专题10 圆的基本性质（知识串讲+9大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）圆的相关概念
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（7）确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆
（二）垂径定理及推论
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
如图:,弧BC=弧BD，弧AC=弧AD
（2）推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
①弧AC=弧AD；②弧BD=弧CB；③CE=DE； ④AB⊥CD； ⑤AB是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
（三）弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。
（四）圆周角定理及推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A=∠O.

图a 图b 图c
（2）推论：
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
考点一遍过
考点1：圆的基本概念
典例1：（2022上·九年级单元测试）如图，点A，O，D，点 C，D，E 以及点 B，O，C 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）

A．2 条B．3 条C．4 条D．5 条
【答案】A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有BC，CE共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
【变式1】（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）若点P为⊙O内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段OP长为（ ）
A．2B．3C．3D．23
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再根据勾股定理求得OP的长．
【详解】解：连接OC，如图所示：
根据题意得：AB=8，CD=4，CD⊥AB于点P，
则OC=OA=4，
∵CD⊥AB，
∴CP=12CD=2，
∴OP=OC2−CP2=42−22=23，
故选：D．
【变式2】（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，AB ⊥ BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的长的最小值为（ ）
A．2B．4C．5D．7
【答案】A
【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【详解】解：如图所示
∵AB⊥BC，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小，
在Rt△BCO中，AB=6，BC=4，
∴OB= 12 AB=3，
∴OC= OB2+BC2=5，
∴PC=OC−OP=5−3=2．
∴PC最小值为2．
故选：A．
【变式3】（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）

A．2πR2B．4πR2C．πR2D．不能确定
【答案】C
【分析】根据图形的特征，四边形内角和为360°，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积．
【详解】解：因为四边形内角和为360°，
所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积，
即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为πR2．
故选：C
【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为360°°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积．
考点2：垂径定理
典例2：（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧所在圆的圆心，点C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为点D，AB=300m，CD=50m，则弧AB所在圆的半径是（ ）
A．150mB．250mC．300mD．350m
【答案】B
【分析】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．根据题意，可以推出AD=BD=150，若设半径为r，则OD=r−50，OB=r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：∵OC⊥AB，
∴AD=DB=150m，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
设半径为r得：r2=r−502+1502，
解得：r=250m，
∴这段弯路的半径为250m；
故选择：B．
【变式1】（2023上·内蒙古通辽·九年级校联考期中）⊙O的半径是10，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则弦AB与CD的距离是（ ）
A．2B．14C．2或14D．7或1
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用．作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由垂径定理得AE=12AB=8，CF=12CD=6，由于AB∥CD，易得E、O、F三点共线，在Rt△AOE和Rt△OCF中，利用勾股定理分别计算出OE与OF，然后讨论：当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离=OF+OE；当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离=OF−OE．
【详解】解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，OA=OC=10，
则AE=12AB=8，CF=12CD=6，
∵AB∥CD，
∴E、O、F三点共线，
在Rt△AOE中，OE=OA2−AE2=102−82=6，
在Rt△OCF中，OF=OC2−CF2=102−62=8，
当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离OF+OE=8+6=14；
当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离OF−OE=8−6=2．
所以AB与CD的距离是14或
故选：C．
【变式2】（2023上·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则AB=6，那么该圆环的面积为（ ）
A．3πB．6πC．9πD．12π
【答案】C
【分析】连接OC、OA，构造出Rt△AOC，求出OA2-OC2的值，再乘以π即为环形的面积．
【详解】解：连接OC、OA，则OC⊥AB，
在Rt△AOC中，
OA2-OC2=AC2=（12AB）2=9，
所以环形的面积为OA2π-OC2π=9π，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理以及圆面积的计算公式．
【变式3】（2023·广西钦州·统考一模）如图，点A，B，C，E在⊙O上，OC⊥AB于点D，∠E=22.5°，OB=22，则BC的长为（ ）

A．2π4B．2π2C．2πD．π
【答案】B
【分析】连接OA，则OA=OB=22，根据垂径定理得到BC=AC，由圆周角定理得到∠AOC=2∠E=45°，根据弧长公式计算出AC的长，即可得到BC的长．
【详解】解：连接OA，则OA=OB=22，

∵OC⊥AB于点D，
∴BC=AC，
∵∠E=22.5°，
∴∠AOC=2∠E=45°，
∴AC的长为45π×22180=2π2，
∴BC的长为2π2．
故选：B．
【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的关键．
考点3：垂径定理的推论
典例3：（2023上·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习）如图，点A，B在⊙O上，直径MN⊥AB于点C，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AC=CBB．OC=CNC．AN=BN D．AM=BM
【答案】B
【分析】本题主要考查的是垂径定理．由题意可知MN为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断．
【详解】解：根据MN为⊙O的直径，且MN⊥AB，垂足为C，则MN是垂直于弦AB的直径，满足垂径定理．
所以MN是AB的垂直平分线，
因而AC=CB，AN=BN，AM=BM，都是正确的．
所以选项B、OC=CN不一定成立．
故选：B．
【变式1】（2023上·辽宁葫芦岛·九年级校考期中）如图，以O为圆心的MN，C、D三等分MN，连MN、CD，下列结论错误的是（ ）

A．∠COM=∠CODB．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CDD．MN=3CD
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理．根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到∠AOB=20°，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，据此逐一判断即可．
【详解】解：由题意得MC=CD=DN，
∴MC=CD=DN，OM=ON=OC=OD，
∴MN∵MC=CD=DN，
∴∠COM=∠COD=∠DON，故A选项的结论正确；
如图，连接ON
∵OM=MN，OM=ON，
∴△MON是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∴∠AOB=13∠MON=20°，故B选项的结论正确；
作半径OE⊥CD，如图，
∴CE=DE，
∴ME=NE，
∴OE⊥MN，
∴MN∥CD，故C选项的结论正确；
故选：D．
【变式2】（2023上·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）如图，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦，AB与CD相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到CD⊥AB的有（ ）
A．AM=BM B．OM=CM C．AC=BCD．AD=BD
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理的逆定理，解题的关键是掌握垂径定理的逆定理．“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”．
【详解】解：A．∵AM=BM，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦，
∴AB⊥CD，故A不符合题意；
B．根据OM=CM无法判断CD⊥AB，故B符合题意；
C．∵AC=BC，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦，
∴AB⊥CD，故C不符合题意；
D．∵AD=BD，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦，
∴AB⊥CD，故D不符合题意．
故选：B．
【变式3】（2023上·山东济宁·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为3,−1,AB=23，若将⊙P向上平移，则⊙P与x轴相切时点 P坐标为（ ）

A．(3，2)B．(3，3)C．(3，4)D．(3，5)
【答案】A
【详解】当P移到P′点时，⊙P与x轴相切，过P作直径MN⊥AB与D，连接AP，

由垂径定理得：AD=BD=12AB=3，
∵DP=|−1|=1，
由勾股定理得：AP=AD2+PD2=2，
∴PP′=2+1=3，
∵P(3，−1)，
∴P′的坐标是(3，2)，
故选A．
【分析】本题考查垂径定理，切线的性质，勾股定理，能理解题意画出图形和正确作出辅助线是解题的关键．
考点4：垂径定理的实际应用
典例4：（2024上·河北保定·九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，⊙O半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．3米C．2米D．1.5米
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识．连接OC交AB于点E．利用垂径定理以及勾股定理求出OE，可得结论．
【详解】解：连接OC交AB于点E．
由题意OC⊥AB，
∴AE=BE=12AB=4（米），
在Rt△AEO中，OE=OA2−AE2=52−42=3（米），
∴CE=OC−OE=5−3=2（米），
故选：C．
【变式1】（2023上·浙江温州·九年级统考期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径AB=1米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD=BC=0.7米，则门洞的半径为（ ）
A．1.7米B．1.2米C．1.3米D．1.4米
【答案】C
【分析】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN=BN=12AB，再证四边形DCNM是矩形，则MN=CD，DM=CN=BC+BN，设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，如图所示：
则AN=BN=12AB=0.5米，ONC=∠DMN=90°，
∵DC⊥AB，
∴∠DCN=90°，
∴四边形DCNM是矩形，
∴MN=CD=0.7，OM=ON−0.7,DM=CN=BC+BN=1.2，
设该圆的半径长为r米，
根据题意得， ON2=r2−0.52ON−0.72=r2−1.22
解得：r=1.3ON=1.2,
即门洞的半径长为1.3米，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及二元二次方程组的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
【变式2】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm，AB=8cm，CD=6cm．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A．5cmB．9.6cmC．10cmD．10.2cm
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长．由垂径定理求出BN,DM的长，设OM=x，由勾股定理得到x2+42=7−x2+32，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，过点O做MN⊥AB于点N，交CD于点M，
∵CD∥AB，
∴MN⊥CD，
连接OD，OB，
∴MN=7，
∴DM=12CD=12×6=3,BN=12AB=12×8=4，
设OM=x，
∴ON=MN−OM=7−x，
∵OM2+MD2=OD2，ON2+BN2=OB2，
∴OM2+MD2=ON2+BN2，
∴x2+32=7−x2+42
∴x=4，
∴OM=4，
∴OD=32+42=5，
∴纸杯的直径为5×2=10．
故选：C．
【变式3】（2023上·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）3.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m，则此桥拱的半径是（ ）
A．1.62mB．1.64mC．1.14mD．3.56m
【答案】B
【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．设圆心为O，作OD⊥AB于点D，DO的延长线交圆弧为点C，设半径为Rm，根据垂径定理得AD=BD=1.6m，OD=(2−R)m，由勾股定理得：R2=1.62+(2−R)2，即可求出答案．
【详解】解：如图，设圆心为O，作OD⊥AB于点D，DO的延长线交圆弧为点C，则C为优弧AB的中点，设半径为R m，
∴AD=BD=12AB=1.6m，CD=2m，
∴OD=(2−R)m，
由勾股定理得：OA2=OD2+AD2，
∴R2=1.62+(2−R)2，
解得：R=1.64，
故选：B．
考点5：弧、弦、圆心角关系
典例5：（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC=132°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是( )
A．66°B．35.5°C．33°D．24°
【答案】C
【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理．熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理是解题的关键．
如图，连接OB，则AB=BC，∠AOB=12∠AOC，由圆周角定理可得∠D=12∠AOB，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接OB，
∵点B是弧AC的中点，
∴AB=BC，
∴∠AOB=∠BOC=12∠AOC=66°，
∵AB=AB，
∴∠D=12∠AOB=33°，
故选：C．
【变式1】（2023上·河南周口·九年级校考期中）如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC=20°，AD=CD，则∠DAC的度数是（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理，以及弦，弧，圆心角三者的关系，作出辅助线，找出未知角与已知角的联系，是解此题的关键；
根据圆周角定理和弦，弧，圆心角三者的关系即可得到结论．
【详解】连接OC，OD如图所示，
∵ ∠BAC与∠BOC所对的弧都是BC，∠BAC=20°，
∴ ∠BOC=2∠BAC=40°，
∴ ∠AOC=140°，
又∵ AD=CD，
∴∠COD=∠AOD=12∠AOC=70°，
∵ ∠DAC和∠DOC所对的弧都是CD，
∠DAC=12∠COD=35°，
故选：B．
【变式2】（2023上·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图所示，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ）
A．AB>2CDB．AB<2CDC．AB=2CDD．无法比较
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系，在圆上截取DE=CD，再根据“根据三角形的三边关系”可解，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：如图，
在圆上截取DE=CD，
∵AB=2CD，
∴AB=CE，
∴AB=CE，
根据三角形的三边关系知，CD+DE=2CD>CE=AB，
∴AB<2CD，
故选：B．
【变式3】（2022上·河北廊坊·九年级校考期中）如图，BC=CD=DE，已知AB是⊙O的直径，∠COD=35°，那么∠AOE的度数是（ ）

A．40°B．70°C．75°D．105°
【答案】C
【分析】由BC=CD=DE,∠COD=35°，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=35°，继而可求得∠AOE的度数．
【详解】解：∵ BC=CD=DE,∠COD=35°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=35°，
∴∠AOE=180°−∠EOD−∠COD−∠BOC=75°．
故选：C
【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
考点6：圆周角定理
典例6：（2023上·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O直径，C、D是⊙O上的两点，且OD∥BC，连接AC和BD，下列四个结论中：①AD⏜=CD⏜；②OD垂直平分AC；③∠AOD=2∠DBC；④BD=AC．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系判断求解即可，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
【详解】∵AB是⊙O直径，
∴∠C=90°，
∴BC⊥AC，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴OD平分AC，
∴OD垂直平分AC，
故②正确，符合题意；
∴AD=CD，
故①正确，符合题意；
∴∠AOD=2∠DBC，
故③正确，符合题意；
根据题意，无法求解BD=AC，
故④错误，不符合题意；
故选：A．
【变式1】（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，⊙O经过菱形ABCD的顶点A，B，C，顶点D在⊙O内，延长AD，CD与⊙O分别交于点E，F，连接BE，BF，下列结论：①BE=BF；②AB=AF=EF；③∠ABC=90°+12∠EBF，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】①根据菱形的性质得出∠A=∠C，根据相同的圆周角所对的弦相等，得出BE=BF，即可判断①正确；
②根据菱形的性质得出AB=BC，AB∥CD，BC∥AD，根据平行线的性质得出∠F=∠ABF，∠E=∠CBE，从而得出∠F=∠ABF=∠E=∠CBE，AB=AF=BC=CE，但不能确定AB=EF，判断②错误；
③先证明∠C=2∠ABF，根据平行线的性质得出∠ABC+∠C=180°，根据∠ABF=∠CBE，得出4∠CBE+∠EBF=180°，求出2∠CBE=90°−12∠EBF，根据∠ABC=∠ABF+∠CBE+∠EBF即可判断③正确．
【详解】解：①∵四边形ABCD为菱形，
∴∠A=∠C，
∴BE⏜=BF⏜，
∴BE=BF，故①正确；
②∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，AB∥CD，BC∥AD，
∴AB⏜=BC⏜，
∴∠E=∠F，
∵AB∥CF，BC∥AE，
∴∠F=∠ABF，∠E=∠CBE，
∴∠F=∠ABF=∠E=∠CBE，
∴AB=AF=BC=CE，
不能确定AB=EF，故②错误；
③∵AB=AF=BC=CE，
∴BF=2AF，
∴∠C=2∠ABF，
∵AB∥CF，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABF+∠EBF+∠CBE+2∠ABF=180°，
∵∠ABF=∠CBE，
∴4∠CBE+∠EBF=180°，
∴2∠CBE=90°−12∠EBF，
∴∠ABC=∠ABF+∠CBE+∠EBF
=2∠CBE+∠EBF
=90°−12∠EBF+∠EBF
=90°+12∠EBF，故③正确；
综上分析可知，①③正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，圆周角定理，圆周角和弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质和菱形的性质．
【变式2】（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）

A．AB⊥CDB．∠AOD=∠BODC．AD=BDD．PO=PD
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案．
【详解】解：∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，
∴AB⊥CD，AD=BD，AP=BP，故选项A正确，不符合题意；
∵AD=BD，
∴∠AOD=∠BOD，AD=BD，故选项B，C正确，不符合题意；
已知条件无法确定PO=PD，故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【变式3】（2022上·湖南长沙·九年级长沙市雅礼实验中学校考期中）如图，在⊙O中， A、C、D、B是⊙O上四点，OC、OD交AB于E、F，且AE=BF．下列结论不正确的是（ ）

A．OE=OF
B．AC=BD
C．AC=CD=DB
D．CD∥AB
【答案】C
【分析】连接OA，OB，可以利用SAS判定△OAE≌△OBF，根据全等三角形的对应边相等，可得到OE=OF，判断A选项正确；由全等三角形的对应角相等，可∠BAD=∠ADC得到∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出AC=BD，判断B选项正确；连接AD．由AC=BD，根据圆周角定理得出，则CD∥AB，判断D选项正确；由∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，得出AC=BD不一定等于CD，那么AC=BD不一定等于CD，判断C选项不正确．
【详解】解：连接OA，OB，

∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE与△OBF中，
OA=OB∠OAE=∠OBFAE=BF，
∴△OAE≌△OBFSAS，
∴OE=OF，故A选项正确；
∵∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，
∴AC=BD，故B选项正确；
连接AD．

∵AC=BD，
∴∠BAD=∠ADC，
∴CD∥AB，故D选项正确；
∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，
∴AC=BD不一定等于CD，
∴AC=BD不一定等于CD，故C选项不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，平行线的判定，难度适中．准确作出辅助线利用数形结合思想是解题的关键．
考点7：圆周角定理推论
典例7：（2024上·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC=20°，则∠ACD的大小为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，根据圆周角定理和直径所对圆周角是直角，结合三角形内角和定理即可得出答案，牢记各知识点是解题的关键．
【详解】解：∵∠ADC=20°
∴∠B=20°
在⊙O中，AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠BAC=180°−90°−20°=70°
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=35°
∴∠ACD=180°−35°−20°=125°
故选：B．
【变式1】（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图，∠BAC=40°,⊙O的圆心O在AB上，且与边AC相切于点D，与AB交于点E，F，连接FD，则∠AFD=（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接OD，根据切线的性质得到∠ADO=90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD=90°−40°=50°，根据圆周角定理即可得到结论，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠AOD=90°−40°=50°，
∴∠AFD=12∠AOD=12×50°=25°，
故选：C．
【变式2】（2024上·北京西城·九年级统考期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BE=BC．若∠CAB=40°，则∠BAD的大小为（ ）

A．45°B．50°C．55°D．65°
【答案】D
【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到∠B=50°，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到∠ECB=∠CEB=65°，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：∵ AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠B=90°−40°=50°，
∵ BE=BC，
∴∠ECB=∠CEB=180°−50°2=65°，
∵BD=BD，
∴∠BAD=∠BCE=65°，
故选：D．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
【变式3】（2023上·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，连结OC，过点B作AC的垂线交⊙O于点D，交OC于点M，交AC于点E，连结AD，若∠D=α，则∠OCA为（ ）
A．90°−αB．60°−αC．90°−2αD．45°+α
【答案】A
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质等知识点，连接OA、OB，证△AOB≌△AOC可得∠OAB=∠OAC=12∠BAC，求出∠BAC，再结合OA=OC即可求解．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：
∵AB=AC，OB=OC,OA=OA，
∴△AOB≌△AOC
∴∠OAB=∠OAC=12∠BAC
∵∠BCA=∠D=α，AB=AC，
∴∠BAC=180°−2∠BCA=180°−2α
∴∠OAC=90°−α
∵OA=OC
∴∠OCA =∠OAC=90°−α
故选：A
【变式4】（2023上·吉林长春·九年级校考期末）如图，AB是半圆O的直径，点C,D在半圆O上．若∠ABC=55°，则∠BDC的度数为（ ）
A．155°B．145°C．135°D．125°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用互余计算出∠A的度数，然后根据圆内接四边形的性质计算出∠BDC的度数．
【详解】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°−∠ABC=90°−55°=35°，
∵∠BDC+∠A=180°，
∴∠BDC=180°−35°=145°．
故选：B．
【变式5】（2023上·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）如图，AB是⊙O切线，点A、E是 ⊙O上的点，CD的直径，∠ABC=∠E=45°，△BCD面积为27，则BC的长为（ ）
A．3B．23C．4D．36
【答案】D
【分析】此题考查了圆切线的性质，圆周角的定理，弦、弧、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．连接OA、AD、AC，利用圆切线的性质定理、圆周角定理等性质可得AD∥BC，BC=AD，再根据△BCD的面积为27，即可求解．
【详解】解：连接OA、AD、AC，如下图：
∵CD为直径
∴∠CAD=90°，
∵AD=AD
∴∠ACD=∠E=45°，∠AOD=2∠E=90°
∴△ACD、△AOD为等腰直角三角形，
∴∠OAD=∠OAC=45°，
∵AB与⊙O 相切
∴∠OAB=90°，
∴∠CAB=45°，
∴∠ACB=∠CAD=90°，△ACB为等腰直角三角形，
∴BC∥AD，AC=BC，
∴S△BCD=12BC×AC=12BC2=27，
解得BC=36，
故选D．
【变式6】（2023上·山东滨州·九年级统考期中）如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为0,5，点M是第三象限内OB上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．23
【答案】B
【分析】由题意知OA=5，由∠AOB=90°，可得AB为⊙C的直径，由A、B、M、O四点共圆，可求∠OAB=180°−∠BMO，则∠ABO=30°，然后求直径，求半径即可．
【详解】解：∵点A的坐标为0,5，
∴OA=5，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径，
∵A、B、M、O四点共圆，
∴∠OAB=180°−∠BMO=60°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=10，
∴半径为5，
故选：B．
【点睛】本题考查了90°的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含30°的直角三角形，三角形内角和定理等知识．熟练掌握90°的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含30°的直角三角形是解题的关键．
【变式7】（2023上·全国·九年级期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为（ ）
A．23B．32C．133D．21313
【答案】D
【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，∠ADC=∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
【详解】解：如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是AC，
∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC=∠ABC．
在RtΔACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC=ACAB，
∵AC=2，BC=3，
∴AB=AC2+BC2=13，
∴sin∠ABC=213=21313，
∴sin∠ADC=21313．
故选：D．
考点8：半径相等——等腰三角形
典例8：（2023·甘肃平凉·统考二模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠AOF等于（ ）

A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到答案．
【详解】解：

连接OB，如图所示，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC， OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠AOF=∠BOF=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内半径相等，平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
【变式1】（2023·四川广元·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°，则∠AOC的度数为（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
【答案】C
【分析】连接OD，根据等腰三角形的判定和性质，得到∠DOE=∠AEC=20°，再根据三角形外角的性质，得到∠DCO=∠CDO=40°，利用三角形内角和定理，得到∠COD=100°，即可求出∠AOC的度数．
【详解】解：连接OD，
∵AB=2DE，
∴OD=DE，
∵∠AEC=20°，
∴∠DOE=20°，
∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°，
∵OC=OD，
∴∠DCO=∠CDO=40°，
∴∠COD=180°−∠DCO−∠CDO=100°，
∴∠AOC=180°−∠DOE−∠COD=60°，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质是解题关键．
【变式2】（2023下·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，在扇形AOB中，D为弧AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD=OA，∠AOC=69°，则∠OAC的度数为（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．74°
【答案】D
【分析】连接OD，则CD=OA，OA=OD，设∠C=α，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得∠OAC=2α，根据三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：如图，连接OD，如图所示：
∵OA=OD
∴∠CAO=∠ODA
∵ CD=OA，
∴CD=OD，
∴∠C=∠DOC
设∠C=α，
∴∠CAO=∠ODA=∠DOC+∠C=2α，
在△AOC中，∠AOC=69°
∴∠CAO+∠C=180°−69°=111°，
∴2α+α=111°
∴α=37°
∴∠CAO=2α=74°，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的弦，OD为⊙O半径．OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OD=2OC，则∠ODB为（ ）度
A．60B．65C．70D．75
【答案】D
【分析】连接OB，则OB=OD，由OC⊥AB，则∠OBC=30°，再由OD∥AB，即可求出答案．
【详解】解：如图：连接OB，则OB=OD，
∵OC=12OD，
∴OC=12OB，
∵OC⊥AB，
∴∠OBC=30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠OBC=30°，
∴∠OBD=∠ODB=75°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆，平行线的性质，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
考点9：圆的内接四边形
典例9：（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC=130°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，根据圆内接四边形对角互补求得∠B，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形是ABCD圆内接四边形，∠ADC=130°，
∴∠B=50°，
∴∠BAC=90°−50°=40°，
故选：C．
【变式1】（2023上·天津和平·九年级统考期末）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，点A为CD中点，∠BAD=45°，∠AMC=75°，则∠CAD的度数是（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外角定理，圆周角定理和圆内接四边形，连接BD，由三角形外角性质得出∠ADC=30°，然后由点A为CD中点得到∠DBC=60°，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形性质是解题的关键．
【详解】连接BD，
∵∠AMC=∠BAD+∠ADC，∠BAD=45°，∠AMC=75°，
∴∠ADC=30°，
∴∠ADC=∠ABC=30°，
∵点A为CD中点，
∴AD=AC，
∴∠ABC=∠ABD=30°，
∴∠DBC=60°，
∵∠DBC+∠CAD=180°，
∴∠CAD=120°，
故选：C．
【变式2】（2023·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC:∠ADC=2:1,AB=2 ，点C为BD的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E=60∘，则⊙O 的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【答案】D
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为BD的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论；
【详解】解：连接BD，
∵ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A
∵∠ABC:∠ADC=2:1
∴∠ABC:∠CBE=2:1
∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°
∵∠E=60∘
∴△CBE为等边三角形
∴∠BCE＝∠A=60°，
∵点C为BD的中点，
∴∠CDB＝∠DBC=30°
∴∠ABD=90°，∠ADB=30°
∴AD为直径
∵AB=2
∴AD=2AB=4
∴⊙O的面积是=π×22=4π
故答案选：D
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．
【变式3】（2023·陕西西安·西安交通大学附属中学航天学校校考三模）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，AB=AD=6，则⊙O的半径长为（ ）
A．23B．2C．33D．3
【答案】A
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠BAD=60°，根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得△ABD是同圆中的内接正三角形，延长AO交圆于点E，∠DAE=30°，cs30°=32=ADAE，计算出圆的直径，从而得到半径的长．
【详解】解：如图，连接BD，延长AO交圆于点E，连接ED，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴⊙O的内接△ABD是等边三角形（一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴∠BAD的角平分线经过圆心，
∴∠DAE=12∠BAD=12×60°=30°，
∵AE是⊙O直径，
∴∠ADE=90°（直径所对圆周角是90°），△AED是直角三角形；
∵AD=6，cs∠DAE=cs30°=32=ADAE，
∴AE=43，
∴AO=AE2=432=23．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求四边形外接圆的半径，圆内接四边形对角互补，等边三角形性质，圆的基本性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题关键．