某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．
(1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？
(2)如果制作甲、乙两种包装盒300个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度（m）与甲盒数量（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料．
48．（22·23下·成都·期末）某商场售卖甲、乙两种不同的电视机，第一季度甲型电视机的售价比乙型电视机售价少800元，甲型电视机销售额为64000元，乙型电视机销售量是甲型电视机的两倍，且乙型电视机的销售额是甲型电视机的2.5倍．
(1)求甲、乙两种电视机的售价；
(2)经过市场调查，两种电视机的售价和销售量均满足一次函数的关系，在第一季度的售价和销售量的基础上，甲型电视机售价y(元)与销售量x(台)的关系如图所示，乙型电视机售价y(元)与销售量x(台)的关系为y=6000−50x.该商场计划第二季度再进一批甲、乙两种电视机共80台，且甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的1.5倍，商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为260800元．求第二季度甲的电视机的销售量及售价．
49．（22·23下·大庆·一模）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠1800米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠100米，乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米．
50．（23·24上·岳阳·阶段练习）某公司一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成．
(1)求乙工程队单独完成该工程所需的天数；
(2)若延期完成，超出工期的时间，公司则每天要损失0.4万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？
【能力提升】
51．（22·23下·温州·阶段练习）根据素材，完成任务．
52．（22·23上·佛山·阶段练习）阅读下列材料：方程：x4−6x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2−6y+5=0，
解这个方程得：y1=1，y2=5．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=5时，x2=5，∴x=±5
所以原方程有四个根：x1=1，x2=−1，x3=5，x4=−5．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)利用换元法解方程x2−x2−4x2−x−12=0得到方程的解为______．
(2)若x2+y2+1x2+y2+3=8，求x2+y2的值．
(3)利用换元法解方程：x2−42x+2xx2−4=2．
53．（22·23下·浙江·期末）根据以下素材，探索完成任务
54．（22·23下·滁州·期中）已知，关于x的分式方程a2x+3−b−xx−5=1．
(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；
(2)当a=1时，求b为何值时，分式方程a2x+3−b−xx−5=1无解；
(3)若b=0，a为正整数，分式方程a2x+3−b−xx−5=1的解为整数时，求a的值．
55．（22·23下·苏州·期中）我们定义：形如x+mnx=m+n（m，n不为零），且两个解分别为x1=m，x2=n的方程称为“十字分式方程”．
例如x+6x=5为十字分式方程，可化为x+2×3x=2+3，∴x1=2，x2=3．
再如x+7x=−8为十字分式方程，可化为x+−1×−7x=−1+−7．∴x1=−1，x2=−7．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若x+12x=−7为十字分式方程，则x1=______，x2=______．
(2)若十字分式方程x−6x=−5的两个解分别为x1=a，x2=b，求ba+ab+1的值．
(3)若关于x的十字分式方程x−2023k−2022k2x−1=2023k−2022的两个解分别为x1，x2（k>2，x1>x2），求x1+4044x2的值．x的取值
1
0.5
k
分式的值
无意义
0
3
如何设计雪花模型材料采购方案？
素材一
学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9．
素材二
某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．

素材三
6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完．
问题解决
任务一
分析雪花模型结构
求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任务二
确定采购费用
试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费．
任务三
拟定采购方案
求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多．
设计购买欲兑换方案
素材1
小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．”
素材2
小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数．
素材3
小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券m（1