2025届高考数学一轮复习教师用书第四章第一节导数的概念及其意义、导数的运算讲义（Word附解析）

第四章 一元函数的导数及其应用第一节　导数的概念及其意义、导数的运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y'|x=x0.(2)函数y=f(x)的导函数2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).【微点拨】求曲线的切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,前者点P是切点,只有一条切线,而后者点P可以不是切点包括了前者.3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f'(x),g'(x)存在,则有[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0);[cf(x)]'=cf'(x).5.复合函数的定义及其导数(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【微点拨】在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是(　　)A.f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率B.函数f(x)=sin (-x)的导数f'(x)=cos xC.求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0)D.曲线y=f(x)在某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义是相同的【解析】选BCD.2.(2023·全国甲卷)曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为(　　)A.y=e4x B.y=e2x　C.y=e4x+e4 D.y=e2x+3e4【解析】选C.设曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为y-e2=k(x-1),因为y=exx+1,所以y'=ex(x+1)-ex(x+1)2=xex(x+1)2,所以k=e4,所以y-e2=e4(x-1),所以曲线y=exx+1在点(1,e2)处的切线方程为y=e4x+e4.3.(选择性必修二·P81T6·变形式)已知函数f(x)满足f(x)=f'(π4)cos x-sin x,则f'(π4)= 1-2. 【解析】f'(x)=-f'(π4)sin x-cos x,令x=π4,得f'(π4)=-22f'(π4)-22,解得f'(π4)=1-2.4.(混淆在点P处的切线和过P点的切线)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a的值为1e;b的值为-1. 【解析】y'=aex+ln x+1,所以ae+1=2,ae=2+b,解得a=1e,b=-1.【巧记结论·速算】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.【即时练】1.已知函数f(x)满足以下三个条件:①f(x)的导函数f'(x)为奇函数;②f(0)≠0;③在区间[-2,-1]上单调递增,则f(x)的一个解析式为f(x)= -x2+1(答案不唯一). 【解析】由条件①知f(x)为偶函数,可设f(x)=ax2+c,因为f(0)≠0,所以c≠0,又f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,所以af'(2) B.f'(3)0)得y'=2ax,由y=ex得y'=ex.设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点(x2,ex2),则2ax1=ex2=ex2-ax12x2-x1,可得2x2=x1+2,所以a=ex12+12x1.因为a>0,所以x1>0,记f(x)=ex2+12x(x>0),则f'(x)=ex2+1(x-2)4x2,当x∈(0,2)时,f'(x)