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2025届高考数学一轮复习专练20 导数的函数零点问题（Word版附解析）
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这是一份2025届高考数学一轮复习专练20 导数的函数零点问题（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了已知函数f=13x3-a等内容，欢迎下载使用。
1.(10分)(2023·陇南联考)已知函数f(x)=x+1ex-a(a∈R),讨论f(x)的零点个数.
【解题指南】令f(x)=0,可得a=x+1ex,令g(x)=x+1ex,利用导数的方法研究其单调性及最值,从而讨论a的取值范围,进而得到函数零点的个数.
【解析】令f(x)=x+1ex-a=0,得a=x+1ex.
设g(x)=x+1ex,则g'(x)=ex-(x+1)ex(ex)2=-xex,
当x>0时,g'(x)0;
当x∈(3-23,3+23)时,f'(x)0,所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0.
设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g'(x)= x2(x2+2x+3)(x2+x+1)2≥0,
当且仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6(a-16)2-160,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
3.(10分)(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1,函数f(x)=xaax(x>0).
(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=2时,f(x)=x22x(x>0),
f'(x)=x(2-xln2)2x(x>0),
令f'(x)>0,得00),令g'(x)=1-lnxx2=0,得x=e,
当0e时,g'(x)
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