2023-2024学年广东省汕头市龙湖区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省汕头市龙湖区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列根式中，最简二次根式的是( )
A. 12B. 4C. 7D. 8
2.若直线y=kx(k是常数，k≠0)经过第一、第三象限，则k的值可为( )
A. −2B. −1C. −12D. 2
3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是( )
A. OA=OB
B. OA⊥OB
C. OA=OC
D. ∠OBA=∠OBC
4.下列计算中，正确的是( )
A. 3+ 2= 5B. 3 2− 2=3C. 4× 3=2 3D. 6÷ 3=2
5.清溪中学在劳动基地开展主题为“春种秋收”的劳动教育活动，九年级(1)班师生共参与了剪枝、锄地、除草、浇水、施肥五项实践活动，已知五个项目的参与人数分别是12，7，9，11，11，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 11，9B. 10，9C. 10，11D. 11，11
6.如图，数轴上点A、B、C表示的数分别为−4，−2和3，点O为原点，则以OA、OC、BC为边长构造三角形，则构造的三角形为( )
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
7.为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程.该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔A，B两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如图，先在湖边地面上确定点O，再用卷尺分别确定OA，OB的中点C，D，最后用卷尺量出CD=10m，则A，B之间的距离是( )
A. 5mB. 10mC. 15mD. 20m
8.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C=10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为( )
A. 13.5尺B. 14尺C. 14.5尺D. 15尺
9.对于某个一次函数y=kx+b(k≠0)，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是( )
A. k>0B. kb<0C. k+b>0D. k=−12b
10.如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF= 2，AB=3，下列结论：①∠COD=45∘；②AE=5；③CF=BD= 17；④△COF的面积是32.其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知x为正整数，写出一个使 x−4在实数范围内没有意义的x值是______.
12.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，记录每人10次射击成绩，得到各人的射击成绩平均数和方差如表中所示，则成绩最稳定的是______.
13.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E，若∠A=60∘，则∠DEB的大小为______.
14.如图，直线y=x+2与直线y=ax+4相交于点P(m,3)，则关于x的不等式x+215.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB=8，AD=DE=10，则BF的长为______.
16.如图，一次函数y=2x+2的图象为直线l，菱形AOBA1，A1O1B1A2，A2O2B2A3，…按图中所示的方式放置，顶点A、A1、A2、A3、…均在直线l上，顶点O，O1，O2，…均在x轴上，则点B2024的纵坐标是______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：( 24− 50)÷ 2−6 13.
18.(本小题5分)
一次函数y=kx+b图象经过(3,1)，(2,0)两点.
(1)求此一次函数表达式；
(2)当x=6时，求y的值.
19.(本小题6分)
如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC.
(1)利用直尺和圆规作AC边上的中线BM(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)延长BM到D，使MD=MB，连接AD，CD.
求证：四边形ABCD是菱形.
20.(本小题7分)
跳绳是某校体育活动的特色项目.体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试(单位：次)，数据如下：
100 110 114 114 120 122 122 131 144 148
152 155 156 165 165 165 165 174 188 190
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：a=______，b=______；
(2)学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
(3)某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由.
21.(本小题7分)
如图，以△ABC一边为直角边构造Rt△ACD，且DC=5，AB=2，BC= 29，∠D=45∘.
(1)求证：△ABC为直角三角形．
(2)若点P为AC上一动点，连接BP，DP，求BP+DP最小值．
22.(本小题9分)
如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.
(1)求证：AD=AF；
(2)若AD=6，AB=3，∠A=120∘，求BF的长和△ADF的面积.
23.(本小题9分)
端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同.
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个(两种都有)，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元.
①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
24.(本小题12分)
用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD，P是线段DC上的动点(点P不与点D和点C重合)，在射线BP上取一点M，连接DM，CM，使∠CDM=∠CBP.
(1)如图1，调整菱形ABCD，使∠A=90∘，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使BN=DM，连接CN，则∠BMC=______ ∘，MCMN=______；
操作探究二
(2)如图2，调整菱形ABCD，使∠A=120∘，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使BN=DM，连接CN，求证：MN= 3MC；
拓展迁移
(3)在菱形ABCD中，∠A=120∘，AB=3 2.若点P在射线CD上，点M在射线BP上，且当∠CDM=∠PBC=45∘时，请直接写出MD的长.
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=kx+b经过点B，且与x轴交于点C(−6,0).
(1)求直线BC的表达式；
(2)点E为射线BC上一点，过点E作EF//x轴交AB于点F，且EF=7，设点E的横坐标为m.
①求m的值；
②在y轴上取点M，在直线BC上取点N，在平面内取点Q，使得点E，M，N，Q构成的四边形是以EN为对角线的正方形，直接写出此正方形的面积.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 12= 22，故A不符合题意；
B、4不是二次根式，故B不符合题意；
C、 7是最简二次根式，故C符合题意；
D、 8=2 2，故D不符合题意；
故选：C.
根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵直线y=kx(k是常数，k≠0)经过第一、第三象限，
∴k>0.
故选：D.
正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过第一、三象限，则k>0.
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
故选：C.
由平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A. 3与 2不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B.3 2− 2=(3−1) 2=2 2，故此选项错误，不符合题意；
C. 4× 3=2 3，正确，符合题意；
D. 6÷ 3= 2，故此选项错误，不符合题意．
故选：C.
直接根据二次根式的运算法则进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵这组数据中出现次数最多的是11，
∴这组数据的众数是11，
把这组数据按从小到大的顺序排列为：7，9，11，11，12，
∵中间的数是11，
∴这组数据的中位数是11.
故选：D.
分别根据众数和中位数的意义求出这组数据的众数和中位数即可解决问题．
本题主要考查众数和中位数的意义，熟练掌握求众数和中位数的方法是解决问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：依题意，OA=4，OC=3，BC=3−(−2)=5，
∴OA2+OC2=BC2，
∴以OA、OC、BC为边长构造三角形，则构造的三角形为直角三角形．
故选：A.
根据数轴求得OA=4，OC=3，BC=5，根据勾股定理逆定理即可求解．
本题考查了数轴上两点距离，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【解答】
解：∵C，D分别为OA，OB的中点，
∴CD是△ABO的中位线，
∴AB=2CD，
∵CD=10m，
∴AB=20m，
故选：D.
【分析】
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设绳索有x尺长，则
102+(x+1−5)2=x2，
解得：x=14.5.
故绳索长14.5尺．
故选：C.
设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
9.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不经过第二象限，函数图象经过点(2,0)，
∴函数图象经过第一、三、四象限，k=−12b
∴k>0，，b<0，
∴kb<0，
∴错误的是k+b>0.
故选：C.
根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y=kx+b中，k与b对函数图象的影响是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意得：∠COE=90∘，∠DOE=45∘，
∴∠COD=45∘，故①正确；
∵EF= 2，
∴OE=2，
∴AE=5，故②正确；
连接DF交OE于点P，
由题意得：OP=DP=1，
∴AD= AP2+DP2= 17，
∵∠AOC=∠DOF，
∴∠AOD=∠COF，
∵AO=CO，DO=FO，
∴△AOD≌△COF(SAS)，
∴CF=AD= 17，故③错误；
∵△AOD≌△COF，
∴S△COF=S△AOD=12⋅AO⋅DP=32，故④正确；
故选：C.
连接DF交OE于点P，根据正方形的性质可求出OP、PE、DP，再根据“手拉手”模型证明△AOD≌△COF，即可判断各个选项的正误．
本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形边、角、对角线的性质是解题关键．
11.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：当 x−4在实数范围内没有意义时，x−4<0，
解得：x<4，
∴当x为正整数3时， x−4在实数范围内没有意义，
故答案为：3(答案不唯一).
根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】丁
【解析】解：∵S甲2=0.60，S乙2=0.62，S丙2=0.50，S丁2=0.44，
∴S丁2∴丁同学的成绩较稳定．
故答案为：丁．
直接利用方差的意义进行判断．
本题考查方差的定义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
13.【答案】120∘
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠A+∠ABC=180∘，
∵∠A=60∘，
∴∠ABC=120∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=60∘，
∵AB//CD，
∴∠ABE+∠DEB=180∘，
∴∠DEB=120∘，
故答案为：120∘.
由平行四边形的性质得AD//BC，AB//CD，再由平行线的性质求得∠ABC=120∘，又由角平分线定义得∠ABE=60∘，即可由平行线的性质求得∠DEB度数．
本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14.【答案】x<1
【解析】解：点P(m,3)代入y=x+2，
∴m=1，
∴P(1,3)，
结合图象可知关于x的不等式x+2故答案为：x<1.
将点P(m,3)代入y=x+2，求出点P的坐标，结合函数图象即可求得关于x的不等式x+2本题是两条直线相交问题，考查一次函数与一元一次不等式，将一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=DE=10，
∴∠ABC=∠C=90∘，CD=AB=8，BC=AD=10，
∴CE= DE2−CD2= 102−82=6，
∴BE=BC−CE=10−6=4，
∴AE= AB2+BE2= 82+42=4 5，
∵点F是AE的中点，
∴BF=12AE=12×4 5=2 5，
故答案为：2 5.
由矩形的性质得∠ABC=∠C=90∘，CD=AB=8，BC=AD=10，而DE=10，所以CE= DE2−CD2=6，则BE=BC−CE=4，所以AE= AB2+BE2=4 5，则BF=12AE=2 5，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地求出CE的长是解题的关键．
16.【答案】22024
【解析】解：∵一次函数y=2x+2，
∴M(−1,0)，A1(0,2)，
∵四边形AOBA1是菱形，
∴A1O1与A1M关于y轴对称，OA1与AB互相垂直平分，
∴O1(1,0)，AB//x轴，且AB是△MA1O1的中位线，
∴B(12,1)，
同理，O1A2与A1B1互相垂直平分，
把x=1代入y=2x+2得y=4，
∴A2(1,4)，
∵O1A2垂直平分A1B1，
∴O2(3,0)，B1(2,2)，
把x=3代入y=2x+2得y=8，
∴A3(3,8)，
∵O2A3垂直平分A2B2，
∴B2(5,4)，
∴Bn的纵坐标是：2n，
∴B2024的纵坐标为22024，
故答案为：22024.
首先求得直线的解析式与x、y轴的交点，然后根据菱形的性质求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
本题主要考查的是菱形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(2 6−5 2)÷ 2−6× 33
=2 3−5−2 3
=−5.
【解析】先化简各二次根式，再计算乘除法，继而计算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的性质．
18.【答案】解：(1)设一次函数解析式为y=kx+b，
把(3,1)，(2,0)代入得3k+b=12k+b=0，解得k=1b=−2，
所以一次函数解析式为y=x−2；
(2)当x=6时，y=x−2=6−2=4.
【解析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)利用(1)中解析式计算自变量为6所对应的函数值即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
19.【答案】解：(1)如下图：BM即为所求；
(2)由作图得：BM平分∠ABC，
∵AB=BC，
∴AM=CM，
∵BM=DM.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴▱ABCD是菱形．
【解析】(1)根据等腰三角形的选择作图；
(2)根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明．
本题考查了基本作图，掌握等腰三角形的性质及菱形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】165 150
【解析】解：(1)在被抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试成绩中，165出现的次数最多，故众数a=165；
把被抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是148，152，故中位数b=148+1522=150.
故答案为：165；150；
(2)240×720=84(名)，
答：估计七年级240名学生中，约有84名学生能达到优秀；
(3)超过年级一半的学生，理由如下：
∵152>150，
∴推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
(1)根据众数和中位数的定义解答即可；
(2)用总人数乘样本中1分钟跳绳165次及以上所占比例即可；
(3)根据中位数的意义解答即可．
本题考查众数、中位数以及用样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．
21.【答案】(1)证明：∵∠ACD=90∘，∠ADC=45∘，
∴∠CAD=45∘=∠ADC，
∴AC=CD=5，
∵AB=2，BC= 29，
∴AB2+AC2=29=BC2，
∴∠BAC=90∘，
∴△ABC为直角三角形；
(2)解：延长DC至M，使得DC=CM，连接PM，BM，过点B作BN⊥CD于点N，如图，
则CM=DC=5，PM=PD，
∵∠BAC=∠ACN=∠BNC=90∘，
∴四边形ABNC是矩形，
∴BN=AC=5，AB=CN=2，
∴BM= BN2+MN2= 52+72= 74，
∵BP+DP=BP+PM≥BM，
当B、P、M三点共线时，BP+PM取最小值为BP+PM=BM= 74，
∴BP+DP最小值为 74.
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理进行证明便可；
(2)延长DC至M，使得DC=CM，连接PM，BM，过点B作BN⊥CD于点N，则BN=AC=5，AB=CN=2，CM=DC=5，PM=PD，所以BP+DP=BP+PM≥BM，当B、P、M三点共线时，BP+PM取最小值为BP+PM=BM，求出此时的BM便可．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，两点之间线段最短性质，关键是确定BP+DP的最小是BM.
22.【答案】(1)证明：在▱ABCD中，∵AB//CD，
∴∠CDE=∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF，
(2)解：∵AD=AF=6，AB=3，
∴BF=AF−AB=3；
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，
∵∠BAD=120∘，
∴∠DAH=60∘，
∴∠ADH=30∘，
∴AH=12AD=3，
∴DH= AD2−AH2=3 3，
∴△ADF的面积=12AF⋅DH=12×6×3 3=9 3.
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠CDE=∠F，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠F=∠ADF，根据等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF，
(2)根据线段的和差得到BF=AF−AB=3；过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，根据直角三角形的性质得到AH=12AD=3，DH= AD2−AH2=3 3，根据三角形的面积公式即可得到△ADF的面积=12AF⋅DH=12×6×3 3=9 3.
本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为(x+2)元，
根据题意得：1000x=1200x+2，
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的根，
此时x+2=12，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
(2)①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，
根据题意得：W=(12−10)m+(15−12)(200−m)=2m+600−3m=−m+600，
∴W与m的函数关系式为W=−m+600；
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴m≥2(200−m)，
解得m≥4003，
②由①知，W=−m+600，−1<0，m为正整数，
∴当m=134时，W有最大值，最大值为466，
此时200−134=66，
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
【解析】(1)设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为(x+2)元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；
(2)①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，全部售完获得利润为W元，根据总利润=甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式，再根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围；
②结合m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．
本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和分式方程．
24.【答案】45 22
【解析】(1)解：∵在菱形ABCD中，∠A=90∘，
∴四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90∘，
在△BCN和△DCM中，
BC=DC∠CBN=∠CDM,BN=DM
∴△BCN≌△DCM(SAS)，
∴∠BCN=∠DCM，CN=CM，
∵∠BCN+∠DCN=∠BCD=90∘，
∴∠DCM+∠DCN=∠MCN=90∘，
∴△MCN是等腰直角三角形，
∴∠CMN=45∘，MN= 2CM，
∴∠CMB=45∘，CMMN= 22.
故答案为：45， 22；
(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=120∘，
∴BC=CD，∠BCD=∠A=120∘，
在△BCN和△DCM中，
BC=DC∠CBN=∠CDM,BN=DM
∴△BCN≌△DCM(SAS)，
∴∠BCN=∠DCM，CN=CM，
∵∠BCN+∠DCN=∠BCD=120∘，
∴∠DCM+∠DCN=∠MCN=120∘，
∵CM=CN，
∴∠CMN=∠CNM，
∵∠CMN+∠CNM+∠MCN=180∘，
∴∠CMN=∠CNM=180∘−∠MCN2=30∘，
如图，作CE⊥BP交BP于E，则ME=NE，∠CEM=90∘，
在Rt△CEM中，∠CME=30∘，∠CEM=90∘，
∴CE=12CM，
∴EM= CM2−CE2= CM2−(12CM)2= 32CM，
∴MN=2EM=2× 32CM= 3CM；
(3)解：当∠CDM=∠PBC=45∘时，如图，当点P在线段CD的延长线时，过点M作MF⊥CD于点F，连接AM，在射线BP上取一点N，使BN=DM，连接CN，如图所示，
同理可证明△BCN≌△DCM，
∴CN=CM，∠BCN=∠DCM，
设∠BCN=∠DCM=x，则∠MCN=120∘−2x，
∴∠CNM=∠CMN=180∘−(120∘−2x)2=x+30∘，
∵∠CNM=∠CBN+∠BCN，
∴45∘+x=x+30∘，不符合题意，
∴此时点M与点N重合，即如下图所示：
设MD=x，
∵MF⊥CD，∠CDM=45∘，
∴△DFM为等腰直角三角形，
∴DF=MF= 22x，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=120∘，AB=3 2，
∴BC=CD=3 2，∠BCD=120∘，
由菱形的对称性及∠CDM=∠PBC，可得∠MCF=∠BCM=12∠BCD=60∘，
在Rt△MCF中，∠MCF=60∘，∠MFC=90∘，
∴CF= 33MF= 66x，
∴DF+CF= 22x+ 66x=CD=3 2，
∴x=9−3 3，
∴MD=9−3 3.
(1)证明△BCN≌△DCM(SAS)，得到∠BCN=∠DCM，CN=CM，从而得到∠DCM+∠DCN=∠MCN=90∘，推出△MCN为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
(2)证明△BCN≌△DCM(SAS)，得到∠BCN=∠DCM，CN=CM，从而得到∠DCM+∠DCN=∠MCN=120∘，作CE⊥BP交BP于E，则ME=NE，∠CEM=90∘，根据含30∘角的性质及勾股定理得出EM= 32CM，从而得到MN=2EM= 3CM；
(3)当∠CDM=∠PBC=45∘时，过点M作MF⊥CD于点F，证明△DFM为等腰直角三角形，得到DF=MF= 22x，在Rt△MCF中，∠MCF=60∘，∠MFC=90∘，则CF= 33MF= 66x，可得DF+CF= 22x+ 66x=CD=3 2，解得x=9−3 3，据此可得答案．
本题考查相似形的综合应用，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理、菱形的性质、正方形的性质与判定、含30∘角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
25.【答案】解：(1)∵y=−x+8与y轴交于点B，
∴B(0,8).
又C(−6,0)，且y=kx+b经过B，C两点，
则b=8−6k+b=0，解得k=43b=8.
∴直线BC的表达式：y=43x+8；
(2)①∵点E为射线BC上一点，
∴E(m,43m+8)，
∵EF//x轴交AB于点F，
则yF=yE=43m+8.
∴43m+8=−xF+8，
∴xF=−43m，
∴F(−43m,−43m+8)，
又∵EF=7，
∴−43m−m=7，
解得：m=−3；
②由①知：E(−3,4).
当EN为正方形的对角线，点N在点E的右上方时，如图，
分别过点E，N作y轴垂线，垂足为K，H.
易得△EKM≌△MHN，则HM=EK=3，
令MK=x，则NH=x，BH=4−3−x=1−x.
在Rt△BNH中，NHBH=34.
即x1−x=34，解得x=37.
则EM2=32+(37)2=45049.
所以S正方形WMNQ=45049.
当EN为正方形的对角线，点N在点E的左下方时，如图，
方法同上，令NK=a，则HM=a，
又MK=EH=3，BH=4，则BK=a+7，
所以aa+7=34，解得a=21.
则MN2=32+212=450.
即S正方形QNME=450.
综上所述：正方形的面积为：45049或450.
【解析】(1)由点B是y=−x+8与y轴的交点，可求得其坐标，再由给定的C点坐标，利用待定系数法可求出直线BC的表达式；
(2)①分别表示出E，F的坐标，再根据EF=7建立方程，可求得m的值．
②由E，N两点在直线BC上，且点E为定点作为突破口，以EN为对角线分两类讨论，再结合正方形的性质，可解决问题．
本题第一问考查了待定系数法求一次函数表达式，第二问考查了用点的坐标表示线段长度以及正方形的性质，运用了分类讨论的数学思想解决问题．统计量
甲
乙
丙
丁
平均数
9.2
9.2
9.2
9.2
方差
0.60
0.62
0.50
0.44
平均数
众数
中位数
145
a
b