2025届高考数学一轮复习专练74 正态分布（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练74 正态分布（Word版附解析），共10页。
【基础落实练】
1.(5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.84,则P(-1≤ξ≤0)等于( )
【解析】选A.由题意得P(ξ>1)=1-P(ξ≤1)=1-0.84=0.16,所以P(-1≤ξ≤0)=12×(1-0.16×2)=0.34.
2.(5分)(2023·贵州八校联考)设随机变量X~N(2,4),若P(X>a+2)=P(Xa+2)=P(X2 210)≈12×(1-0.997 3)=0.001 35,所以P(X≤2 210)≈1-0.001 35=0.998 65.
4.(5分)某校有1 000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )
A.150B.200C.300D.400
【解析】选C.因为P(X120)=15,
P(90≤X≤120)=1-15×2=35,所以P(90≤X≤105)=310,
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1 000×310=300.
5.(5分)(2023·济南模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则μ=( )
A.-12B.0C.12D.1
【解析】选C.因为函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则f(-x)=f(x),所以P(-x≤ξ≤-x+1)=P(x≤ξ≤x+1),所以μ=-x+x+12=12.
6.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件,零件的尺寸分别记为X,Y,已知X,Y均服从正态分布,X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),其正态曲线如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.甲工厂生产零件尺寸的均值等于乙工厂生产零件尺寸的均值
B.甲工厂生产零件尺寸的均值小于乙工厂生产零件尺寸的均值
C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
【解析】选AC.X,Y均服从正态分布,X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),
结合正态密度函数的图象可知,μ1=μ2,σ15,则P-1≤X≤5=__________.
【解析】因为X~N2,σ2,P-1≤X≤2=P2≤X≤5并且PX≥2=0.5,
又因为P-1≤X≤2=3PX>5,
所以PX≥2=P2≤X≤5+PX>5=4PX>5=0.5,
所以PX>5=0.125,所以P2≤X≤5=0.5-0.125=0.375,
所以P-1≤X≤5=0.75.
答案:0.75
8.(5分)某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________.
【解析】由题意知P(ξ≥2)=0.8,P(ξ≥6)=0.2,所以P(ξ