专题11 与圆有关的位置关系（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（2023上·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考期中）如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=4，则线段OP的长为（ ）
A．6B．43C．4D．8
【答案】D
【分析】连接OA，通过直角三角形的性质求解即可．
【详解】连接OA，
∴OA=OB=4，
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，
∴OP=2OA=8，
故选D．
【点睛】此题考查了圆的切线的性质，涉及了直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆切线的有关性质．
2．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3个或3个以上
【答案】A
【分析】圆的半径为r, 圆心到直线的距离为d, 当d＞r时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当d=r时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，d＜r时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案.
【详解】解：∵ ⊙O的半径等于r为8cm，圆心O到直线l的距离为d为9cm，
∴ d＞r,
∴ 直线l与⊙O相离，
所以直线l与⊙O的公共点的个数为0，
故选A
【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键.
3．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC=35°，则∠ACB的大小为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【答案】C
【分析】根据切线的性质，得∠ABC=90°，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠ACB=90°-35°=55°，
故选C．
【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键．
4．（2022·山西吕梁·统考一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BE与⊙O相切于点B，连接AC，∠D=120°，∠ACB=40°，则∠CBE的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．75°
【答案】A
【分析】连接OB、OC，利用圆内接四边形的性质，利用∠D可求出∠ABC，则在△ABC中，求出∠CAB，因为BE与⊙O相切，则可证得∠CBE=∠BAC，即可得解．
【详解】连接OB、OC，如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=120°，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∵∠ACB=40°，
∴在△ABC中，∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=80°，
∵BE与⊙O相切，
∴∠CBE+∠OBC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵根据圆周角定理有∠COB=2∠BAC，
又∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°，
∴2∠OBC+2∠BAC=180°，
∴∠OBC+∠BAC=90°，
又已证得∠CBE+∠OBC=90°，
∴∠CBE=∠BAC=80°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、圆内接四边形的性质以及圆的切线等知识，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．（2022·广西崇左·统考一模）已知⊙O的半径是3，若OP=4，则点P（ ）
A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．无法判定
【答案】C
【分析】点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，d3，
∴点P在⊙O外，
故选：C．
【点睛】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
6．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，csA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】B
【分析】根据RtΔABC中，∠C=90°， csA=45，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出⊙B与AC的位置关系．
【详解】解：∵RtΔABC中，∠C=90°， csA=45，
∴csA=ACAB=45
∵AB=5，
∴AC=4
∴BC=BC2−AC2=3
当r=3时，⊙B与AC的位置关系是：相切
故选：B
【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键．
7．（2023·广东汕头·统考一模）如图，AB与⊙O相切于点A，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ABO=40°，则∠ADC的度数为（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
【答案】B
【分析】先根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠O＝50°，然后根据圆周角定理得到∠ADC的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵∠ABO=40°，
∴∠O＝90°−40°＝50°，
∴∠ADC＝12∠O＝12×50°＝25°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
8．（2022·河南周口·校考二模）如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于点C，过点B作BD∥AO交⊙O于点D，连接CD．若∠DCO＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．40°C．50°D．55°
【答案】B
【分析】连接OB，由切线的性质得出∠OBA＝90°，根据平行线的性质得到∠OBDC的度数，由圆周角定理得出∠AOB＝50°，则可得出答案．
【详解】解：连接OB，如图，
∵AB切⊙O于点B，
∴OA⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠DCO＝∠BDC＝25°．
∴∠BOC＝2∠BDC＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质定理和圆周角定理是解题的关键．
9．（2022上·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，⊙O半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=8cm，将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O相切时，则平移的距离为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．8cm
【答案】B
【分析】连接OA，由垂径定理和勾股定理得OH=3，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得CH=OC-OH=2cm．
【详解】解：连接OA，
∵OH⊥AB，
∴AH=4，OA=OC=5，
∴OH=3，
∵当点H平移到点C时，直线与圆相切，
∴CH=OC-OH=2cm，
即直线在原有位置向下移动2cm后与圆相切．
故选：B．
【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．
10．（2023·河南信阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC．若AD=1，CE=3，则OA的长为（ ）
A．1B．3C．2D．.23
【答案】C
【分析】连接OC，根据切线的性质和三角函数求得∠ACD＝30°，从而得到△AOC是等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴AD∥OC∥BE，
∵OA＝OB，
∴DC＝CE＝3，
∵AD＝1，
∴tan∠ACD＝ADCD=33，
∴∠ACD＝30°，
∴∠ACO＝90°−30°＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC，
∵AC=2AD=2，
∴OA=AC=2．
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，30°角的直角三角形的性质等，求得∠ACD＝30°是解题的关键．
11．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不能确定
【答案】A
【分析】利用面积法求出直角三角形ABC的斜边AB上的高，即得到圆心到直线的距离，然后比较它和圆的半径的大小，得到直线与圆的位置关系
【详解】解：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=AC2+BC2=5cm，
设直角三角形ABC的斜边AB上的高是h，
ℎ=AC⋅BCAB=3×45=2.4cm，
∵2.4=2.4，即圆心C到直线AB的距离等于圆的半径，
∴直线与圆的位置关系是相切．
故选：A．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法．
12．（2023上·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以点O为圆心，2cm为半径作⊙O，则⊙O与BC的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．不确定
【答案】A
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到OD=52cm，又因为OD大于半径，即可得到⊙O与BC的位置关系．
【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，
∵∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，
∴∠OBC=30°，
在Rt△OBD中，OB=5cm，
∴OD=12OB=52cm，
∵52cm>2cm，
∴⊙O与BC的位置关系是相离，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，30度角所对的直角边等于斜边一半，直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题关键．
13．（2022·上海松江·校考三模）已知△ABC，AB=10cm，BC=6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（ ）
A．0