2025届高考数学一轮复习教师用书第四章第四节第2课时导数的函数零点问题讲义（Word附解析）

第2课时　导数的函数零点问题【命题分析】函数零点问题在高考中占有很重要的地位,主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查基本初等函数、三次函数与复合函数的零点问题,以及函数零点与其他知识的交汇问题,一般作为解答题的压轴题出现.【核心考点·分类突破】题型一　利用导数探究函数的零点个数[例1]设函数f(x)=ln x+mx,m∈R,讨论函数g(x)=f'(x)-x3零点的个数.【解析】由题意知g(x)=f'(x)-x3=1x-mx2-x3(x>0),令g(x)=0,得m=-13x3+x(x>0).设φ(x)=-13x3+x(x>0),则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1).当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)23时,函数g(x)无零点;②当m=23时,函数g(x)有且只有一个零点;③当00,解得x>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)方法一:当a≤0时,f'(x)=ex-a>0恒成立,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,不符合题意;当a>0时,令f'(x)=0,解得x=ln a,当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)0,故u(b)在(1,+∞)上单调递增,故u(b)>u(1)=e-2>0,故S(b)>0,故S(x)=ex-x-b有两个不同的零点.设T(x)=x-ln x-b,T'(x)=x-1x,当00,故T(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以T(x)min=T(1)=1-b.当b0,T(x)无零点;当b=1时,T(x)min=1-b=0,T(x)有1个零点;当b>1时,T(x)min=1-b0,T(eb)=eb-2b>0,所以T(x)=x-ln x-b有两个不同的零点.综上可知,当b1时,直线y=b与曲线y=f(x)和y=g(x)的交点个数都是2.(2)由f(x)=g(x)得ex-x=x-ln x,即ex+ln x-2x=0,设h(x)=ex+ln x-2x,其中x>0,故h'(x)=ex+1x-2.设s(x)=ex-x-1,x>0,则s'(x)=ex-1>0,故s(x)在(0,+∞)上单调递增,故s(x)>s(0)=0,即ex>x+1,所以h'(x)>x+1x-1≥2-1>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,而h(1)=e-2>0,h(1e3)=e1e3-3-2e3