2021-2022学年安徽省合肥市庐江县八年级下学期期中数学试题及答案
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这是一份2021-2022学年安徽省合肥市庐江县八年级下学期期中数学试题及答案,共23页。试卷主要包含了选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。
1.(4分)下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A.B.C.D.
2.(4分)如图,直线a∥b,则直线a,b之间的距离是( )
A.线段ABB.线段AB的长度
C.线段CDD.线段CD的长度
3.(4分)Rt△ABC的斜边为13,其中一条直角边为12,另一条直角边的长为( )
A.5B.6C.7D.9
4.(4分)当x>2时,=( )
A.2﹣xB.x﹣2C.2+xD.±(x﹣2)
5.(4分)若3、4、a为勾股数,则a的值为( )
A.B.5C.5或7D.5或
6.(4分)下列计算正确的是( )
A.=2B.×=C.2÷=D.+=
7.(4分)如图,在△ABC中,AB=CB=6,BD⊥AC于点D,F在BC上且BF=2,连接AF,E为AF的中点,连接DE,则DE的长为( )
A.1B.2C.3D.4
8.(4分)如图,菱形ABCD中,AC=6,BD=8,AH⊥BC于点H,则AH=( )
A.24B.10C.D.
9.(4分)如图,高速公路的同一侧有A,B两城镇,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC=2km,BD=4km,CD=8km.要在高速公路上C,D之间建一个出口P,使A,B两城镇到P的距离之和最小,则这个最短距离为( )
A.8kmB.10 kmC.12 kmD.10km
10.(4分)如图,矩形ABCD中,AB=12,点E是AD上的一点,AE=6,BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,连接EF交CD于点G,若G是CD的中点,则BC的长是( )
A.12.5B.12C.10D.10.5
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)若式子有意义,则x的取值范围是 .
12.(5分)如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的坐标为(﹣,0),点P的纵坐标为﹣1,则P点的坐标为 .
13.(5分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,∠ABD=3∠CBD,E是斜边AC的中点,∠EBD的度数是 °.
14.(5分)如图,已知正方形ABCD的边长为6cm,E为边AB上一点,且AE长为1cm,动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动.把△EBP沿EP折叠,点B落在点B'处,设运动时间为t秒.
(1)当t= 时,∠B'PC为直角;
(2)若点B'到直线AD的距离为3cm,则BP长为 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.(8分)计算:(+1)2﹣(3﹣)÷.
16.(8分)如图,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,BD⊥AD,AB=10,AD=8,求OB的长.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.(8分)将两个全等的直角三角形按如图所示摆放,使点A、E、D在同一条直线上.利用此图的面积表示式证明勾股定理.
18.(8分)观察下列等式:
第1个等式:=3;
第2个等式:=4;
第3个等式:=5;
第4个等式:=6;
…
按照以上规律,解决下列问题:
(1)填空: =10;
(2)填空: =n(n≥3且n为正整数),并证明这个等式.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.(10分)如图,网格中每个小正方形的边长都是1.
(1)线段AB的长度是 ;
(2)请在网格中画出线段AC=,BD=2,且C,D为AB右侧的格点(网格线的交点);
(3)以AB、AC、BD三条线段为边能否构成直角三角形,并说明理由.
20.(10分)如图,△ABC中,D,E分别是AC,AB的中点,DE=CE,过点B作BF∥CE,交DE的延长线于点F.
(1)求证:四边形BCEF是菱形.
(2)若BC=2,∠BCE=60°,求菱形BCEF的面积.
六、(本题满分12分)
21.(12分)为推进乡村振兴,把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园,某地大力修建崭新的公路.如图所示,现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB,C地、D地、B地在同一笔直公路上,公路AC和公路CB互相垂直,又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接,且公路DH和公路AB互相垂直,已知AC=9千米,AB=15千米,BD=5千米.
(1)求公路CD的长度;
(2)若修公路DH每千米的费用是2000万元,请求出修建公路DH的总费用.
七、(本题满分12分)
22.(12分)我们规定用(a,b)表示一对数对,给出如下定义:记m=,n=(a>0,b>0),将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的对“对称数对”.例如:(4,1)的一对“对称数对”为(,1)与(1,).
(1)数对(25,4)的一对“对称数对”是 和 ;
(2)若数对(x,2)的一对“对称数对”的一个数对是(,1),求x的值;
(3)若数对(a,b)的一对“对称数对”的一个数对是(,3),求ab的值.
八、(本题满分14分)
23.(14分)如图,把一个等腰直角三角板AEM放置于矩形ABCD上,AE=BC=13,AB=24.三角板的一个锐角的顶点放在A处,且直角边AE在矩形内部绕点A旋转,在旋转过程中EM与CD交于点F.
(1)如图1,
①旋转过程中线段DF与EF有何数量关系?并给出证明;
②连接EC,EB,若△ECB为等腰三角形,求DF的长;
(2)如图2,以AD为边在矩形内部作正方形ADHI,直角边EM所在的直线交HI于O,交AB于G.设DF=m,请你用m的代数式表示OH的长.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.(4分)下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A.B.C.D.
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可.
【解答】解:A.的被开方数的因数不是整数,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;
B.是最简二次根式,故本选项符合题意;
C.的被开方数中含有能开得尽方的因数,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;
D.的被开方数中含有能开得尽方的因数,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;
故选:B.
【点评】本题考查了最简二次根式的定义,能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键,满足下列两个条件的二次根式,叫最简二次根式:①被开方数中的每个因数都是整数,因式都是整式,②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式.
2.(4分)如图,直线a∥b,则直线a,b之间的距离是( )
A.线段ABB.线段AB的长度
C.线段CDD.线段CD的长度
【分析】根据平行线间的距离的定义,可得答案.
【解答】解:由直线a∥b,CD⊥b,得:
线段CD的长度是直线a,b之间距离,
故选:D.
【点评】本题考查了平行线间的距离,利用平行线间的距离的定义是解题关键.
3.(4分)Rt△ABC的斜边为13,其中一条直角边为12,另一条直角边的长为( )
A.5B.6C.7D.9
【分析】根据勾股定理计算,即可得出答案.
【解答】解:根据题意,由勾股定理得,另一条直角边长==5;
故选:A.
【点评】本题考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理是解决问题的关键.
4.(4分)当x>2时,=( )
A.2﹣xB.x﹣2C.2+xD.±(x﹣2)
【分析】根据=|a|的进行计算即可.
【解答】解:∵x>2,
∴=|2﹣x|
=x﹣2,
故选:B.
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简,熟练掌握=|a|是解题的关键.
5.(4分)若3、4、a为勾股数,则a的值为( )
A.B.5C.5或7D.5或
【分析】根据勾股数的定义:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数求解即可.
【解答】解:∵3、4、a为勾股数,
∴当a最大时,此时a==5,
当4时最大时,a==,不能构成勾股数,
故选:B.
【点评】本题主要考查勾股数,解题的关键是掌握勾股数的定义:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
6.(4分)下列计算正确的是( )
A.=2B.×=C.2÷=D.+=
【分析】利用二次根式的加法法则,乘法的法则,除法的法则,减法的法则对各项进行运算即可.
【解答】解:A、与﹣不属于同类二次根式,不能合并,故A不符合题意;
B、,故B不符合题意;
C、,故C符合题意;
D、,故D不符合题意;
故选:C.
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
7.(4分)如图,在△ABC中,AB=CB=6,BD⊥AC于点D,F在BC上且BF=2,连接AF,E为AF的中点,连接DE,则DE的长为( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD=DC,根据三角形中位线定理解答即可.
【解答】解:∵CB=6,BF=2,
∴FC=6﹣2=4,
∵BA=BC,BD⊥AC,
∴AD=DC,
∵AE=EF,
∴DE是△AFC的中位线,
∴DE=FC=×4=2,
故选:B.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题的关键.
8.(4分)如图,菱形ABCD中,AC=6,BD=8,AH⊥BC于点H,则AH=( )
A.24B.10C.D.
【分析】由菱形面积=对角线积的一半可求面积,由勾股定理求出BC,然后由菱形的面积即可得出结果.
【解答】解:如图,对角线AC、BD交于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,
∴BC===5,
∵菱形ABCD的面积=×6×8=24,
∴AH=,
故选:C.
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式等知识;熟练掌握菱形的性质,由勾股定理求出BC是解题的关键.
9.(4分)如图,高速公路的同一侧有A,B两城镇,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC=2km,BD=4km,CD=8km.要在高速公路上C,D之间建一个出口P,使A,B两城镇到P的距离之和最小,则这个最短距离为( )
A.8kmB.10 kmC.12 kmD.10km
【分析】根据题意画出图形,再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置,进而结合勾股定理得出即可.
【解答】解:如图所示:作A点关于直线MN的对称点A',再连接A'B,交直线MN于点P.
则此时AP+PB最小,过点B作BD⊥CA延长线于点E,
∵AC=2km,BD=4km,CD=8km,
∴AA'=4km,则AE=6km,
在Rt△A'EB中,
CB==10(km),
则AP+PB的最小值为:10km.
故选:B.
【点评】此题主要考查了应用与设计作图,两点之间线段最短、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用对称解决最短问题.
10.(4分)如图,矩形ABCD中,AB=12,点E是AD上的一点,AE=6,BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,连接EF交CD于点G,若G是CD的中点,则BC的长是( )
A.12.5B.12C.10D.10.5
【分析】根据线段中点的定义可得CG=DG,然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=CF,EG=FG,设DE=x,表示出BF,再利用勾股定理列式求EG,然后表示出EF,再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF,然后列出方程求出x的值,从而求出AD,再根据矩形的对边相等可得BC=AD.
【解答】解:∵矩形ABCD中,G是CD的中点,AB=12,
∴CG=DG=×12=6,
在△DEG和△CFG中,
,
∴△DEG≌△CFG(ASA),
∴DE=CF,EG=FG,
设DE=x,
则BF=BC+CF=AD+CF=6+x+x=6+2x,
在Rt△DEG中,EG==,
∴EF=2,
∵FH垂直平分BE,
∴BF=EF,
∴6+2x=2,
解得x=4.5,
∴AD=AE+DE=6+4.5=10.5,
∴BC=AD=10.5.
故选:D.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,矩形的性质,线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,勾股定理,熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)若式子有意义,则x的取值范围是 x≥2 .
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解.
【解答】解:由题意可得3x﹣6≥0,
解得x≥2,
故答案为:x≥2.
【点评】本题考查二次根式有意义的条件,理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)是解题关键.
12.(5分)如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的坐标为(﹣,0),点P的纵坐标为﹣1,则P点的坐标为 (﹣4,﹣1) .
【分析】过P作PB⊥OA于B,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】解:过P作PB⊥OA于B,
∵点A的坐标为(﹣,0),
∴OP=OA=,
∵点P的纵坐标为﹣1,
∴PB=1,
∴OB==4,
∴P点的坐标为(﹣4,﹣1),
故答案为:(﹣4,﹣1).
【点评】本题考查的是勾股定理,根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键.
13.(5分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,∠ABD=3∠CBD,E是斜边AC的中点,∠EBD的度数是 45 °.
【分析】先根据已知条件求出∠CBD和∠BDE的度数,再根据E是斜边AC的中点,得出∠EBA=∠A,从而得出结论.
【解答】解:∵∠ABD=3∠CBD,∠ABC=90°,∠ABD+∠CBD=∠ABC,
∴4∠CBD=90°,
∴∠CBD=22.5°,
则∠ABD=3×22.5°=67.5°,
∵BD⊥AC,
∴∠C=∠BDC﹣∠CBD=90°﹣22.5°=67.5°,
∴∠A=∠ABC﹣∠C=90°﹣67.5°=22.5°,
∵E是斜边AC的中点,
∴BE=AE=CE,
∴∠EBA=∠A=22.5°,
∴∠EBD=∠DBA﹣∠EBA=67.5°﹣22.5°=45°,
故答案为:45°.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及角的运算,关键是对角的和差的运算.
14.(5分)如图,已知正方形ABCD的边长为6cm,E为边AB上一点,且AE长为1cm,动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动.把△EBP沿EP折叠,点B落在点B'处,设运动时间为t秒.
(1)当t= 5 时,∠B'PC为直角;
(2)若点B'到直线AD的距离为3cm,则BP长为 或15 .
【分析】(1)根据当∠B'PC=90°时,∠BPB'=90°,即可得到△BEP为等腰直角三角形,进而得到BP=BE=5cm,再根据点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动,即可得到t的值;
(2)过B'作MN∥AB,交AD,BC于点M,N,过E作EH∥AD,交MN于H,进而得出四边形ABNM是矩形,四边形AEHM是矩形.再分两种情况进行讨论:①若点B'在AD下方;②若点B'在AD上方,分别根据Rt△PB'N中,B'P2=PN2+B'N2,即可得到BP的值.
【解答】解:(1)∵正方形ABCD的边长为6cm,E为边AB上一点且AE长为1cm,
∴BE=5(cm),
当∠B'PC=90°时,∠BPB'=90°,
∴由折叠可得,∠BPE=∠BPB'=45°,
又∵∠B=90°,
∴∠BEP=45°,
∴BP=BE=5(cm),
∵点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动,
∴t=5÷1=5(秒),
故答案为:5;
(2)过B'作MN∥AB,交AD,BC于点M,N,过E作EH∥AD,交MN于H,
∵AD∥BC,MN∥AB,
∴四边形ABNM是平行四边形,
又∵∠A=90°,
∴四边形ABNM是矩形
同理可得:四边形AEHM是矩形.
①如图:
若点B'在AD下方,则B'M=3cm,B'N=3cm,
∵MH=AE=1(cm),
∴B'H=2(cm),
由折叠可得,EB'=EB=5(cm),
∴Rt△EB'H中,EH==(cm),
∴BN=AM=EH=(cm),
设BP=tcm,
∴PB'=tcm,PN=(﹣t) cm
∵Rt△PB'N中,B'P2=PN2+B'N2,
∴t2=(﹣t)2+32,
解得:t=.
②如图:
若点B'在AD上方,则B'M=3cm,B'N=9cm,
同理可得,EH=3cm,
设BP=tcm,
∴B'P=tcm,PN=(t﹣3)cm,
∵Rt△PB'N中,B'P2=PN2+B'N2,
∴t2=(t﹣3)2+92,
解得:t=15.
综上所述,BP的值为或15.
故答案为:或15.
【点评】本题考查了折叠问题,勾股定理以及正方形的性质的运用,解题时我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.(8分)计算:(+1)2﹣(3﹣)÷.
【分析】先根据完全平方公式和二次根式的除法法则进行计算,再根据二次根式的加减法则进行计算即可.
【解答】解:(+1)2﹣(3﹣)÷
=3+2+1﹣3+1
=3+2+1﹣+1
=5+.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算,能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键,注意运算顺序.
16.(8分)如图,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,BD⊥AD,AB=10,AD=8,求OB的长.
【分析】直接利用勾股定理得出BD的长,再由平行四边形的性质即可得出答案.
【解答】解:在平行四边形ABCD中,BC=AD=8,AD∥BC,AD=8,
∵BD⊥AD,AB=10,
∴BD==6.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=BD=3.
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理,正确得出BD的长是解题关键.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.(8分)将两个全等的直角三角形按如图所示摆放,使点A、E、D在同一条直线上.利用此图的面积表示式证明勾股定理.
【分析】先推出△BEC是直角三角形,然后根据S梯形ABCD=S△ABE+S△BEC+S△DEC,代入字母整理化简,即可证明结论成立.
【解答】证明:由已知可得,
Rt△BAE≌Rt△EDC,
∴∠ABE=∠DEC,
∵∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠DEC+∠AEB=90°,
∴∠BEC=90°,
∴△BEC是直角三角形,
∴S梯形ABCD=S△ABE+S△BEC+S△DEC,
∴=,
∴=,
∴a2+b2=c2.
【点评】本题考查勾股定理的证明,解答本题的关键是推出△BEC是直角三角形.
18.(8分)观察下列等式:
第1个等式:=3;
第2个等式:=4;
第3个等式:=5;
第4个等式:=6;
…
按照以上规律,解决下列问题:
(1)填空: =10;
(2)填空: =n(n≥3且n为正整数),并证明这个等式.
【分析】(1)根据四个等式总结规律,根据规律解答;
(2)根据规律解答即可.
【解答】解:(1)根据规律可知:=10,
故答案为:;
(2)=n,
故答案为:.
【点评】本题考查的是数字的变化规律,根据题意找出数字的变化规律是解题的关键.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.(10分)如图,网格中每个小正方形的边长都是1.
(1)线段AB的长度是 ;
(2)请在网格中画出线段AC=,BD=2,且C,D为AB右侧的格点(网格线的交点);
(3)以AB、AC、BD三条线段为边能否构成直角三角形,并说明理由.
【分析】(1)利用勾股定理求解即可;
(2)利用数形结合的思想画出图形即可;
(3)利用勾股定理的逆定理判断即可.
【解答】解:(1)AB==.
故答案为:;
(2)如图,线段AC,BD即为所求;
(3)以AB、AC、BD三条线段为边能构成直角三角形.
理由:∵AB=,AC=,BD=2,
∴()2=()2+(2)2,
∴以AB、AC、BD三条线段为边能构成直角三角形.
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图,勾股定理,勾股定理的逆定理等知识,解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题,属于中考常考题型.
20.(10分)如图,△ABC中,D,E分别是AC,AB的中点,DE=CE,过点B作BF∥CE,交DE的延长线于点F.
(1)求证:四边形BCEF是菱形.
(2)若BC=2,∠BCE=60°,求菱形BCEF的面积.
【分析】(1)先证四边形BCFE是平行四边形.再证BC=CE,即可得出结论;
(2)根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可.
【解答】(1)证明:∵D、E分别是AC、AB的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=BC,
∴EF∥BC,
∵BF∥CE,
∴四边形BCEF是平行四边形,
∵DE=CE,
∴BC=CE,
∴平行四边形BCEF是菱形;
(2)解:如图,过点E作EG⊥BC于点G,
由(1)知BC=CE,
∵∠BCE=60°,
∴△BCE是等边三角形,
∴BE=CE=BC=2,
∵EG⊥BC,
∴BG=BC=1,
在Rt△BGE中,由勾股定理得:EG===,
∴S菱形BCEF=BC•EG=2×=2.
【点评】此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识,熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
六、(本题满分12分)
21.(12分)为推进乡村振兴,把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园,某地大力修建崭新的公路.如图所示,现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB,C地、D地、B地在同一笔直公路上,公路AC和公路CB互相垂直,又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接,且公路DH和公路AB互相垂直,已知AC=9千米,AB=15千米,BD=5千米.
(1)求公路CD的长度;
(2)若修公路DH每千米的费用是2000万元,请求出修建公路DH的总费用.
【分析】(1)根据勾股定理得到BC===12(千米),根据线段的弧长即可得到结论;
(2)根据勾股定理得到AD==(千米),求得DH==3,于是得到结论.
【解答】解:(1)∵∠C=90°,AC=9千米,AB=15千米,
∴BC===12(千米),
∵BD=5千米,
∴CD=12﹣5=7(千米),
答:公路CD的长度为7千米;
(2)∵AC=9千米,CD=7千米,
∴AD==(千米),
∵DH⊥AB,
∴AD2﹣AH2=BD2﹣BH2,
∴130﹣(15﹣BH)2=52﹣BH2,
∴BH=4,
∴DH==3,
∴修建公路DH的总费用为3×2000=6000(万元).
【点评】本题考查了勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键.
七、(本题满分12分)
22.(12分)我们规定用(a,b)表示一对数对,给出如下定义:记m=,n=(a>0,b>0),将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的对“对称数对”.例如:(4,1)的一对“对称数对”为(,1)与(1,).
(1)数对(25,4)的一对“对称数对”是 (,2) 和 (2,) ;
(2)若数对(x,2)的一对“对称数对”的一个数对是(,1),求x的值;
(3)若数对(a,b)的一对“对称数对”的一个数对是(,3),求ab的值.
【分析】(1)根据新定义即可得出结论;
(2)根据新定义,列等式=1,解方程进而得出结论;
(4)根据新定义,列方程组,解出进而得出结论.
【解答】解:(1)∵=,=2,
∴数对(25,3)的一对“对称数对”是(,2)与(2,),
故答案为:(,2)与(2,);
(2)∵数对(x,2)的一个“对称数对”是(,1),
∴=1,
∴x=1;
(3)∵数对(a,b)的一个“对称数对”是(,3),
∴或,
解得或,
∴ab=9或.
【点评】此题主要考查了新定义,解方程组,解方程,理解和应用新定义是解本题的关键.
八、(本题满分14分)
23.(14分)如图,把一个等腰直角三角板AEM放置于矩形ABCD上,AE=BC=13,AB=24.三角板的一个锐角的顶点放在A处,且直角边AE在矩形内部绕点A旋转,在旋转过程中EM与CD交于点F.
(1)如图1,
①旋转过程中线段DF与EF有何数量关系?并给出证明;
②连接EC,EB,若△ECB为等腰三角形,求DF的长;
(2)如图2,以AD为边在矩形内部作正方形ADHI,直角边EM所在的直线交HI于O,交AB于G.设DF=m,请你用m的代数式表示OH的长.
【分析】(1)①连接AF,根据HL证直角三角形ADF≌直角三角形AEF,即可得出结论;
②分三种情况进行讨论求值即可;
(2)同理(1)得出OE=OI,即OI=HI﹣OH,再利用勾股定理得出OH即可.
【解答】解:(1)①DF=EF,理由如下:
连接AF,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=13,∠D=90°,
∵AE=BC=13,
∴AD=AE=13,
在Rt△ADF和Rt△AEF中,
,
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL),
∴DF=EF;
②分三种情况:
(Ⅰ)如图2,连接BE,BC,当BE=BC=13时,过E作EP⊥CD于P,延长PE交AB于Q,
则PQ⊥AB,四边形AQPD是矩形,
∵AE=BC,BE=BC,
∴AE=BE,
∵EQ⊥AB,
∴AQ=QB=AB=12,
在Rt△AEQ中,∠AQE=90°,AE=13,AQ=12,
∴EQ==5,
∴PE=PQ﹣EQ=13﹣5=8,
设DF=x,则EF=x,FP=12﹣x,
在Rt△PEF中,∠EPF=90°,
∴PE2+FP2=EF2,
即82+(12﹣x)2=x2,
解得x=,
∴DF=;
(Ⅱ)如下图,连接BE,CE,当EC=BC=13时,连接AC,
∵AE=BC=13,EC=BC=13,
∴AE=EC=13,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=24,BC=13,
∴AC==,
∵AE+EC=13+13,
∴△AEC不存在,
即此种情况不存在;
(Ⅲ)如下图,连接BE,CE,当EC=EB时,过点E作EP⊥CD于点P,延长PE交AB于点Q,则PQ⊥AB,四边形AQPD是矩形,
∵EC=EB,
∴点E在BC的垂直平分线上,
∴PE=EQ=,
∵EQ=AE,∠AQE=90°,
∴∠EAQ=30°,
∴∠PEF=∠EAQ=90°﹣∠AEQ=30°,
∴EF==,
∴DF=EF=,
综上所述,存在△ECB为等腰三角形,DF的长为或;
(2)如下图,
同理(1)可得OE=OI,
∴OF=OE+EF=OI+DG=OI+m,
∵OI=HI﹣OH=13﹣OH,
∴OF=13﹣OH+m,
在Rt△OFH中,∠OHF=90°,
∴OH2+FH2=OF2,
又∵FH=13﹣m,OF=13﹣OH+m,
∴OH2+(13﹣m)2=(13﹣OH+m)2,
解得OH=.
【点评】本题主要考查四边形的综合题,熟练掌握矩形的性质,直角三角形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键.
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