2023-2024学年广东省汕头市潮南区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年广东省汕头市潮南区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.当x=−1时，下列分式没有意义的是( )
A. x+1xB. xx−1C. x−1xD. xx+1
2.七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. (a2)3=a5B. a3⋅a3=a6C. a9÷a3=a3D. (ab)3=ab3
4.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.已知点M(3,−1)关于y轴的对称点N的坐标是(a+b,1−b)，则ab的值为( )
A. 10B. 25C. −3D. 32
6.如图，在△ABC中，∠A=70∘，∠C=30∘，BD平分∠ABC交AC于点D，DE//AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是( )
A. 30∘
B. 40∘
C. 50∘
D. 60∘
7.若x+m与2-x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为( )
A. -2B. 2C. 0D. 1
8.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )
A. 8B. 6C. 5D. 4
9.若n−m=2，则代数式m2−n2m⋅2mm+n的值是( )
A. −2B. 2C. −4D. 4
10.如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP=AQ=4，QD=3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为( )
A. 7
B. 8
C. 10
D. 12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将0.000000000148用科学记数法表示为__________.
12.已知a=7−3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为______.
13.一个三角形的两边长分别是3和8，第三边为奇数，那么第三边长是______.
14.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是______.
15.若分式方程3x−ax2−2x+1x−2=2x有增根，则实数a的值是______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：xx−1−2x=1.
四、解答题：本题共9小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(−12)−2−(−23)2022×(32)2023−22+(3−π)0.
18.(本小题6分)
计算：a(2a+3b)+(a−b)2.
19.(本小题6分)
如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(2,3)，C(1,2)，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标.
20.(本小题7分)
如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB=DE.
(1)求证：DE//BC；
(2)若∠A=65∘，∠AED=45∘，求∠EBC的度数.
21.(本小题7分)
接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂.为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂.
(1)求该厂当前参加生产的工人有多少人？
(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时.若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
22.(本小题7分)
校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB=CD=2米，AD=BC=3米，∠B=30∘.
(1)求证：△ABC≌△CDA；
(2)求草坪造型的面积．
23.(本小题10分)
八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a−3ab−4+6b因式分解.
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式=(2a−3ab)−(4−6b)=a(2−3b)−2(2−3b)=(2−3b)(a−2).
解法二：原式=(2a−4)−(3ab−6b)=2(a−2)−3b(a−2)=(a−2)(2−3b).
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)
【类比】(1)请用分组分解法将x2−a2+x+a因式分解；
【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a2−2ab−bx+b2因式分解；
(3)若a2+b2=9，a−b=2，请用分组分解法先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，再求值.
24.(本小题10分)
如图，已知：在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120∘，将一块足够大的直角三角尺PMN(∠M=90∘,∠MPN=30∘)按如图放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D.
(1)当PN//BC时，判断△ACP的形状，并说明理由；
(2)点P在滑动时，当AP长为多少时，△ADP与△BPC全等，并说明理由；
(3)点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．
25.(本小题10分)
在等边△ABC的顶点A，C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D，E处，请问：
(1)如图1，爬行过程中，CD和BE的数量关系是______；
(2)如图2，当蜗牛们分别爬行到线段AB，CA的延长线上的D，E处时，若EB的延长线与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小将会保持不变，请你证明：∠CQE=60∘；
(3)如图3，如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着线段BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，求证：DF=EF.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、当x=−1时，分式x+1x有意义，本选项不符合题意；
B、当x=−1时，x−1=−2≠0，分式xx−1有意义，本选项不符合题意；
C、当x=−1时，分式x−1x有意义，本选项不符合题意；
D、当x=−1时，x+1=0，分式xx+1无意义，本选项符合题意；
故选：D.
根据分式无意义的条件是分母等于零判断即可．
本题考查的是分式无意义的条件，熟记分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，
B、不是轴对称图形，不符合题意，
C、不是轴对称图形，不符合题意，
D、是轴对称图形，符合题意，
故选：D.
根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．
本题考查了轴对称图形的定义，正确理解定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵(a2)3=a6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
B.∵a3⋅a3=a6，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；
C.∵a9÷a3=a6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
D.∵(ab)3=a3b3，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B.
A.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
B.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
C.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
D.根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘除法则、幂的乘方法则和积的乘方法则．
4.【答案】C
【解析】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)⋅180∘，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
解：根据多边形的外角和是360∘，n边形的内角和是(n−2)⋅180∘.
设这个多边形是n边形，
根据题意得(n−2)×180∘=2×360∘，
解得n=6，
即这个多边形为六边形．
故选：C.
5.【答案】B
【解析】【分析】
直接利用关于y轴对称点的性质，得出关于a，b的方程组进而得出答案。
【解答】
解：∵点M(3,−1)关于y轴的对称点N的坐标是(a+b,1−b)
∴a+b=−31−b=−1
解得：a=−5b=2
故ab的值为(−5)2=25
故选B。
6.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠A=70∘，∠C=30∘，
∴∠ABC=180∘−∠A−∠C=80∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=12∠ABC=40∘，
∵DE//AB，
∴∠BDE=∠ABD=40∘，
故选：B.
根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线定义求出∠ABD，根据平行线的性质得出∠BDE=∠ABD即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
7.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据多项式乘以多项式的法则，可表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，计算即可．
【解答】
解：根据题意得：
(x+m)(2−x)=2x−x2+2m−mx=−x2+(2−m)x+2m，
∵x+m与2−x的乘积中不含x的一次项，
∴m=2；
故选：B.
8.【答案】C
【解析】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF=DE=2，
∴△BCE的面积=12×BC×EF=12×5×2=5.
故选：C.
作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF=DE=2，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵n−m=2，
∴m−n=−2，
原式=(m+n)(m−n)m⋅2mm+n
=2(m−n)
=−2(n−m)
=−2×2
=−4.
故选：C.
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m−n=−2代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，∵△ABC是等边三角形，D为AC中点，
∴BA=BC，AD=CD，
∴BD⊥AC，
∵AQ=4，QD=3，
∴AD=DC=AQ+QD=7，
∴AC=AB=2AD=14.
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE=PE+EQ′=PQ′，
∵AQ=4，AD=DC=7，
∴QD=DQ′=3，
∴CQ′=BP=4，
∴AP=AQ′=10，
∵∠A=60∘，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′=PA=10，
∴PE+QE的最小值为10.
故选：C.
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE=PE+EQ′=PQ′，
本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最小值问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
11.【答案】1.48×10−10
【解析】【分析】
此题考查科学记数法表示绝对值较小的数的方法，准确确定n的值是解决问题的关键．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．
【解答】
解：0.000000000148=1.48×10−10.
故答案为：1.48×10−10.
12.【答案】49
【解析】解：∵a=7−3b，
∴a+3b=7，
∴a2+6ab+9b2
=(a+3b)2
=72
=49，
故答案为：49.
先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．
本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键，注意：(a+b)2=a2+2ab+b2.
13.【答案】7或9
【解析】解：设第三边长x.
根据三角形的三边关系，得5又∵三角形的第三边长是奇数，
∴满足条件的数是7或9.
故答案为：7或9.
根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边是奇数求得第三边的长．
本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关系，还要注意奇数这一条件．
14.【答案】15
【解析】解：∵DE是BC的垂直平分线．
∴BD=CD，
∴AC=AD+CD=AD+BD，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AC=6+9=15，
故答案为：15.
根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，即可求解．
本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15.【答案】4或8
【解析】解：∵3x−ax2−2x+1x−2=2x，
∴3x−ax2−2x+xx2−2x=2(x−2)x2−2x，
当x2−2x≠0时，
原式化为3x−a+x=2x−4，
∴2x=a−4，
∵分式方程有增根，
∴x=0或x=2，
当x=0时，a=4；
当x=2时，a=8.
故答案是4或8.
对分式方程3x−ax2−2x+1x−2=2x进行正常求解，化简为2x=a−4，当x=0或x=2时，分式方程有增根，在x=0和x=2时，分别求出a的值即可．
考查知识点：分式方程的解法；分式方程增根情况．能够正确求解分式方程，会求分式方程的增根，在有增根时求解a的值．
16.【答案】解：两边同时乘以x(x−1)，得
x2−2(x−1)=x(x−1)，
去括号，得x2−2x+2=x2−x，
移项，得x2−x2−2x+x=−2，
合并，得−x=−2，
系数化为1，得x=2.
检验：把x=2代入x(x−1)中，得
x(x−1)=2(2−1)=2≠0.
∴x=2是原方程的解．
【解析】本题的最简公分母是x(x−1).方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
17.【答案】解：原式=4−(−23×32)2022×32−4+1
=4−1×1.5−4+1
=4−1.5−4+1
=−0.5.
【解析】利用负整数指数幂，积的乘方法则，零指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：a(2a+3b)+(a−b)2
=2a2+3ab+a2−2ab+b2
=3a2+ab+b2.
【解析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式，整式的混合运算进行计算即可．
此题考查了整式的混合运算，单项式乘以多项式，完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
19.【答案】解：如图，△A1B1C1即为所求.
A1(−4,1)，B1(−2,3)，C1(−1,2).
【解析】根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE=∠EBC，
∵DB=DE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴∠DEB=∠EBC，
∴DE//BC；
(2)∵DE//BC，
∴∠C=∠AED=45∘，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180∘，
∴∠ABC=180∘−∠A−∠C=180∘−65∘−45∘=70∘.
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE=∠EBC=12∠ABC=35∘.
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．
(1)根据角平分线的定义可得∠DBE=∠EBC，从而求出∠DEB=∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
(2)由(1)中DE//BC可得到∠C=∠AED=45∘，再根据三角形的内角和等于180∘求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE=∠EBC，即可得解．
21.【答案】解：(1)设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：
168(x+10)=1510x，
解得：x=30，
经检验：x=30是原分式方程的解，且符合题意，
∴当前参加生产的工人有30人；
答：当前参加生产的工人有30人.
(2)每人每小时完成的数量为：16÷8÷40=0.05(万剂)，
设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：
4×15+(30+10)×10×0.05y=760，
解得：y=35，
35+4=39(天)，
∴该厂共需要39天才能完成任务．
答：该厂共需要39天才能完成任务．
【解析】(1)设当前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)利用每人每小时完成的工作量=工作总量÷工作时间÷参与工作的人数，即可求出每人每小时完成的工作量，设还需要生产y天才能完成任务，根据工作总量=工作效率×工作时间×工作人数，即可得出关于y的方程求解．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系正确列式计算是解题关键．
22.【答案】(1)证明：在△ABC和△CDA中，
∵AB=DCAC=ACBC=DA，
∴△ABC≌△CDA(SSS)；
(2)解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=2米，∠B=30∘，
∴AE=1米，
∴S△ABC=12×3×1=32(平方米)，
则S△CDA=32(平方米)，
∴草坪造型的面积为：2×32=3(平方米).
【解析】(1)利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案；
(2)直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
23.【答案】解：(1)x2−a2+x+a
=(x2−a2)+(x+a)
=(x+a)(x−a)+(x+a)
=(x+a)(x−a+1)；
(2)ax+a2−2ab−bx+b2
=(a2−2ab+b2)+(ax−bx)
=(a−b)2+(a−b)x
=(a−b)(a−b+x)；
(3)a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4
=(a4+2a2b2+b4)−(2a3b+2ab3)
=(a2+b2)2−2ab(a2+b2)
=(a2+b2)(a2−2ab+b2)
=(a2+b2)(a−b)2.
【解析】(1)把所给代数式“二、二”分组后，把前两项用平方差公式展开后继续提公因式进行因式分解；
(2)把所给代数式“三、二”分组后，分别用完全平方公式展开和提取公因式，继续提公因式进行因式分解即可；
(3)把所给代数式“三、二”分组后，分别用完全平方公式展开和提取公因式，继续提公因式，直至分解到底为止．
本题考查因式分解的应用．把所给代数式合理分组是解决本题的关键．注意因式分解一定要分解到底．
24.【答案】解：(1)△ACP是直角三角形，
理由为：
当PN//BC时，∠α=∠NPM=30∘，
∵∠ACB=120∘，
∴∠ACP=120∘−30∘=90∘，
∴△ACP是直角三角形；
(2)当AP=8时，△ADP≌△BPC，
理由为：
∵∠ACB=120∘，CA=CB，
∴∠A=∠B=30∘，
∵∠APC是△BPC的一个外角，
∴∠APC=∠B+∠α=30∘+∠α，
∵∠APC=∠DPC+∠APD=30∘+∠APD，
∴∠α=∠APD，
∵AP=BC=8，
∴△ADP≌△BPC(ASA)；
(3)△PCD的形状可以是等腰三角形，
则∠PCD=120∘−α，∠CPD=30∘，
①当PC=PD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD=∠PDC=180∘−30∘2=75∘，
即120∘−α=75∘，
∴∠α=45∘；
②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD=∠CPD=30∘，
即120∘−α=30∘，
∴α=90∘；
③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP=∠CPD=30∘，
∴∠PCD=180∘−2×30∘=120∘，
即120∘−α=120∘，
∴α=0∘，
此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当α=45∘或90∘或0∘时，△PCD是等腰三角形．
【解析】(1)△ACP为直角三角形，理由为：由PN与BC平行，得到一对内错角相等，求出∠ACP为直角，即可得证；
(2)当AP=8时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据CA=CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到∠α=∠APD，根据AP=BC，利用ASA即可得证；
(3)点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC=PD；PD=CD；PC=CD，分别求出夹角α的大小即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
25.【答案】CD=BE
【解析】(1)解：如图1，根据题意得AD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠EBC=60∘，
在△ACD和△CBE中，
AD=CE∠A=∠ECBAC=CB，
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴CD=BE，
故答案为：CD=BE.
(2)证明：如图2，根据题意得AD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠DAC=∠ECB=60∘，
在△ACD和△CBE中，
AD=CE∠DAC=∠ECBAC=CB，
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴∠ADC=∠E，
∵∠DBQ=∠ABE，
∴∠CQE=∠ADC+∠DBQ=∠E+∠ABE，
∵∠E+∠ABE=∠BAC=60∘，
∴∠CQE=60∘.
(3)证明：如图3，作DH//BC交AC于点H，则∠HDF=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60∘，
∴∠ADH=∠B=60∘，∠AHD=∠ACB=60∘，
∵∠A=∠ADH=∠AHD，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD=HD，
根据题意得AD=CE，
∴HD=CE，
在△HFD和△CFE中，
∠HDF=∠E∠HFD=∠CFEHD=CE，
∴△HFD≌△CFE(AAS)，
∴DF=EF.
(1)根据题意得AD=CE，由等边三角形的性质得AC=CB，∠A=∠EBC=60∘，即可根据“SAS”证明△ACD≌△CBE，得CD=BE，于是得到问题的答案；
(2)根据题意得AD=CE，由等边三角形的性质得AC=CB，∠DAC=∠ECB=60∘，即可根据“SAS”证明△ACD≌△CBE，得∠ADC=∠E，而∠DBQ=∠ABE，所以∠CQE=∠ADC+∠DBQ=∠E+∠ABE=∠BAC=60∘；
(3)作DH//BC交AC于点H，则∠HDF=∠E，∠ADH=∠B=60∘，∠AHD=∠ACB=60∘，所以∠A=∠ADH=∠AHD，则△ADH是等边三角形，得AD=HD=CE，而∠HFD=∠CFE，即可根据“AAS”证明△HFD≌△CFE，则DF=EF.
此题重点考查等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．