2025届高考数学一轮复习专练59 抛物线（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练59 抛物线（Word版附解析），共15页。
【基础落实练】
1.(5分)(2024·济南模拟)已知点(1,4)在抛物线y=ax2上,则抛物线的焦点坐标为( )
A.(1,0)B.(0,1)
C.(0,116)D.(116,0)
【解析】选C.因为点(1,4)在抛物线y=ax2上,所以4=a×12,则a=4,
所以抛物线的标准方程是x2=14y,
则抛物线的焦点坐标为F(0,116).
2.(5分)(2024·眉山模拟)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,M为C上一点,若|MF|=6,则△MOF的面积为( )
A.43B.22C.42D.8
【解析】选C.设点M(x0,y0),F(2,0),所以|MF|=x0+2=6,得x0=4,y0=±42,
所以△MOF的面积S=12|OF|×|y0|=12×2×42=42.
3.(5分)(2024·成都模拟)已知点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,点P(2,3),且点M为抛物线C上任意一点,则|MF|+|MP|的最小值为( )
A.5B.6C.7D.8
【解析】选C.因为点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,所以p2=4,解得p=8,所以抛物线C的方程为x2=16y.
由抛物线的定义知:点M到点F(0,4)的距离等于点M到准线y=-4的距离,
结合点P(2,3)与抛物线C的位置关系可知,|MF|+|MP|的最小值是点P(2,3)到准线y=-4的距离,故|MF|+|MP|的最小值为7.
【加练备选】
抛物线C:x2=8y的焦点为F,过F且倾斜角为π4的直线l与抛物线C交于A,B两点,点D为抛物线C上的动点,且点D在l的右下方,则△DAB面积的最大值为( )
A.162B.122
C.82D.62
【解析】选A.由C:x2=8y知F(0,2),则直线l的方程为y=x+2,设D(x,x28),
则D到直线l的距离为d=|x-x28+2|2, 又点D在l的右下方,所以d=|x-x28+2|2=x-x28+22,
联立方程x2=8yy=x+2,消元得x2-8x-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,x1·x2=-16,
所以|AB|=1+12·(x1+x2)2-4x1x2=16,
所以S△DAB=12|AB|·d=42(x-x28+2)=22(-x2+8x+16),故当x=4时,S△DAB有最大值162.
4.(5分)过抛物线y=x2的焦点F的一条直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与QF的长分别是p,q,则1p+1q为定值( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】选D.抛物线x2=y的焦点F(0,14),准线方程为y=-14,显然直线PQ的斜率存在,设为k,则直线PQ的方程为y=kx+14,由y=kx+14y=x2消去x并整理得:y2-(k2+12)y+116=0,显然Δ=(k2+12)2-14≥0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2=116,y1+y2=k2+12,而p=y1+14,q=y2+14,因此1p+1q=44y1+1+44y2+1=16(y1+y2)+816y1y2+4(y1+y2)+1=16k2+164k2+4=4,所以1p+1q为定值4.
5.(5分)(多选题)(2024·贵阳模拟)已知抛物线C:y=ax2的顶点为O,准线为y=-12,焦点为F,过F作直线l交抛物线于M,N两点(M在N的左边),则( )
A.a=12
B.若直线l经过点(-1,0),则|MN|=72
C.线段|MN|的最小值为2
D.若FN=3MF,则直线l的斜率为33
【解析】选ACD.A选项,抛物线的标准方程为x2=1ay,准线为y=-12,则a>0,
准线方程y=-14a=-12,解得a=12,故A正确;
焦点F(0,12),过F作直线l交抛物线于M,N两点,显然l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+12,
联立y=kx+12,y=12x2,整理得x2-2kx-1=0,Δ=4k2+4>0恒成立,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2k,x1x2=-1,
|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k24k2+4=2(k2+1),
B选项,若直线l经过点(-1,0),
则k=12,|MN|=52,故B错误;
C选项,当k=0时,|MN|的最小值为2,故C正确;
D选项,由FN=3MF,得-3x1=x2,
又x1x2=-1,x10,解得x1=-33,x2=3,
又因为x1+x2=2k,所以k=33,故D正确.
6.(5分)(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则( )
A.直线AB的斜率为26
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM2p=4|OF|,C正确;
对于D,OA·OB=(3p4,6p2)·(p3,-6p3)=3p4·p3+6p2·(-6p3)=-3p240)的焦点为F(p2,0),
因为抛物线的焦点到y轴的距离为2,则p2=2,可得p=4,所以,抛物线的方程为y2=8x.
(2)若k=0,则直线AB与抛物线y2=8x只有一个交点,不符合题意,则k≠0,
设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx-2y2=8x,可得k2x2-(4k+8)x+4=0,
Δ=(4k+8)2-16k2=64k+64>0,解得k>-1,
因为线段AB中点的横坐标为2,所以4k+8k2=4,整理可得k2-k-2=0,
又因为k>-1,解得k=2,
易知抛物线y2=8x交x轴于点D(0,0),则有4x2-16x+4=0,可得x2-4x+1=0,
由根与系数的关系可得x1+x2=4,x1x2=1,
由弦长公式可得|AB|=1+22·|x1-x2|=5·(x1+x2)2-4x1x2=5×42-4=215,
原点D到直线AB:2x-y-2=0的距离为d=222+(-1)2=255,
所以,S△ABD=12|AB|·d=12×215×255=23.
【能力提升练】
10.(5分)(多选题)(2024·深圳模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,M(x0,y0)是抛物线C上一个动点,点A(0,2),则下列说法正确的是( )
A.若|MF|=5,则y0=4
B.过点A与抛物线C有一个公共点的直线有3条
C.连接M,F并延长与抛物线交于点N,若M,N的中点Q(1,1),则|MN|=4
D.点M到直线x-y+3=0的最短距离为22
【解析】选BC.由抛物线C:y2=4x的方程可得焦点F(1,0),准线方程x=-1,
A中,由抛物线的性质|MF|=x0+1=5,则x0=4,代入抛物线的方程可得y0=±4,所以A不正确;
B中,将A点的坐标代入:22>4×0,可得A点在抛物线的外面,
所以过A有两条直线与抛物线相切,还有一条平行于x轴的直线与抛物线有一个公共点,
所以有3条直线与抛物线有一个公共点,B正确;
C中,|MN|=x0+xN+p=2xQ+2=4,所以C正确;
D中,点M到直线x-y+3=0的距离
d=|x0-y0+3|2=|y024-y0+3|2=|(y0-2)2+8|42≥842=2,所以d的最小值为2,D不正确.
11.(5分)(多选题)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
A.p=2
B.|MN|=83
C. 以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
【解析】选AC.A选项:直线y=-3(x-1)过点(1,0),所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),
所以p2=1,p=2,2p=4,则A选项正确,且抛物线C的方程为y2=4x.
B选项:设M(x1,y1),N(x2,y2),
由y=-3(x-1),y2=4x消去y并化简得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0,
解得x1=3,x2=13,所以|MN|=x1+x2+p=3+13+2=163,B选项错误.
C选项:设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,
因为d=12(d1+d2)=12(|MF|+|NF|)=12|MN|,
即A到直线l的距离等于MN的一半,所以以MN为直径的圆与直线l相切,C选项正确.
D选项:直线y=-3(x-1),即3x+y-3=0,
O到直线3x+y-3=0的距离为d=32,
所以△OMN的面积为12×163×32=433,
由上述分析可知y1=-3(3-1)=-23,y2=-3(13-1)=233,
所以|OM|=32+(-23)2=21,|ON|=132+2332=133,
所以△OMN不是等腰三角形,D选项错误.
12. (5分)(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
【解析】选BCD.将点A代入抛物线方程得1=2p,所以抛物线方程为x2=y,故准线方程为y=-14,A错误;
kAB=1-(-1)1-0=2,
所以直线AB的方程为y=2x-1,
联立y=2x-1x2=y,可得x2-2x+1=0,解得x=1,故B正确;
设过点B的直线为l,若直线l与y轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,
所以,直线l的斜率存在,
设其方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立y=kx-1x2=y,得x2-kx+1=0,
所以Δ=k2-4>0x1+x2=kx1x2=1,
所以k>2或k2=|OA|2,故C正确;
因为|BP|=1+k2|x1|,|BQ|=1+k2|x2|,
所以|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正确.
13.(5分)(2024·九江模拟)已知点A,B分别是抛物线C:y2=-4x和圆E:x2+y2-2x+4y+4=0上的动点,点A到直线l:x=2的距离为d,则|AB|+d的最小值为22.
【解析】如图所示,由圆E的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1可知圆心E(1,-2),半径为r=1,
抛物线C的焦点为F(-1,0),准线方程为x=1,
由抛物线定义可知|AF|=d-1,
圆外一点到圆上点的距离满足|AE|-r≤|AB|≤|AE|+r,
即|AE|-1≤|AB|≤|AE|+1;
所以|AB|+d=|AB|+|AF|+1≥|AE|-1+|AF|+1 =|AE|+|AF|≥|EF|=22,
当且仅当A,E,F三点共线时,等号成立;
即|AB|+d的最小值为22.
【加练备选】
(2024·运城模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2,圆M:(x-1)2+y2=1,过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点,则9|AP|+4|BQ|的最小值为12.
【解析】因为抛物线的焦点到准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x,
如图,|PF|=|QF|=1,
因为9|AP|+4|BQ|=9(|AF|-|PF|)+4(|BF|-|QF|)=9|AF|+4|BF|-13,
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以|AF|=x1+p2=x1+1,|BF|=x2+p2=x2+1,
所以9|AP|+4|BQ|=9x1+4x2,
因为直线l与x轴平行时显然不符合题意,故可设l:x=my+1,
因为直线所过定点F(1,0)在抛物线内部,则直线l必然与抛物线有两交点,同样与圆也有两交点,
联立y2=4xx=my+1,x2-(2+4m2)x+1=0,
所以x1x2=1,所以9|AP|+4|BQ|=9x1+4x2≥236x1x2=12,当且仅当9x1=4x2,即x1=23,x2=32时取等号,
所以9|AP|+4|BQ|的最小值为12.
14.(10分)(2024·包头模拟)抛物线y2=2px(p>0)的准线被圆x2+y2-2y-3=0截得的弦长为23.
(1)求p的值;
(2)过点M(4,0)的直线交抛物线于点A,B,证明:以AB为直径的圆过原点O.
【解析】(1)圆x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,圆心C(0,1),半径为2,
则C到准线距离为d=22-(3)2=1,所以准线方程为x=-p2=-1,可得p=2,
所以抛物线标准方程为y2=4x.
(2)设直线AB方程为x=my+4,A(y124,y1),B(y224,y2),
联立方程x=my+4y2=4x,消去x得y2-4my-16=0,
则Δ=16m2+64>0,可得y1·y2=-16,
又因为OA=(y124,y1),OB=(y224,y2),
则OA·OB=(y1y2)216+y1y2=(-16)216+(-16)=0,
可得OA⊥OB,即以线段AB为直径的圆过原点O.
15.(10分)(2024·临沂模拟)已知抛物线E:y2=2px(p>0),P(4,y0)为E上位于第一象限的一点,点P到E的准线的距离为5.
(1)求E的标准方程;
(2)设O为坐标原点,F为E的焦点,A,B为E上异于P的两点,且直线PA与PB斜率乘积为-4.
①证明:直线AB过定点;
②求|FA|·|FB|的最小值.
【解析】(1)由题可知4+p2=5,解得p=2.
所以E的标准方程为y2=4x;
(2)①由(1)知,y02=4×4,且y0>0,解得y0=4,所以P(4,4).
设A(y124,y1),B(y224,y2),则kPA=y1-4y124-4=4y1+4,同理可得,kPB=4y2+4,
则kPA×kPB=4y1+4×4y2+4=-4,即4(y1+y2)+y1y2+20=0.
当直线AB斜率存在时,直线AB的方程为y-y1=y1-y2y124-y224(x-y124),
整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0.
所以4x-20-(y1+y2)(y+4)=0,即y+4=4y1+y2(x-5),
所以直线AB过定点(5,-4);
当直线AB的斜率不存在时,y1+y2=0,可得y12=20,x1=5.
综上,直线AB过定点(5,-4).
②设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线AB斜率存在时,
设直线AB的方程为y=k(x-5)-4=kx-5k-4,
与抛物线E联立得y2=4x,y=kx-5k-4,消去y得k2x2-(10k2+8k+4)x+(5k+4)2=0,
由题意Δ>0,所以x1+x2=10k2+8k+4k2,x1x2=(5k+4)2k2.
所以|FA|·|FB|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=(5k+4)2k2+10k2+8k+4k2+1
=48k+20k2+36=20(1k+65)2+365≥365,
所以当1k=-65,即k=-56时,
|FA|·|FB|的最小值为365;
当直线AB斜率不存在时,x1=x2=5.
由抛物线定义知|FA|·|FB|=(x1+1)(x2+1)=36.
故|FA|·|FB|的最小值为365.
【素养创新练】
16.(5分)(2024·深圳模拟)已知动点Q到抛物线C:y2=8x的焦点F的距离为1,则Q的轨迹方程是(x-2)2+y2=1,若A(4,0),P是抛物线C上的动点,则|PA|2|PQ|的最小值是4.
【解析】抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),
设动点Q的坐标为(x,y),因为|QF|=1,
所以(x-2)2+y2=1,
故点Q的轨迹方程是(x-2)2+y2=1.
设点P(s,t),则由抛物线的定义得|PF|=s+2,
|PA|2=(s-4)2+t2=s2-8s+16+8s=s2+16.
因为|PQ|≤|PF|+|FB|=|PB|,
所以|PA|2|PQ|≥|PA|2|PB|,当且仅当点Q与点B重合时等号成立,
又|PB|=|PF|+1=s+3,
所以|PA|2|PB|=s2+16s+3.
令s+3=λ,则s=λ-3,
所以|PA|2|PB|=(λ-3)2+16λ =λ2-6λ+25λ=λ+25λ-6.
因为|PA|2|PB|>0,显然有λ>0,
则由基本不等式知λ+25λ≥2λ·25λ=10,
当且仅当λ=25λ,即λ=5时等号成立.
故|PA|2|PQ|的最小值为10-6=4.