2025届高考数学一轮复习专练 拓展拔高练8 数列中的奇偶项问题（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练 拓展拔高练8 数列中的奇偶项问题（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了若Sn=-192,则n=16，定义等内容，欢迎下载使用。
1.(5分)数列{(-1)n(2n-1)}的前2 024项和等于( )
A.-1 012 B. 2 024
C. 1 012 D. -2 024
【解析】选B.设数列{(-1)n(2n-1)}的前2 024项和为S2 024,当n为奇数时,
(-1)n(2n-1)=-(2n-1),当n为偶数时,(-1)n(2n-1)=2n-1,所以S2 024=-1+3-5+7-9+
11-…+(-4 045)+ 4 047=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-4 045)+4 047]=2×1 012=
2 024.
2.(5分)已知数列{an}满足a1=1,an+1+an=-3n(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=-192,则n的值是( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
【解析】选C.因为a1=1,an+1+an=-3n,所以a2=-4,且an+2+an+1=-3(n+1),则an+2-an=-3,故数列{an}的奇数项是首项为1,公差为-3的等差数列,偶数项是首项为-4,公差为-3的等差数列,所以S2n=n+n(n-1)2×(-3)-4n+n(n-1)2×(-3)=-3n2=-192,解得n=8.若Sn=-192,则n=16.
3.(5分)设数列{an}的首项a1=a2=1,且满足a2n+1=3a2n-1与a2n+2-a2n+1=a2n,则数列{an}的前12项的和为( )
A.364 B.728 C.907 D.1 635
【解析】选C.数列{an}的首项a1=a2=1,且满足
a2n+1=3a2n-1,则a3=3a1=3,a5=3a3=9,
a7=3a5=27,a9=3a7=81,a11=3a9=243,
由于a2n+2-a2n+1=a2n,则a2n+2=a2n+1+a2n,故a4=a3+a2=4,a6=a5+a4=13,a8=a7+a6=40,a10=a9+a8=121,a12=a11+a10=364,
所以,数列{an}的前12项的和为1+1+3+4+9+13+27+40+81+121+243+364=907.
4.(5分)(多选题)定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积,已知数列{an}是等积数列,且a1=3,前7项的和为14,则下列结论正确的是( )
A.an+2=an B.a2=23
C.公积为1 D.anan+1an+2=6
【解析】选AB.设anan+1=k(k为常数),则an+1an+2=k,所以an+2an=1,即an+2=an,故A正确;
因为前7项的和为14,所以3(a1+a2)+a1=14,
因为a1=3,所以a2=23,
所以anan+1=2,即公积为2,故B正确,C错误;
当n为奇数时,anan+1an+2=6,当n为偶数时,anan+1an+2=43,故D错误.
5.(5分)(多选题)已知数列{an}共有60项,满足an+1+(-1)nan=2n-1,其中1≤n≤59且n∈N*,数列{an}的所有奇数项的和记为S奇,所有偶数项的和记为S偶,则下列选项正确的是( )
A.a2k+1+a2k-1=2(1≤k≤29且k∈N*)
B.S奇=30
C.S偶-S奇=1 770
D. S60=1 810
【解析】选ABC.因为an+1+(-1)nan=2n-1,其中1≤n≤59,所以a2k+1+a2k=4k-1,a2k-a2k-1=4k-3,a2k+2-a2k+1=4k+1,所以a2k+1+a2k-1=2(1≤k≤29且k∈N*),a2k+a2k+2=8k,所以S奇=2×15=30,S偶=8×(1+3+…+29)=8×15×(1+29)2=1 800,故S偶-S奇=1 800-30=1 770,S60=S偶+S奇=1 830.
【加练备选】
(多选题) 已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=2n,则下列结论中正确的是( )
A.a4=5
B. {an}为等比数列
C.a1+a2+…+a2 023=22 024-3
D.a1+a2+…+a2 024=22 025-23
【解析】选AD.对于A,由a1=1,an+an+1=2n,解得a2=1.又a2+a3=4,解得a3=3,同理a3+a4=23,解得a4=5,故A正确;
对于B,因为a2a1=1,a3a2=3,所以{an}不是等比数列,故B错误;
对于C,a1+a2+…+a2 023=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 022+a2 023)=1+22+24+…+22 022=
1+4(1-41 011)1-4=41 012-13=22 024-13,故C错误;
对于D,a1+a2+…+a2 024=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2 023+a2 024)=21+23+…+22 023=
2(1-41 012)1-4=2×41 012-23=22 025-23,故D正确.
6.(5分)定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,则数列{an}的前n项和Sn=__________.
【解析】由数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,所以5=a1+a2=2+a2,解得a2=3.
当n=2k(k∈N*)时,数列{an}的前n项和Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k-1+a2k)
=5+5+…+5=5k=5n2.
当n=2k-1(k∈N*)时,数列{an}的前n项和Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k-3+a2k-2)+a2k-1
=5(n-1)2+2=5n-12.
所以Sn=5n2,n为偶数5n-12,n为奇数.
答案:5n2,n为偶数5n-12,n为奇数
7.(5分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,满足4Sn=an2+2an(n∈N*),设bn=(-1)n·anan+1,Tn为数列bn的前n项和,则T20=__________.
【解析】因为4Sn=an2+2an(n∈N*),
当n=1时,4S1=a12+2a1,解得a1=2或0(舍去),
当n≥2时,4Sn=an2+2an①,4Sn-1=an-12+2an-1②,
①-②得:4an=an2+2an-an-12-2an-1,整理得:(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
因为数列{an}的各项均为正数,
所以an-an-1-2=0,即an-an-1=2,所以数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,
所以an=2+2(n-1)=2n,所以bn=(-1)n·anan+1=4×(-1)nn(n+1),
所以T20=4×[-2+6-12+20-30+42-…-380+420]
=4×[(-2+6)+(-12+20)+(-30+42) +…+(-380+420)]=
4×(4+8+12+…+40)=4×10×(4+40)2=880.
答案:880
8.(10分)已知数列{an}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,满足S2n-1=an2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=nanan+1(-1)n,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】 (1)S2n-1=(2n-1)(a1+a2n-1)2
=an(2n-1)=an2,
因为an≠0,所以an=2n-1(n∈N*).
(2)bn=nanan+1(-1)n=n(2n-1)(2n+1)(-1)n
=14(12n-1+12n+1) (-1)n,
当n为偶数时,
Tn=14(-11-13+13+15-15-17+…+12n-1+12n+1)=14(-11+12n+1)=-n4n+2,
当n为奇数时,
Tn=14(-11-13+13+15-15-17+…-12n-1-12n+1)=14(-11-12n+1)=-n-14n+2.
所以Tn=-n4n+2,n为偶数,-n+14n+2,n为奇数.
9.(10分)已知数列{an}满足an=n2an+12+12,n为奇数,2an2+n2,n为偶数.
(1)判断数列{an}是否为等差数列或等比数列,请说明理由;
(2)求证:数列a2n2n是等差数列,并求数列{a2n}的通项公式.
【解析】(1)由题意可知a1=12a1+12+12=12a1+12,
所以a1=1,a2=2a22+22=2a1+1=3,
a3=32a3+12+12=32a2+12=5,
a4=2a42+42=2a2+2=8.
因为a3-a2=2,a4-a3=3,a3-a2≠a4-a3,
所以数列{an}不是等差数列.
又因为a2a1=3,a3a2=53,a2a1≠a3a2,
所以数列{an}也不是等比数列.
(2)因为对任意正整数n,
a2n+1=2a2n+2n,a2n+12n+1-a2n2n=12,a22=32,
所以数列a2n2n是首项为32,公差为12的等差数列.
从而对∀n∈N*,a2n2n=32+n-12,
a2n=(n+2)2n-1,所以数列{a2n}的通项公式是a2n=(n+2)2n-1.