安徽省合肥市庐江县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．数学练习满分150分，练习时间为120分钟．
2．本练习包括“练习卷”（共6页）和“答题卷”（共6页）两部分．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“练习卷”上答题无效．
4．练习结束时，请将“练习卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义．
2. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点、对应的刻度为1、7，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查直角三角形性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，读懂题意，直接利用直角三角形性质求解即可得到答案，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，，
在中，，点为边的中点，则，
故选：B．
3. 化简的结果正确的是（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则得到，然后利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．
故选：B．
4. 在中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由平行四边形的性质得出，，再由，可求出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等、邻角互补是解答此题的关键．
5. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A. 0.3，0.4，0.5B. 9，40，41C. 2，3，4D. 1，，
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，成为勾股数，据此可判断．
【详解】A．、、，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；
B．、、，是正整数，且满足，是勾股数，选项正确；
C．2、3、4，是正整数，但，所以不是勾股数，选项正确；
D．、、，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股数的判定方法，解题关键是要看这组数是否为正整数，且满足最小两个数的平方和等于最大数的平法．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式混运算，熟练掌握二次根式的运算方法是解题的关键，根据二次根式的加减法对进行判断，根据二次根式的乘法法则对进行判断，根据二次根式的除法法则对进行判断即可．
【详解】解：A、不能合并，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：C．
7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）

A. 当时，它是菱形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形、菱形及正方形的判定可进行求解．
【详解】解：A、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是菱形，故不符合题意；
B、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是菱形，故不符合题意；
C、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是矩形，故不符合题意；
D、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是矩形，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查矩形、菱形及正方形的判定，熟练掌握它们的判定定理是解题的关键．
8. 如图，在矩形中，，对角线相交于点，过点作，交于点，则的长是（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．连接，由矩形的性质可得，，，，由，，可知垂直平分，则可得；设，则，在中，由勾股定理得关于x的方程，求解即可．
【详解】解：连接，如图：
在矩形中，，
∴，，，，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得．
∴的长为3．
故选：A．
9. 如图，四边形是菱形，，于点，点，分别是，的中点，连接，，若，则的长为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，连接和，交于点O，根据菱形的性质得到，根据中位线的判定与性质得到，，先证明，进一步证明是等边三角形，然后根据题意求出线段长即可.
【详解】如图，连接和，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∵,
∴,
∵，
∴
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：A．
10. 如图，正方形中，点E、F、H分别是、的中点，交于G，连接．下列结论错误的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接交于K，根据正方形的性质和三角形全等的判定可证、，从而可得，再根据直角三角形的性质和等量代换可得，，再根据垂直平分线的性质可得，，由直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，即可得出结论；
【详解】解：∵四边形是正方形，点E、F、H分别是、的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，故A不符合题意；
在中，点H是的中点，
∴，
即，故D不符合题意；
连接交于点K，同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
若，则是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故B符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故C不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及三角形外角的性质和等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质，运用数形结合思想是解题的关键．
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）
11. 二次根式中，x的取值范围是 ___．
【答案】x≥-3
【解析】
【分析】根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．
【详解】∵是二次根式，
∴x+3≥0,
即x≥-3，
故答案为：x≥-3．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数建立不等式是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，已知点，，连接，以点为圆心、长为半径画弧，与轴正半轴相交于点，则点的横坐标是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理等知识，利用勾股定理解得的值是解题关键．首先根据题意可得，，然后利用勾股定理解得的值，进而可得，即可确定点的横坐标．
【详解】解：如下图，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵以点为圆心、的长为半径画弧，与轴正半轴相交于点，
∴，
∴，
∴点的横坐标是．
故答案为：．
13. 如图，菱形的边长为5，将一个直角的顶点放置在菱形的中心处，此时直角的两边分别交边，于点、，当，时，则的长是______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，则过点O，先证明是中位线，再根据中位线性质求出的长，再在中，根据勾股定理即可求出结果．
本题考查了菱形的性质，中位线的性质，勾股定理，本题的关键是辅助线的作法．
【详解】证明：连接，则过点O，

，，
，
∴（平行线分线段成比例定理），
∵在菱形中，
，
，
∴是的中位线，
，在中，
．
故答案为：．
14. 如图，在矩形纸片中，，，为边上的动点（点不与点重合），将纸片沿折叠．

（1）当落在上时，的长为______；
（2）当在一条直线上时，的长为______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．
（1）利用勾股定理直接求解即可；
（2）连接，当在上时，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）点位于上，，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图，连接，

四边形是矩形，
，
当在上时，，
，
设，则：，
在中，由勾股定理可得：
，
解得：，
．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，包小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．
【详解】
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16. 如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．
【答案】60m
【解析】
【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．
【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：
AB＝（m）．
∴该河流的宽度为60 m．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，
（1）请用无刻度的直尺和圆规在边AD上找一点E，使EC平分∠BED（保留作图痕迹），并加以说明．
（2）在（1）的条件下，若，AB＝1，添加条件AE＝______时，为矩形，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）2，理由见解析
【解析】
【分析】（1）以B点为圆心，BC为半径画弧交AD于E，连接BE、CE，则∠BEC=∠BCE，再根据平行线的性质得到∠BCE=∠DEC，从而可判断EC平分∠BED；
（2）由（1）知BE=，根据勾股定理的逆定理得到∠A=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图，点E即为所求
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠DEC=∠BEC，
即EC平分∠BED；
【小问2详解】
当AE=2时，为矩形，
理由：由（1）知BE=，
∵，
∴∠A=90°，
∴为矩形，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，正确的作出图形是解题的关键．
18. 如图1，的三边分别为，以为一边作正方形，点在边上，将裁剪拼接至位置，如图2，请用图1、图2的面积不变证明勾股定理．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理的几何证明，先求出正方形的面积为，四边形的面积，根据正方形的面积与四边形的面积相等，得出，即可证明结论．
【详解】证明：连接，
，
正方形的面积为，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
四边形的面积，
正方形的面积与四边形的面积相等，
，
，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为______．
（2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，如图），你能帮助他们求出面积吗？
【答案】（1）30 （2）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可；
（2）过A作交于点D．设，则，利用勾股定理分别求得、、即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴该三角形为直角三角形，其中13为斜边，
∴这块试验基地的面积为，
故答案为：30；
【小问2详解】
解：过A作交于点D．
设，则．
在和
由勾股定理得
，
解得，
在中，由勾股定理得,
∴．
20. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格内画出图形．
（1）在图1中，以顶点为格点，画一个面积为8的正方形；
（2）在图2中，以格点为顶点，画一个三角形，使三角形三边长分别为，，4；请你判断这个三角形______直角三角形（填“是”或者“不是”）．
（3）在图3中，以格点为顶点，画一个以为边且面积为10的等腰三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析；不是
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据面积为8的正方形的边长画出正方形即可；
（2）根据，画出三角形，根据勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形即可；
（3）根据三角形的面积为10，为底边作等腰三角形即可．
小问1详解】
解：∵正方形的面积为8，
∴正方形的边长为，
则面积为8正方形，如图所示：
【小问2详解】
解：为所求作的三角形，如图所示：
，，，
∵，
∴这个三角形不是直角三角形；
故答案为：不是．
【小问3详解】
解：为所求作的等腰三角形，如图所示：
，，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了在网格中作正方形，三角形和等腰三角形，勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握网格的特点．
六、（本题满分12分）
21. 如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形．
（1）若，求甲盒子的侧面积；
（2）设甲，乙两个盒子侧面积分别为，，
①______（填“>”“=”“