专题11 与圆有关的位置关系（知识串讲+9大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
（2）直线与圆的位置关系
（二）切线的判定与性质
（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直
（三）切线长定理
（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
（四）三角形与圆
（1）三角形与外接圆
①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
②三角形外心的性质：
★三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点的距离相等；
★三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
③直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点
（2）三角形与内切圆
①概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，
②普通三角形与内切圆的关系：R为内切圆的半径
S△ABC=12×R×（AB+BC+AC）
③直角三角形的三边与内切圆的关系
R=12（两直角边和-斜边长）
考点一遍过
考点1：点与圆的位置关系
典例1：（2022上·陕西商洛·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，AD⊥BC，以点A为圆心，3.5为半径画圆，则点D与⊙A的位置关系是（ ）

A．点D在⊙A外B．点D在⊙A上C．点D在⊙A内D．不能确定
【变式1】（2024上·广东广州·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，AB=10，以点C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（ ）
A．点A在⊙C内B．点A在⊙C上C．点A在⊙C外D．无法确定
【变式2】（2023下·上海·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）

A．r=1B．r=3C．r=5D．r=7
【变式3】（2022·广东江门·统考一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（ ）
A．210−6B．326−10C．46−4D．413−8
考点2：三角形的外接圆
典例2：（2023上·江苏南通·九年级南通市实验中学校考期末）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心，若∠A=84°，则∠D的度数为（ ）
A．42°B．66°C．76°D．82°
【变式1】（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【变式2】（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）如图，直角坐标系中A(0,4)，B(4,4)，C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM=4，则点D与⊙M的位置关系为（ ）
A．点D在⊙M上B．点D在⊙M外C．点D在⊙M内D．无法确定
【变式3】（2023上·浙江湖州·九年级校考阶段练习）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（ ）
A．14步B．15步C．16步D．17步
考点3：直线与圆的位置关系
典例3：（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=3，以点C为圆心，3为半径作圆，则下列判断正确的是（ ）
A．点B在⊙C内B．点A在⊙C上
C．边AB与⊙C相切D．边AC与⊙C相离
【变式1】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4．若⊙C与AB相离，则半径为r满足（ ）
A．r>2 B．r