2025届高考数学一轮复习教师用书第四章第四节第3课时导数的不等式问题讲义（Word附解析）

第3课时　导数的不等式问题【命题分析】导数中的不等式证明经常被考查,常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合,题目难度较大,解题方法多种多样,如构造函数法、放缩法等,针对不同的题目,采用不同的解题方法,可以达到事半功倍的效果.【核心考点·分类突破】题型一　作差法构造函数,证明不等式[例1]设f(x)=2xln x+1.(1)求f(x)的最小值;(2)证明:f(x)≤x2-x+1x+2ln x.【解析】(1)f'(x)=2(ln x+1),所以当x∈(0,1e)时,f'(x)1.【解析】(1)函数f(x)=ex-ax-a的定义域为R,求导得f'(x)=ex-a,当a≤0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>0时,令f'(x)=ex-a>0,解得x>ln a,令f'(x)0时,2(ex-x-1)x2>1⇔ex>1+x+x22⇔12x2+x+1ex0,F'(x)=-12x2ex0),则g'(x)=(x-1)exx2,所以当x∈(0,1)时,g'(x)-2),则h'(x)=1-1x+2=x+1x+2,则当-20,即h(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,于是当x=-1时,h(x)min=h(-1)=0,因此x+1≥ln(x+2)(当x=-1时取等号),所以当x>-2时,f(x)>ln(x+2).【解题技法】放缩法证明不等式的策略导数方法证明不等式的问题中,最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,简化后再构造函数进行证明.常见的放缩公式如下:(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时取等号;(2)ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号.【对点训练】f(x)=aex-1-ln x-1.(1)若a=1,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)≥0.【解析】(1)当a=1时,f(x)=ex-1-ln x-1(x>0),f'(x)=ex-1-1x,k=f'(1)=0,又f(1)=0,所以切点为(1,0).所以切线方程为y-0=0(x-1),即y=0.(2)因为a≥1,所以aex-1≥ex-1,所以f(x)≥ex-1-ln x-1.方法一:令φ(x)=ex-1-ln x-1(x>0),所以φ'(x)=ex-1-1x,令h(x)=ex-1-1x,所以h'(x)=ex-1+1x2>0,所以φ'(x)在(0,+∞)上单调递增,又φ'(1)=0,所以当x∈(0,1)时,φ'(x)0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(0)=0,故ex≥x+1,当且仅当x=0时取“=”.同理可证ln x≤x-1,当且仅当x=1时取“=”.由ex≥x+1⇒ex-1≥x(当且仅当x=1时取“=”),由x-1≥ln x⇒x≥ln x+1(当且仅当x=1时取“=”),所以ex-1≥x≥ln x+1,即ex-1≥ln x+1,即ex-1-ln x-1≥0(当且仅当x=1时取“=”),即f(x)≥0.【加练备选】(2023·南充模拟)已知函数f(x)=ax-sin x.(1)若函数f(x)为增函数,求实数a的取值范围;(2)求证:当x>0时,ex>2sin x.【解析】(1)f(x)=ax-sin x,所以f'(x)=a-cos x,由函数f(x)为增函数,则f'(x)=a-cos x≥0恒成立,即a≥cos x在R上恒成立,因为y=cos x∈[-1,1],所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).(2)由(1)知,当a=1时,f(x)=x-sin x为增函数,当x>0时,f(x)>f(0)=0⇒x>sin x,要证当x>0时,ex>2sin x,只需证当x>0时,ex>2x,即证ex-2x>0在(0,+∞)上恒成立.设g(x)=ex-2x(x>0),则g'(x)=ex-2,令g'(x)=0解得x=ln 2,所以g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(ln 2)=eln 2-2ln 2=2(1-ln 2)>0,所以g(x)≥g(ln 2)>0,所以ex>2x成立,故当x>0时,ex>2sin x.【重难突破】泰勒公式在比较大小中的应用　　比较大小的选择题是近年高考的常见题型,一般情况下我们会构造函数模型代入数值进行比较和运算,但是对学生来说函数模型的选择是非常有难度的,因此在选择题中我们可以选择利用泰勒公式计算近似值的办法进行比较大小.【教材探源】在人教A必修一教材中三角函数一章第256页“拓广探索”中第26题.英国数学家泰勒给出如下公式:sin x=x-x33!+x55!-x77!+…,cos x=1-x22!+x44!-x66!+…,其中n!=1×2×3×4×…×n.这些公式被编入计算工具,计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如,用前三项计算cos 0.3,就得到cos 0.3≈1-0.322!+0.344!=0.955 337 5.【教材拓展】　下面给出高中阶段常用的泰勒公式:(1)ex=1+x+12!x2+…+1n!xn+…,x∈R;(2)sin x=x-x33!+…+(-1)k-1x2k-1(2k-1)!+…,x∈R;(3)cos x=1-x22!+…+(-1)k1(2k)!x2k+…,x∈R;(4)ln(1+x)=x-12x2+…+(-1)n-11nxn+…,-1b D.b>a>c【解析】选B.方法一(泰勒公式):设x=0.02,则a=e0.02=1+0.02+0.0222+…,显然a>b>1>c.方法二(构造函数):令f(x)=ex-(1+x),令f'(x)=ex-1=0,得x=0,当x∈(-∞,0)时,f'(x)