2025届高考数学一轮复习专练60 圆锥曲线中的定点问题（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练60 圆锥曲线中的定点问题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了设抛物线C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1.(10分)(2024·绍兴模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0),过y轴上点P的直线l与C相切于点Q,且当l的斜率为12时,|PQ|=25.
(1)求C的方程;
(2)过P且垂直于l的直线交C于M,N两点,若R为线段MN的中点,证明:直线QR过定点.
【解析】(1)当l的斜率为12时,设直线l的方程为y=12x+b,l与C的方程联立消去y,得x2+4(b-2p)x+4b2=0,当l与C相切时,Δ=16(b-2p)2-16b2=0,整理有b=p,
此时x2-4px+4p2=0,所以x=2p,所以y=2p或-2p(舍去).故P(0,p),Q(2p,2p),所以|PQ|=(2p-0)2+(2p-p)2=5p=25,
故p=2,所以C的方程为y2=4x.
(2)设直线l的方程为y=kx+m,
l与C的方程联立,得k2x2+2(km-2)x+m2=0,
当l与C相切时,Δ=4(km-2)2-4k2m2=0,则km=1,m=1k,故Q(1k2,2k),
设直线MN的方程为y=-1kx+1k,与C的方程联立有x2-2(2k2+1)x+1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2(2k2+1),
y1+y2=-1kx1+1k-1kx2+1k=-1k(x1+x2)+2k=-4k,所以x1+x22=2k2+1,y1+y22=-2k,
所以R(2k2+1,-2k),所以QR的方程为y+2k=2k+2k1k2-2k2-1(x-2k2-1),
令y=0,则x-2k2-1=k(1k2-2k2-1)1k+k
=-(2k2-1)(k2+1)k2+1=-2k2+1,
所以x=2,所以直线QR过定点(2,0).
2.(10分)(2023·全国乙卷)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率是53,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
【解析】
(1)由题意可得b=2a2=b2+c2e=ca=53,解得a=3b=2c=5,
所以椭圆方程为y29+x24=1.
(2)由题意可知:直线PQ的斜率存在,设PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立方程组y=k(x+2)+3y29+x24=1,消去y得:(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0,
则Δ=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1 728k>0,解得k0,
x1+x2=-6km3k2+4,x1x2=3m2-123k2+4,
过点M且平行于x轴的直线方程为y=y1,与直线AB方程联立,
得y=y1y=23x-2,得xT=3(y1+2)2,
所以T(3(y1+2)2,y1),因为MT=TH,所以H(3y1+6-x1,y1),此时直线HN的方程为y-y2=y1-y23y1+6-x1-x2(x-x2),
即y=y1-y23y1+6-x1-x2x+y2-y1-y23y1+6-x1-x2·x2.
令x=0,得y=y2-(y1-y2)x23y1+6-x1-x2=-(x1y2+x2y1)+3y1y2+6y2-(x1+x2)+6+3y1=-(x1y2+x2y1)+3y1y2+6y2-(x1+x2)+6+3(y1+y2)-3y2,
因为y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m=8m3k2+4,x1y2+x2y1=x1(kx2+m)+x2(kx1+m)
=2kx1x2+m(x1+x2)=-24k3k2+4,所以-(x1y2+x2y1)+3y1y2=-24(k2-3k-2)3k2+4,所以-(x1+x2)+6+
3(y1+y2)=12(k2-3k-2)3k2+4,
所以y=-24(k2-3k-2)3k2+4+6y212(k2-3k-2)3k2+4-3y2=-2,所以直线HN过定点(0,-2).
综上,可得直线HN过定点(0,-2).
3.(10分)(2024·西安模拟)已知动圆M恒过定点F(0,18),圆心M到直线y=-14的距离为d,d=|MF|+18.
(1)求M点的轨迹C的方程;
(2)过直线y=x-1上的动点Q作C的两条切线l1,l2,切点分别为A,B,证明:直线AB恒过定点.
【解析】(1)设M(x,y),则|MF|=x2+(y-18)2,d=|y+14|,
因为d=|MF|+18,即|y+14|=x2+(y-18)2+18,
当y+14≥0,即y≥-14时,则y+14=x2+(y-18)2+18,整理得x2=12y;
当y+14