专题02 旋转与中心对称（知识串讲+9大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度。
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
（三）旋转作图
（四）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（五）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
考点一遍过
考点1：旋转的三要素
典例1：（2023上·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6)，连接AB,CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）．
A．(3,2)B．(3,3)C．(6,2)D．(4,2)
【变式1】（2023上·河南漯河·九年级统考期中）如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【变式2】（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．当AB⊥A1B1，旋转角的度数是（ ）．

A．30°B．45°C．60°D．90°
【变式3】（2022上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转得到△ABF，点F在CB的延长线上，则下列角中是旋转角的是（ ）
A．∠DAEB．∠EABC．∠EAFD．∠DAF
考点2：利用的旋转的性质求解
典例2：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠CAB=20°，∠ABC=30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC=B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′=∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【变式1】（2023上·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB=20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【变式2】（2023上·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）将含有30°角的直角三角尺OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角尺绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．(3,−1)B．(1,−3)C．(2,−2)D．(−2,2)
【变式3】（2023下·四川达州·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则下列结论正确的个数有（ ）．
①AB=DF，②EF=2CF，③CE=12DF， ④∠EFD=15°

A．4个B．3个C．2个D．1个
考点3：坐标系中的旋转作图
典例3：（2023上·广东江门·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A1,4，B4,2，C3,5，（每个方格的边长均为1个单位长度）．
(1)请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路线长．（结果保留π）
【变式1】（2024上·上海·八年级校考期末）如图，直线AC与函数y=kxx<0的图象相交于点A−1,6，与x轴交于点C，且∠ACO=45°，点D是线段AC上一点．
(1)求k的值；
(2)若△DOC与△OAC的面积比为2:3，求点D的坐标；
(3)将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD′，点D′恰好落在函数y=kxx<0的图像上，求点D的坐标．
【变式2】（2024上·河北沧州·九年级统考期末）如图：在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长为单位已知△ABC：
(1)△ABC与△A1B1C1关于原点O对称，画出△A1B1C1，并写出各顶点的坐标；
(2)以O为旋转中心将△ABC顺时针旋转90°得△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
(3)点C旋转到点C2经过的路线长为___________．
【变式3】（2024上·北京西城·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A−2,5，B−3,0，C1,2．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．
(1)画出旋转后的△A′B′C′；
(2)直接写出点C′的坐标；
(3)记线段B′C′与线段BC的交点为G，直接写出∠BGC′的大小．
考点4：旋转与尺规作图
典例4：（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，点O为等边三角形ABC的中心，△BCE是以BC为斜边的直角三角形，且BE=CE．
（1）用尺规在直线AB的左侧作△ABD，使△ABD≌△BCE，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）△ABD能否由△BCE绕点O按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角α（0<α<180°）的度数；若不能，请说明理由．
【变式1】（2023·山东淄博·统考二模）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，把矩形折叠，使得点B与射线DC上的动点P重合，（P不与点D、C重合），MN为折痕，点M、N分别在边AD、BC上．
（1）请用尺规在图（1）中作出过点M、D、P的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BM，若直线BM与过M、D、P三点的⊙O相切，求直线BC与⊙O的位置关系；
（3）把ΔBMN绕点N顺时针旋转90°得ΔB1M1N，当B1落在边AD上时，求DP的长．
【变式2】（2023下·福建宁德·八年级统考期末）如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．
（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；
（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；
（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．
【变式3】（2023·福建·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠A=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转固定角度后得到△A′B′C，使得点B′在AB上，A′B′与AC交于点F.
（1）在给出的图形上用尺规作出△A′B′C；（要求：尺规作图不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：A′B′//BC.
考点5：旋转的应用——规律
典例5：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形OA2024B2024C2024，如果点A的坐标为1,0，那么点B2024的坐标为（ ）
A．2,0B．0,2C．1,1D．−1,1
【变式1】（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，…，若点A2,0，点B0,3，则B2024的坐标是（ ）
A．5060,2B．5060,3
C．5060+101213,3D．5055+101113,3
【变式2】（2023上·湖北荆州·九年级统考期中）如图，一段抛物线y=−xx−40≤x≤4，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3;⋅⋅⋅，如此进行下去，若P2023,m是其中某段抛物线上一点，则m的值为（ ）．
A．−3B．3C．−6D．6
【变式3】（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，∠OBA=90°，OA=32，边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限内，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第2023次旋转后，点A所对应的点的坐标是（ ）

A．32,0B．3,3C．0,32D．3,−3
考点6：旋转的几何综合
典例6：（2023上·广东东莞·九年级校联考期中）正方形ABCD的边长为5，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
(1)求证： EF=AE+CF；
(2)当AE=2时，求EF的长．
【变式1】（2022下·广东深圳·八年级校联考期中）某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？

探究一：
(1)如图2，已知“等补四边形”ABCD，若∠A=90°，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形（如图3）．若BC=4cm，CD=2cm,则“等补四边形”的面积为 cm2
探究二：
(2)如图4，已知“等补四边形”ABCD，若∠A=120°，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转120°，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若BC=6cm，CD=4cm,则“等补四边形”ABCD的面积为 cm2．
由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道BC，CD的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？
探究三：
(3)如图6，已知“等补四边形”ABCD，连接AC，将△ACD以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使AD与AB重合，得到△ABC′，点C的对应点为点C′．
①由旋转得：∠D=∠ ，因为∠ABC+∠D=180°，所以∠ABC+∠ABC′=180°， 即点C′，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即△ACC′．
②如图7，在△ACC′中，作AH⊥BC于点H，若AH=m，CH=n，试求出“等补四边形”ABCD的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由．
【变式2】（2023上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图所示，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC，∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．

(1)求∠DAO的度数；
(2)用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明．
【变式3】（2024上·辽宁辽阳·九年级统考期末）综合与实践
数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．
【探索发现】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，AF⊥BE于点F，将线段AF绕点A逆时针旋转90°得到线段AG，连接DG，
可证：△ABF≌△ADG．请写出证明过程；
【深入思考】
（2）在（1）的条件下，如图2，若延长BE，GD交于点H，试猜想线段BF，FH，DH之间的数量关系，并证明你的猜想；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，连接CH，将线段DH绕点H逆时针旋转90°得到线段HP，点P在BH上，试猜想BP，CH的数量关系，并证明你的猜想．
考点7：中心对称图形的识别
典例7：（2024上·广东惠州·九年级统考期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023上·福建莆田·九年级校联考期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·福建福州·九年级统考期中）各学科的图形都蒀含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023上·甘肃平凉·九年级统考期中）下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点8：利用中心对称性质求解
典例8：（2024上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）如图，已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称，过点O任作直线MN分别交AD，BC于点M，N，下列结论：
（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点；
（2）直线BD必经过点O；
（3）四边形ABCD是中心对称图形；
（4）四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；
（5）△AOM和△CON关于点O成中心对称．
其中，正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1】（2023下·山东德州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8B．10C．15D．30
【变式2】（2023下·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=1x图象上第一象限上的点，过点A作AB⊥x轴交函数y=kxk<0的图象于点B，点C是点A关于原点O中心对称的点，连接AC、BC．若△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．−3B．−52C．−4D．−2
【变式3】（2022上·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A．OC=OC′B．∠ABC=∠A′C′B′
C．点B的对称点是B′D．BC∥B′C′
考点9：坐标系中的中心对称
典例9：（2024上·辽宁盘锦·九年级校考期末）点M−sin60°，cs60°关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．−32，12B．32，−12C．32，12D．−12，32
【变式1】（2023上·河北保定·九年级统考期末）若点P(x，−4)与点Q(3，y)关于原点对称，则x−y等于（ ）
A．−7B．−1C．1D．7
【变式2】（2022上·九年级单元测试）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，把△ABC各点的横坐标、纵坐标都乘以−1，依次连接这些点，所得到的图形是（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2024上·湖北武汉·九年级统考期中）已知点Aa,2023与点A′2024,b是关于原点O的对称点，则a−b的值为（ ）
A．−1B．1C．−4047D．4047
旋转的
性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前、后的图形全等
(4)旋转过后，常用等腰三角形性质
重点
解读
(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度;
(2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等;
(3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置
旋转作图
的依据
(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素
(1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
作图步骤
(1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心.
(2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角.
(3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点.
(4)接:按原图形顺次连接所得到的各点.
注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转