2025届高考数学一轮复习专练21 导数的不等式问题（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练21 导数的不等式问题（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了已知f=xln x等内容，欢迎下载使用。
1.(10分)已知函数f(x)=ax+xln x,且曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线4x-y+1=0平行.
(1)求实数a的值;
(2)求证:当x>0时,f(x)>4x-3.
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1+a,由题意知,f'(e)=2+a=4,则a=2.
(2)由(1)知,f(x)=2x+xln x,令g(x)=f(x)-(4x-3)=xln x-2x+3,
则g'(x)=ln x-1,由ln x-1>0得x>e,由ln x-14x-3.
【加练备选】
(2023·沧州七校联考)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R,得f'(x)=ex-2,x∈R,令f'(x)=0,得x=ln 2.
于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞).
f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)=2(1-ln 2+a),无极大值.
(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R.于是g'(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当a>ln 2-1时,g'(x)的最小值为g'(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0,
于是对任意x∈R,都有g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增,
于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
又g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0,即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
2.(10分)(2023·合肥模拟)已知函数f(x)=ex+x2-x-1.
(1)求f(x)的最小值;
(2)证明:ex+xln x+x2-2x>0.
【解析】(1)由题意可得f'(x)=ex+2x-1,则函数f'(x)在R上单调递增,且f'(0)=0.
由f'(x)>0,得x>0;由f'(x)-xln x+x-1.
由(1)可知当x>0时,f(x)>0恒成立.设g(x)=-xln x+x-1,x>0,则g'(x)=-ln x.
由g'(x)>0,得0ln x,令φ(x)=ex-x-1,所以φ'(x)=ex-1.
令φ'(x)=0,得x=0,所以当x∈(-∞,0)时,φ'(x)0,即0ln(n+1).
【解析】(1)由f(x)≤0可得a≥1+lnxx.
令h(x)=1+lnxx,则h'(x)=-lnxx2.令h'(x)=0得x=1,当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)