2025届高考数学一轮复习教师用书拓展拔高6双变量问题讲义（Word附解析）

拓展拔高6　双变量问题【高考考情】近几年,在高考试题中常涉及“双变量”或“双参”问题,试题常常出现在“压轴题”的位置.这类试题不仅形式多样,而且联系的知识面较广,构造思维要求较高,因此具有很好的区分度.【解题关键】一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量满足的关系式,并把含双变量问题转化为含单变量的问题;二是巧妙构造函数,并借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.视角一　利用双变量的关系化为单变量[例1](2023·长春模拟)已知f(x)=12x2-2x+2aln x有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)>-3.【切入点】x1,x2是函数f(x)的两个不等的极值点,则x1,x2是方程f'(x)=0的两个不等实根,由根与系数的关系可得x1,x2之间的关系,由此可利用替换法将双变量化为单变量.【证明】f'(x)=x-2+2ax=x2-2x+2ax(x>0).因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,所以方程x2-2x+2a=0有两个正根x1,x2.所以x1+x2=2,x1·x2=2a>0,且Δ=4-8a>0,解得0h(12)=-3, 所以f(x1)+f(x2)>-3. 【思维升华】 当出现双变量时,若能将双变量中所有变量统一用一个变量来替换,这样就将双变量问题转化为我们熟知的单变量问题,从而为我们的解题带来方便. 视角二　作比整体代换法 [例2]已知函数f(x)=xln x-12ax2-x,a∈R.若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1e2. 【切入点】可以通过两边取对数将问题转化为ln x1+ln x2>2.由导数对应方程的根x1,x2,可得ln x1-ax1=0,ln x2-ax2=0.通过两式相加减得到ln x1+ln x2x1+x2=ln x2-ln x1x2-x1.这样可以通过换元,设t=x2x1,构造一元变量函数求解. 【证明】要证x1x2>e2,只需证ln x1+ln x2>2. f(x)的两个极值点x1,x2,即函数f'(x)的两个零点.因为f'(x)=ln x-ax, 所以x1,x2是方程f'(x)=0的两个不同实数根. 于是ln x1-ax1=0,ln x2-ax2=0. 两式相加,整理得a=ln x1+ln x2x1+x2. 两式相减,整理得a=ln x1-ln x2x1-x2. 因此ln x1+ln x2x1+x2=ln x2-ln x1x2-x1. 于是ln x1+ln x2=(ln x2-ln x1)(x2+x1)x2-x1=(1+x2x1)ln x2x1x2x1-1, 又01.因此ln x1+ln x2=(1+t)lntt-1(t>1).要证ln x1+ln x2>2,即证(1+t)lntt-1>2(t>1).设g(t)=ln t-2(t-1)t+1(t>1),g'(t)=1t-2(t+1)-2(t-1)(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0,所以g(t)在(1,+∞)上单调递增.g(t)>g(1)=0.于是,当t>1时,有ln t>2(t-1)t+1,所以ln x1+ln x2>2成立,即x1x2>e2.【思维升华】　对含参数的双变量不等式的证明,一般要利用条件消去参数,把所证明的不等式化为仅含x1,x2的式子,通过运算,构造t=x1x2,t=x1x2,t=x1-x2等为变量的新函数,利用这个新函数的性质解决.视角三　分离构造法微切口1:若两个变量能分离[例3]已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1,若a<-1,对∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.【切入点】由|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|想到利用单调性去掉绝对值符号,分离两个变量,得到f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,根据特征构造函数g(x)=f(x)+4x,再利用导数求解.【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a+1x+2ax.当a<-1时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.不妨设x1≥x2,从而对∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,①令g(x)=f(x)+4x,则g'(x)=a+1x+2ax+4,①等价于g(x)在(0,+∞)上单调递减,即a+1x+2ax+4≤0,从而a≤-4x-12x2+1=(2x-1)2-4x2-22x2+1=(2x-1)22x2+1-2,故a的取值范围为(-∞,-2].微切口2:若两个变量不能分离[例4]已知函数f(x)=ln x,(1)求函数g(x)=(x2+1)f(x)-2x+2(x≥1)的最小值;(2)当02a(b-a)a2+b2.【切入点】对于第(2)问,根据(1)中的结论可得,ln x>2(x-1)x2+1,将两个变量合二为一,令x=ba,代入其中求解.【解析】(1)g'(x)=2xln x+x2+1x-2=2xln x+x+1x-2.因为x≥1,所以g'(x)≥0,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=0.(2)由(1)知,当x>1时,g(x)>0,所以(x2+1)ln x>2(x-1),即ln x>2(x-1)x2+1.令x=ba,则ln ba>2(ba-1)ba2+1=2a(b-a)a2+b2,所以f(b)-f(a)>2a(b-a)a2+b2.【思维升华】　对于双变量问题,若两个变量地位均等,相互独立,能分离,则分离构造一元函数;如不能分离,则合二为一,构造一元函数.视角四　主元构造法[例5]已知函数f(x)=aex-ln x-1,求证:当a≥1e时,f(x)≥0.【切入点】本题先将f(x)视为关于参数a的一次函数,利用函数单调性将参数消掉,进而转化为关于x的单变量问题求解.【证明】令h(a)=aex-ln x-1,则h(a)在[1e,+∞)上单调递增,所以h(a)min=h(1e).要证f(x)≥0,只需证h(a)≥0,即证h(a)min=h(1e)=ex-1-ln x-1≥0.构造函数g(x)=ex-1-ln x-1,则g'(x)=ex-1-1x在(0,+∞)上单调递增.注意到g'(1)=0,所以当01时,g'(x)>0.故g(x)min=g(1)=0,g(x)≥0,即ex-1-ln x-1≥0,所以当a≥1e时,f(x)≥0.【思维升华】当问题中含有变量较多且变量之间互不影响时,可以选择一个量作为主元,并以此为线索解决问题,这样的方法叫做主元法.对于含有参数的函数不等式证明,巧妙设置主元,将参数消掉,进而转化为单变量问题来处理,可以使问题化繁为简.视角五　切线法[例6]已知不等式ex-(a+2)x≥b-2,则b-5a+2的最大值为(　　)A.-1ln3 B.-ln 3 C.1e3 D.e3【切入点】由题意可转化为ex≥(a+2)x+b-2恒成立.设直线与指数函数的切点坐标为(x0,ex0),可得到b-5a+2=1-x0-3ex0,构造函数解决.【解析】选B.由题意知ex≥(a+2)x+b-2恒成立,可构造函数f(x)=ex,y=(a+2)x+b-2.设直线与指数函数的切点坐标为(x0,ex0),则ex≥ex0·x+ex0-x0ex0.因此a+2=ex0,b-2=(1-x0)ex0.则b-5a+2=(1-x0)ex0-3ex0=1-x0-3ex0.令g(t)=1-t-3et,则g'(t)=-1+3et.令g'(t)=0,则t=ln 3,g(t)max=g(ln 3)=-ln 3.【思维升华】将不等式转化为两个函数的不等关系,辅助以几何关系,如常见的ex≥x+1,ln x≤x-1等,直观分析曲线间的位置关系,再利用切线解决问题.