2025届高考数学一轮复习专练24 两角和与差的三角函数（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练24 两角和与差的三角函数（Word版附解析），共6页。
【基础落实练】
1.(5分)sin 15°cs 75°+cs 15°sin 105°等于( )
A.0B.12C.1D.32
【解析】选C.sin 15°cs 75°+cs 15°sin 105°
=sin 15°cs 75°+cs 15°sin 75°=sin(15°+75°)=sin 90°=1.
2.(5分)已知角α的终边经过点P(sin 47°,cs 47°),则sin(α-13°)等于( )
A.12B.32C.-12D.-32
【解析】选A.由三角函数的定义,得sin α=cs 47°,cs α=sin 47°,
则sin(α-13°)=sin αcs 13°-cs αsin 13°=cs 47°cs 13°-sin 47°sin 13°
=cs(47°+13°)=cs 60°=12.
3.(5分)(2023·长沙模拟)1-tan15°1+tan15°的值为( )
A.1B.3C.33D.22
【解析】选C.1-tan15°1+tan15°=tan45°-tan15°1+tan45°tan15°=tan(45°-15°)=tan 30°=33.
4.(5分)已知12sin α+32cs α=45,则sin(α+4π3)的值为( )
A.-235 B.235 C.-45 D.45
【解析】选C.因为12sin α+32cs α=45,所以sin(α+π3)=45,
则sin(α+4π3)=sin(π+α+π3)=-sin(α+π3)=-45.
5.(5分)(2023·西安模拟)已知2cs(α+π6)=sin α,则sin αcs α等于( )
A.-34 B.34 C.-237 D.237
【解析】选D.2cs(α+π6)=sin α,即2cs αcs π6-2sin αsin π6=sin α,即3cs α-sin α=sin α,则tan α=32,所以sin αcs α=sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=237.
6.(5分)(多选题)下列结论正确的是( )
A.sin(α-β)sin(β-γ)-cs(α-β)cs(γ-β)=cs(α-γ)
B.315sin x+35cs x=35sin(x+π6)
C.f(x)=sin x2+cs x2的最大值为2
D.sin 50°(1+3tan 10°)=1
【解析】选CD.对于A,左边=-[cs(α-β)cs(β-γ)-sin(α-β)sin(β-γ)]
=-cs[(α-β)+(β-γ)]=-cs(α-γ),故A错误;
对于B,315sin x+35cs x=65(32sin x+12cs x)=65sin(x+π6),故B错误;
对于C,f(x)=sin x2+cs x2=2sin(x2+π4),所以f(x)的最大值为2,故C正确;
对于D,由sin 50°(1+3tan 10°)=sin 50°·(1+3sin10°cs10°)
=sin 50°·cs10°+3sin 10°cs10°=2sin50°cs50°cs10°=sin100°cs10°=cs10°cs10°=1,故D正确.
7.(5分)满足等式(1+tan α)(1+tan β)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组____________.
【解析】由(1+tan α)(1+tan β)=2,得1+tan β+tan α+tan αtan β=2,
所以tan β+tan α=1-tan αtan β,所以tanβ+tanα1-tanαtanβ=1,所以tan(α+β)=1,
所以α+β=kπ+π4,k∈Z,所以α可以为0,β可以为π4(答案不唯一).
答案: (0,π4)(答案不唯一)
8.(5分)(2023·青岛质检)已知α,β∈(3π4,π),sin(α+β)=-35,sin(β-π4)=2425,则cs(α+π4)=________.
【解析】由题意知,α+β∈(3π2,2π),sin(α+β)=-35