2025届高考数学一轮复习教师用书第四章第三节导数与函数的极值、最值讲义（Word附解析）

第三节　导数与函数的极值、最值【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的极值与导数【微点拨】①函数的极大值和极小值都可能有多个,极大值和极小值的大小关系不确定.②对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【微点拨】函数的最值是对定义域而言的整体概念,而极值是局部概念,在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最值最多有一个,并且有最值的未必有极值;有极值的未必有最值.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是(　　)A.对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为极值点B.函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值C.函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值D.函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值【解析】选AC.2.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+bx取得最大值-2,则f'(2)=(　　)A.-1 B.-12 C.12 D.1【解析】选B.因为函数fx的定义域为(0,+∞),所以依题可知,f1=-2,f'1=0,而f'x=ax-bx2,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f'x=-2x+2x2,因此函数fx在0,1上单调递增,在1,+∞上单调递减,当x=1时取最大值,满足题意,即有f'2=-1+12=-12.3.(选择性必修二·P98T6·变形式)已知f(x)=x3-12x+1,x∈[-13,1],则f(x)的最大值为13427,最小值为-10. 【解析】f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),因为x∈[-13,1],所以f'(x)<0,故f(x)在[-13,1]上单调递减,所以f(x)的最大值为f(-13)=13427,最小值为f(1)=-10.4.(忽视极值的存在条件)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1处取得极值10,则a=4,b=-11. 【解析】f'(x)=3x2+2ax+b,依题意得f(1)=10,f'(1)=0,即a2+a+b=9,2a+b=-3,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.经验证,当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,所以a=-3,b=3不符合题意,舍去.当a=4,b=-11时,符合题意.【核心考点·分类突破】考点一　利用导数求函数的极值问题【考情提示】函数极值是导数在研究函数中的一个重要应用,在高考中也是重点考查的内容,主要考查导数与函数单调性、极值或方程、不等式的综合应用,既有选择题、填空题,也有解答题.角度1 根据导函数图象判断极值[例1](多选题)(2023·石家庄模拟)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则(　　)A.-3是函数y=f(x)的极值点B.-1是函数y=f(x)的极小值点C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增D.-2是函数y=f(x)的极大值点【解析】选AC.根据导函数的图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0,所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确.因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值点,所以B错误,C正确,D错误.角度2 已知函数解析式求极值或极值点[例2](1)(2023·西安模拟)已知f(x)=3xex,则f(x)(　　)A.在(-∞,+∞)上单调递增B.在(-∞,1)上单调递减C.有极大值3e,无极小值D.有极小值3e,无极大值【解析】选C.因为f(x)=3xex,所以f'(x)=3·ex-3x·exe2x=3(1-x)ex,当x>1时,f'(x)<0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,故A错误;当x<1时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,故B错误;当x=1时,f(x)=3xex取得极大值3e,无极小值,故C正确,D错误.(2)函数f(x)=1x+ln |x|的极值点为1. 【解析】当x>0时,f(x)=1x+ln x,所以f'(x)=-1x2+1x=x-1x2,所以当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当00在(0,+∞)上恒成立, 则函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点; 当a>0时,若x∈(0,1a),则f'(x)>0,若x∈(1a,+∞),则f'(x)<0,故函数在x=1a处有极大值.综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点,当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为1a.角度3 已知极值(点)求参数(规范答题)[例3](1)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则c的值为(　　)A.2 B.4 C.6 D.2或6【解析】选A.由题意,f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)·(3x-c),则f'(2)=(2-c)(6-c)=0,所以c=2或c=6.若c=2,则f'(x)=(x-2)(3x-2),当x∈(-∞,23)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(23,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,函数f(x)在x=2处有极小值,满足题意;若c=6,则f'(x)=(x-6)(3x-6),当x∈(-∞,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(2,6)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(6,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,函数f(x)在x=2处有极大值,不符合题意.综上,c=2.(2)(2023·南京模拟)已知函数f(x)=x(ln x-ax)在(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为(0,12). 【解析】f'(x)=ln x+1-2ax,由题意知ln x+1-2ax=0在(0,+∞)上有两个不相等的实根,则2a=lnx+1x,设g(x)=lnx+1x,则g'(x)=-lnxx2.当00,g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)的极大值为g(1)=1,又当x>1时,g(x)>0,当x→+∞时,g(x)→0,当x→0时,g(x)→-∞,所以0<2a<1,即00, …………[3分] 因而当0g'(0)=0,g(x)>g(0)=0,则有sin x>x-x2(00得函数的定义域是(-1,1).由f(x)=f(-x),得函数f(x)为偶函数,则f'(x)=-asin ax+2x1-x2为奇函数,f'(0)=0.f″(x)=-a2cos ax+2+2x2(1-x2)2为偶函数,f″(0)=2-a2.若2-a2=0,此时x=0是f(x)的极小值点,不符合题意,则2-a2≠0,即a≠±　2.若f(x)在x=0处取得极大值,那么该函数在x=0处是上凸的,因而f″(0)=2-a2<0,敲黑板　实际上,这里蕴含着“高观点”函数f(x)在x0处具有二阶导数,且f'(x0)=0,f″(x0)≠0,则f(x)在x0处取得极大值的充分条件为f″(x0)<0.则a<-　2或a>　2. …………[6分]当a>　2时,取00, 因而关于x的方程f'(x)=0在0,1a上有唯一解x0, 当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈x0,1a时,f'(x)>0,f(x)单调递增,由f(x)是偶函数且连续,得当x∈(-x0,0)时f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取极大值. …………[9分]拓展思维　也可利用f'(x)为奇函数且连续,得x∈(-x0,0)时f'(x)>0,进而判断极值点.当a<-　2时,取1a0(舍). 易错警示　注意此时的前提条件a<0,所以x=-　a2-2a>0要舍去,这里要细心观察,避免出现错误. 因而f(x)在(　a2-2a,0) (若　a2-2a<1a, 则取区间1a,0)上单调递增, 由f(x)为偶函数,得f(x)在(0,-　a2-2a)上单调递减,结合函数f(x)连续得f(x)在x=0处取极大值. …………[11分] 综上所述,a<-　2或a>　2满足题意. 所以a的取值范围为-∞,-2∪2,+∞. …………[12分] 【解题技法】 1.由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点 (1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点. (2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)解方程f'(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧导数值的符号;(5)求出极值. 3.已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 【对点训练】 1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(x-1)f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3) B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3) C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3) D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3) 【解析】选D.由题图知,当x∈(-∞,-3)时,y>0,x-1<0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-3,1)时,y<0,x-1<0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,y<0,x-1>0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减.所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).2.(2023·长沙模拟)若1是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极大值为5e-3. 【解析】因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1,可得f'(x)=ex-1[x2+(a+2)x+a-1],因为1是函数f(x)的极值点,故可得f'(1)=0,即2a+2=0,解得a=-1.此时f'(x)=ex-1(x2+x-2)=ex-1(x+2)(x-1).由f'(x)>0可得x<-2或x>1;由f'(x)<0可得-20时,g'(x)<0;当x<0时,g'(x)>0, 所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. 分别作出函数g(x)=x+1ex与y=12a的图象,如图所示, 由图可知,0<12a<1,解得a>12, 所以实数a的取值范围为(12,+∞). 2.(2023·岳阳模拟)已知函数f(x)=cos x-ax2,其中a∈R. (1)当a=-2π时,求曲线y=f(x)在x=π2处的切线方程; (2)若函数f(x)在(-π,π)上恰有两个极小值点x1,x2,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=-2π时,f(x)=cos x+2πx2, 则f'(x)=-sin x+4πx, 所以f(π2)=π2,f'(π2)=1, 所以曲线y=f(x)在x=π2处的切线方程为y-π2=x-π2,即y=x. (2)因为f(-x)=cos (-x)-a(-x)2=cos x-ax2=f(x),所以f(x)是(-π,π)上的偶函数. 因为函数f(x)在(-π,π)上恰有两个极小值点, 所以函数f(x)在(0,π)上恰有一个极小值点. 不妨设x1>0,f'(x)=-sin x-2ax, 令g(x)=-sin x-2ax, 则g'(x)=-cos x-2a. (ⅰ)当a≥0时,f'(x)<0, 则f(x)在(0,π)上单调递减,无极小值; (ⅱ)当a≤-12时,g'(x)>0, 则f'(x)在(0,π)上单调递增, 所以f'(x)>f'(0)=0. 则f'(x)>0,此时f(x)在(0,π)上单调递增,无极小值; (ⅲ)当-120, 所以f'(x)在(x0,π)上单调递增. 因为f'(0)=0,f'(π)=-2aπ>0,由零点存在定理知存在x1∈(x0,π),使得f'(x1)=-sin x1-2ax1=0,当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,x1)上单调递减,当x∈(x1,π)时,f'(x)>0,所以f(x)在(x1,π)上单调递增,所以函数f(x)在(0,π)上恰有一个极小值点x1.所以函数f(x)在(-π,π)上恰有两个极小值点.综上所述,a的取值范围为(-12,0).考点二　利用导数求函数最值问题[例4](1)(2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为(　　)A.-π2,π2 B.-3π2,π2C.-π2,π2+2 D.-3π2,π2+2【解析】选D.f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x,所以在区间(0,π2)和(3π2,2π)上f'(x)>0,即f(x)单调递增;在区间(π2,3π2)上f'(x)<0,即f(x)单调递减,又f(0)=f(2π)=2,f(π2)=π2+2,f(3π2)=-(3π2+1)+1=-3π2,所以f(x)在区间0,2π上的最小值为-3π2,最大值为π2+2.(2)设函数f(x)=x-2a,x≤0,lnx,x>0,若f(x1)=f(x2)(x10时,f'(x)>0;当-20,解得a∈[-3,0).2.已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.(1)若a=-1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f(x)=-x+ln x,f'(x)=-1+1x=1-xx,令f'(x)=0,得x=1.当00;当x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=-1.所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为-1.(2)f'(x)=a+1x,x∈(0,e]时,1x∈[1e,+∞).①若a≥-1e,则f'(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上单调递增,所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合题意.②若a<-1e,令f'(x)>0得a+1x>0,结合x∈(0,e],解得00,且r>0,可得00,故V(r)在(0,5)上单调递增; 当r∈(5,53)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,53)上单调递减. 由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8, 即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大. 【解题技法】 利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤 【对点训练】 一个圆柱形圆木的底面半径为1 m,长为10 m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上),设∠BOC=θ,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2). (1)求V关于θ的函数解析式; (2)求当体积V最大时θ的值; (3)问:当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由. 【解析】(1)梯形ABCD的面积S梯形ABCD=2cosθ+22·sin θ=sin θcos θ+sin θ,θ∈(0,π2). V=10(sin θcos θ+sin θ),θ∈(0,π2). (2)V'=10(2cos 2θ+cos θ-1) =10(2cos θ-1)(cos θ+1). 由θ∈(0,π2),得cos θ∈(0,1). 令V'=0,得cos θ=12或cos θ=-1(舍). 所以θ=π3. 当θ∈(0,π3)时,120, V=10(sin θcos θ+sin θ)单调递增; 当θ∈(π3,π2)时,00,右侧f'(x)<0在点x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点类型辨析改编易错高考题号1342A反例f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.×C反例f(x)=x2在区间(-1,2)上的最小值为0.×x(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-f(x)单调递增ln2-1单调递减①思路:通过构造函数并借助导数得到单调性,进而证明不等式②思路:通过第①问铺设好的不等式,利用导数讨论函数的单调性,进而得到极值