2023-2024学年广东省江门市新会区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省江门市新会区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若二次根式 5x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x>15B. x≥15C. x≤15D. x≤5
2.下列根式中是最简二次根式的是( )
A. 23B. 3C. 9D. 12
3.有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12(单位：cm)，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为( )
A. 2，4，8B. 4，8，10C. 6，8，10D. 8，10，12
4.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是( )
A. 24
B. 16
C. 4 13
D. 2 3
5.若点(m,n)在函数y=2x+1的图象上，则2m−n的值是( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
6.一家商店在一段时间内销售了四种饮料100瓶，各种饮料的销售量如表所示：
建议这家商店进货数量最多的品牌是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对边相等D. 对角相等
8.已知一次函数y=kx+b(k≠0)经过(2,−1)、(0,4)两点，则它的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
9.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD//BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A. 6种B. 5种C. 4种D. 3种
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知x、y为实数，且 x−1+3(y−2)2=0，则x−y=______.
12.某食堂午餐供应10元、16元、20元三种价格的盒饭，根据食堂某月销售午餐盒饭的统计图，可计算出该月食堂午餐盒饭的平均价格是______元．
13.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是______.
14.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应−3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为______.
15.如图，长方形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm.点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB′，以C，E，B′为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为__________cm.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算( 3+1)2−6 13+2 27.
17.(本小题8分)
如图，∠C=90∘，AC=12，BC=9，AD=8，BD=17，求证△ABD是直角三角形.
18.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接DE.延长DE交AB的延长线于点F.求证：AB=BF.
19.(本小题9分)
已知一次函数y=kx−4，当x=2时，y=−3.
(1)求一次函数的解析式；
(2)将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标．
20.(本小题9分)
新会区陈经纶中学八年级学生在今年的数学节上开展“感受多彩数学”为主题的数学手抄报比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排名次，成绩为80分以上(含80分)为优秀.如表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛成绩(单位：分)，经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信息作为参考，请你回答下列问题：
(1)根据上表提供的数据填写下表：
(2)根据以上信息，你认为应该把一等奖奖状发给哪一个班级？说明理由.
21.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A(−3,0)，与y轴交点为B，且与正比例函数y=43x的图象交于点C(m,4).
(1)求m的值及一次函数y=kx+b的表达式；
(2)若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请求出点P的坐标．
22.(本小题12分)
若一个含根号的式子a+b x可以写成m+n x的平方(其中a，b，m，n都是整数，x为正整数)，即a+b x=(m+n x)2，则称a+b x为完美根式.m+n x是a+b x的完美平方根.例如：因为19−6 2=(1−3 2)2，所以1−3 2是19−6 2的完美平方根.
(1)已知2 3−3是a−12 3的完美平方根，求a的值；
(2)若m+n 7是a+b 7的完美平方根，用含m，n的式子表示a，b.
(3)已知22−12 2为完美根式，直接写出它的一个完美平方根.
23.(本小题12分)
如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
(1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
(2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】
解：由题意得，5x−1≥0，
解得，x≥15，
故选：B.
2.【答案】B
【解析】解：A、 23= 63，故此选项错误；
B、 3是最简二次根式，故此选项正确；
C、 9=3，故此选项错误；
D、 12=2 3，故此选项错误；
故选：B.
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：由勾股定理的逆定理分析得，只有C中有62+82=102，故选C.
根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
本题考查了直角三角形的判定．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AC⊥BD，
OA=12AC=3，
OB=12BD=2，
AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，
AB= OA2+OB2= 13，
∴菱形的周长是：4AB=4 13.
故选C.
5.【答案】D
【解析】【分析】
将点(m,n)代入函数y=2x+1，得到m和n的关系式，再代入2m−n即可解答．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要明确，一次函数图象上的点的坐标符合函数解析式．
【解答】
解：将点(m,n)代入函数y=2x+1得，
n=2m+1，
整理得，2m−n=−1.
故选：D.
6.【答案】B
【解析】解：在四个品牌的销售量中，乙的销售量最多．
故选：B.
根据众数的意义和定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，则进货数量最多的品牌应该是销售量最多的品牌(特别说明，其它品牌也进货，只不过不是进货最多).
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，而误选其它选项．
7.【答案】A
【解析】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等，两组对角相等；
平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，两组对角相等；
故选项B、C、D不符合题意，A符合题意；
故选：A.
由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质；熟记矩形和平行四边形的性质是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：将(2,−1)、(0,4)代入一次函数y=kx+b中得：
{2k+b=−1①b=4②，
把②代入①得，2k+4=−1，
解得k=−52，
∴一次函数解析式为y=−52x+4不经过第三象限．
故选：C.
将(2,−1)与(0,4)分别代入一次函数解析式y=kx+b中，得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式，利用一次函数的性质即可得到一次函数图象不经过第三象限．
此题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，先根据题意得出一次函数的解析式是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD=C′D=AB=4，∠C=∠C′=90∘，
∵矩形ABCD，
∴∠A=∠C=∠C′=90∘，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
∠AEB=∠C′ED∠A=∠C′=90∘AB=C′D，
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE(AAS)，
∴BE=DE，
设DE=BE=x，则AE=8−x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴42+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴DE的长为5.
故选：C.
先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90∘，再设DE=x，则AE=8−x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．
本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：C.
根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
11.【答案】−1
【解析】解：由题意得，x−1=0，y−2=0，
解得，x=1，y=2，
∴x−y=−1，
故答案为：−1.
根据绝对值和算术平方根的非负性，求出x、y的值，代入计算得到答案．
本题考查的是绝对值的性质、算术平方根的概念和非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：10×60%+16×25%+20×15%
=6+4+3
=13(元).
故答案为13.
根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求10，16，20这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．同时考查了扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
13.【答案】x<3
【解析】解：根据函数图象可知：当x<3时，y>0，
故答案为：x<3.
根据一次函数的图象直接解答即可．
本题主要考查一次函数图象和一次函数的性质，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解题的关键．
14.【答案】 7
【解析】解：∵△ABC为等腰三角形，OA=OB=3，
∴OC⊥AB，
在Rt△OBC中，OC= BC2−OB2= 42−32= 7，
∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，
∴OM=OC= 7，
∴点M对应的数为 7.
故答案为： 7.
先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC= 7，然后利用画法可得到OM=OC= 7，于是可确定点M对应的数．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.也考查了等腰三角形的性质．
15.【答案】3或6
【解析】解：①∠B′EC=90∘时，如图1，∠BEB′=90∘，
由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=12×90∘=45∘，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=6cm；
②∠EB′C=90∘时，如图2，
由翻折的性质∠AB′E=∠B=90∘，
∴A、B′、C在同一直线上，
AB′=AB，BE=B′E，
由勾股定理得，AC= AB2+BC2= 62+82=10(cm)，
∴B′C=10−6=4(cm)，
设BE=B′E=x，则EC=8−x，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+42=(8−x)2，
解得x=3，
即BE=3cm，
综上所述，BE的长为3或6cm.
故答案为：3或6.
分情况讨论：①∠B′EC=90∘时，根据翻折变换的性质求出∠AEB=45∘，然后判断出△ABE是等腰直角三角形，从而求出BE=AB；②∠EB′C=90∘时，∠AB′E=90∘，判断出A、B′、C在同一直线上，利用勾股定理列式求出AC，再根据翻折变换的性质可得AB′=AB，BE=B′E，然后求出B′C，设BE=B′E=x，表示出EC，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理的应用，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
16.【答案】解：( 3+1)2−6 13+2 27
=3+2 3+1−2 3+6 3
=4+6 3.
【解析】根据完全平方公式计算，同时化简二次根式，然后计算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】证明：∵∠C=90∘，AC=12，BC=9，
∴AB2=AC2+CB2，
∴AB=15.
∵AD=8，BD=17，
∴DB2=AD2+AB2，
∴∠DAB=90∘，
∴△ABD是直角三角形．
【解析】先根据∠C=90∘及AC、BC的长可求出AB的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状．
本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理判断出∠DAB=90∘是解答此题的关键．
18.【答案】证明：由ABCD是平行四边形得AB//CD，
∴∠CDE=∠F，∠C=∠EBF.
在△DEC和△FEB中
∠C=∠EBF∠CDE=∠FEC=BE
∴△DEC≌△FEB(AAS)，
∴DC=FB.
又∵AB=CD，
∴AB=BF.
【解析】根据平行四边形的性质先证明△DEC≌△FEB，然后根据AB=CD，运用等量代换即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，难度一般，对于此类题目关键是熟练掌握并运用平行四边形的性质．
19.【答案】解：(1)由已知得：−3=2k−4，
解得：k=12
∴一次函数的解析式为：y=12x−4；
(2)将直线y=12x−4向上平移6个单位后得到的直线是：y=12x+2
∵当y=0时，x=−4，
∴平移后的图象与x轴交点的坐标是(−4,0).
【解析】(1)把点的坐标代入一次函数的一般式即可求出．
(2)该函数的图象向上平移6个单位，求出它的解析式，计算当y=0时的值就可．
本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式的一般方法．
20.【答案】解：(1)根据图表提供的数据填写下表：
甲的优秀率为35×%=60%，
甲的中位数为：80；
乙的中位数：78；
乙的平均数为：400÷5=80，
乙的方差为：S乙2=15[(66−80)2+(80−80)2+(78−80)2+(99−80)2+(77−80)2]=114.
故答案为：60%；80；78；114.
(2)应该把一等奖奖状发给甲班．理由：
根据以上信息，甲班的优秀率和中位数都比乙班高，而方差却比乙班小，
说明甲班参赛学生的整体水平比乙班好，所以应该把一等奖奖状发给甲班．
【解析】(1)根据优秀率的计算公式、中位数定义、方差计算公式计算填空即可；
(2)根据优秀率、中位数、方差等数据进行对比确定奖项发给哪一班即可．
本题考查了中位数、方差的概念．掌握运用它们分析问题解决问题．
21.【答案】解：(1)∵点C(m,4)在正比例函数y=43x的图象上，
∴4=43m，
解得m=3，即点C坐标为(3,4)，
∵一次函数y=kx+b经过A(−3,0)、点C(3,4)，
∴0=−3k+b4=3k+b，解得：k=23b=2，
∴一次函数y=kx+b的表达式为y=23x+2；
(2)△BPC的面积=12×BP×3=6，
∴BP=4，
因为点B是y=23x+2与y轴的交点，
所以B(0,2)，
因为点P是y轴上一点，
所以点P 的坐标为(0,6)或(0,−2).
【解析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正比例函数，点的坐标，根据待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数y=kx+b中，计算出k、b的值是解题关键．
(1)首先利用待定系数法把C(m,4)代入正比例函数y=43x中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数y=kx+b中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式；
(2)利用△BPC的面积为6，即可得出点P的坐标．
22.【答案】解：(1)∵2 3−3是a−12 3的完美平方根，
∴a−12 3=(2 3−3)2，
∴a−12 3=21−12 3，
∴a=21；
(2)∵m+n 7是a+b 7的完美平方根，
∴a+b 7=(m+n 7)2，
∴a+b 7=m2+7n2+2 7mn，
∴a=m2+7n2，b=2mn；
(3)∵22−12 2是完美根式，
∴22−12 2=(m+n 2)2，
∴22−12 2=m2+2n2+2 2mn，
∴22=m2+2n2，−12=2mn，
∴m2=18，n2=2或m2=4，n2=9，
∵m，n都是整数，
∴m=±2，n=±3，
∴22−12 2的完美平方根是2−3 2或−2+3 2.
【解析】(1)由定义可得a−12 3=(2 3−3)2，求出a即可；
(2)由题意可得a+b 7=(m+n 7)2，则有a+b 7=m2+7n2+2 7mn，由此可求解；
(3)由题意可得22−12 2=(m+n 2)2，则有22=m2+2n2，−12=2mn，解出m、n即可．
本题考查了平方根，理解定义能将所求问题转化为完全平方公式问题是解题的关键．
23.【答案】(1)PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90∘，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90∘，∠QPE+∠QPF=90∘，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；
(2)PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90∘，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90∘，∠BPF+∠BPE=90∘，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ.
【解析】(1)过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；
(2)证明思路同(1)
此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想．品牌
甲
乙
丙
丁
销售量/瓶
12
42
13
33
1号
2号
3号
4号
5号
总分
甲班
80
78
90
69
83
400
乙班
66
80
78
99
77
400
优秀率
中位数
方差
甲班
46.8
乙班
40%
优秀率
中位数
方差
甲班
60%
80
46.8
乙班
40%
78
114