2025届高考数学一轮复习专练52 圆的方程（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)(2024·南京模拟)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3)为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为( )
A.4,-6,3 B.-4,6,3
C.-4,6,-3 D.4,-6,-3
【解析】选D.以(-2,3)为圆心,4为半径的圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=16,
即x2+y2+4x-6y-3=0,
所以D=4,E=-6,F=-3.
2.(5分)(2024·青岛模拟)点P(a,10)与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2的位置关系是( )
A.在圆外 B.在圆上
C.在圆内 D.与a的值有关
【解析】选A.圆C: (x-1)2+(y-1)2=2的圆心C(1,1),半径r=2,因为PC=
(a-1)2+(10-1)2=(a-1)2+81>2,所以点P(a,10)在圆外.
3.(5分)圆心坐标为(-2,1),并经过点A(2,-2),则圆的标准方程为( )
A.(x-2)2+(y-1)2=5
B.(x+2)2+(y-1)2=5
C.(x+2)2+(y+1)2=25
D.(x+2)2+(y-1)2=25
【解析】选D.由题意可设圆的标准方程为:(x+2)2+(y-1)2=r2,因为点A(2,-2)在圆上,所以r2=(2+2)2+(-2-1)2=25,所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=25.
4.(5分)若直线l:ax+by-1=0(a>0,b>0)平分圆C:x2+y2-2x-4y=0的周长,则ab的取值范围是( )
A.[18,+∞)B. (0,18]
C.(0,14]D.[14,+∞)
【解析】选B.由题意得,直线ax+by-1=0过圆心(1,2),所以a+2b=1,
所以ab=12×2ab≤12(a+2b2)2=18(当且仅当a=2b,即a=12,b=14时,取“=”),
又a>0,b>0,所以ab∈(0,18].
【加练备选】
若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则1a+2b的最小值为3+22.
【解析】由圆的性质可知,直线ax+2by-2=0是圆的直径所在的直线方程.
因为圆x2+y2-4x-2y-8=0的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=13,
所以圆心(2,1)在直线ax+2by-2=0上,
所以2a+2b-2=0,即a+b=1,
因为1a+2b=(1a+2b)(a+b)=3+ba+2ab≥3+22,当且仅当a=2-1,b=2-2时等号成立,所以1a+2b的最小值为3+22.
5.(5分)(多选题)(2024·南昌模拟)已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(3,4),则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )
A.圆M的圆心坐标为(1,3)
B.圆M的半径为5
C.圆M关于直线x+y=0对称
D.点(2,3)在圆M内
【解析】选ABD.设△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+
E2-4F>0),
则1+4-D+2E+F=04+1+2D+E+F=09+16+3D+4E+F=0,解得D=-2E=-6F=5,
所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0,即(x-1)2+(y-3)2=5.
故圆M的圆心坐标为(1,3),圆M的半径为5,故A,B正确;
因为直线x+y=0不经过圆M的圆心(1,3),所以圆M不关于直线x+y=0对称,故C错误;
因为(2-1)2+(3-3)2=10,b>0,下列说法正确的是( )
A.该圆的圆心为(a,b)
B.该圆过原点
C.该圆与x轴相交于两个不同点
D.该圆的半径为a2+b2
【解析】选BC.因为圆的方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2(其中a>0,b>0),
所以圆心坐标为(a,-b),半径r=a2+b2,故A,D错误;
把原点坐标(0,0)代入圆的方程得方程左边=(0-a)2+(0+b)2=a2+b2=方程右边,所以该圆过原点,故B正确;
令y=0,得(x-a)2+b2=x2-2ax+a2+b2=a2+b2,即x2-2ax=0,解得x1=0,x2=2a,所以该圆与x轴有两个交点,故C正确.
7.(5分)(2024·唐山模拟)若圆C:x2+y2+Dx+2y=0的圆心在直线x-2y+1=0上,则C的半径为10.
【解析】由圆的一般方程,得圆心C的坐标为(-D2,-1),
代入直线x-2y+1=0中,得(-D2)-2×(-1)+1=0,解得D=6,
则半径r=1262+22=10.
8.(5分)(2024·南京模拟)已知△ABC中,A(-3,0),B(3,0),点C在直线y=x+3上,△ABC的外接圆圆心为E(0,4),则直线EC的方程为y=34x+4.
【解析】因为△ABC的外接圆圆心为E(0,4),所以△ABC的外接圆半径为32+42=5,即△ABC的外接圆方程为x2+(y-4)2=25.
联立y=x+3,x2+(y-4)2=25,
解得x=4,y=7或x=-3,y=0,
所以C(4,7)或C(-3,0)(与A点重合舍去),
所以直线EC的方程为y-74-7=x-40-4,
即y=34x+4.
9.(10分)已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和点B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上.线段PQ的端点P的坐标是(5,0),端点Q在圆C上运动,求线段PQ的中点M的轨迹方程.
【解析】设点D为线段AB的中点,直线m为线段AB的垂直平分线,则D(32,-12).
又kAB=-3,所以km=13,
所以直线m的方程为x-3y-3=0.
由x-3y-3=0,x-y+1=0,得圆心C(-3,-2),
则半径r=|CA|=(-3-1)2+(-2-1)2=5,
所以圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25.
设点M(x,y),Q(x0,y0),
因为点P的坐标为(5,0),
所以x=x0+52,y=y0+02,即x0=2x-5,y0=2y.
又点Q(x0,y0)在圆C:(x+3)2+(y+2)2=25上运动,所以(x0+3)2+(y0+2)2=25,
即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25.
整理得(x-1)2+(y+1)2=254.
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=254.
【能力提升练】
10.(5分)已知点P(1,-2)在圆C:x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部,则k的取值范围是( )
A.(-2,1) B.(1,2)
C.(-∞,-2) D.(-2,2)
【解析】选B.由x2+y2+kx+4y+k2+1=0,得(x+k2)2+(y+2)2=3-34k2,
则3-34k2>0,解得-20,解得k1②,由①②得1