2025届高考数学一轮复习专练37 等差数列（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),且a2+a4+a6=12,则a3+a4+a5=( )
A.9B.10C.11D.12
【解析】选D.由2an=an-1+an+1(n≥2)可知数列{an}为等差数列,
所以a2+a4+a6=a3+a4+a5=12.
2.(5分)公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=3a4,且S10=λa4,则λ的值为( )
A.15B.21C.23D.25
【解析】选D.由题意得a1+5d=3(a1+3d),
所以a1=-2d.
所以λ=S10a4=10a1+10×92da1+3d=10×(-2d)+45d-2d+3d=25.
3.(5分)(一题多法)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3 699块B.3 474块
C.3 402块D.3 339块
【解析】选C.方法一:设每层环数为n(n∈N*),则上层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a1,a2,…,an,中层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为an+1,an+2,…,a2n,下层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a2n+1,a2n+2,…,a3n.由题意知(a2n+1+a2n+2+…+a3n)-(an+1+an+2+…+a2n)=729,由等差数列的性质知a2n+1-an+1=a2n+2-an+2=…=a3n-a2n=9n,所以9n2=729,得n=9.
则数列{an}共有9×3=27项,故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{an}的前27项和,即27×9+27×262×9=3 402.
方法二:设每层环数为n(n∈N*),设数列{an}的前n项和为Sn,由等差数列的性质知,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=9n2,则9n2=729,解得n=9.
则数列{an}共有9×3=27项,故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{an}的前27项和,即27×9+27×262×9=3 402.
4.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,等差数列{bn}的前n项和为Tn,若SnTn=2 025n-363n+4,则a3b3=( )
A.528B.529C.530D.531
【解析】选D.根据等差数列的性质:anbn=S2n-1T2n-1得,a3b3=S5T5=2 025×5-363×5+4=531.
5.(5分)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为( )
A.99B.131C.139D.141
【解析】选D.根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个数列,得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列,即得到了一个等差数列,如图:
由图可得y-34=12x-95=y,则x=141y=46.
6.(5分)(多选题)设{an}是等差数列,d是其公差,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论正确的是( )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.当n=6或n=7时Sn取得最大值
【解析】选ABD.由S50.
同理由S7>S8,得a8<0.
又S6=S7,所以a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,所以a7=0,所以B正确;
因为d=a7-a6<0,所以A正确;
而C选项,S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,由结论a7=0,a8<0,知C选项错误;
因为S5S8,所以结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确.
7.(5分)已知等差数列{an}的前n项为Sn,若S4=3,S5=4,则a9=________.
【解析】由题知:S4=4a1+6d=3,S5=5a1+10d=4,
解得a1=35,d=110.
所以a9=a1+8d=35+8×110=75.
答案:75
8.(5分)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是________.
【解析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
则(a1+d)(a1+4d)+a1+7d=0,9a1+9×82d=27,
解得a1=-5,d=2.
所以S8=8a1+8×72d=8×(-5)+56=16.
答案:16
9.(10分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2Sn=an2+n-4(n∈N*).
(1)求证:数列{an}为等差数列;
【解析】(1)当n=1时,有2a1=a12+1-4,
即a12-2a1-3=0,
所以a1=3(a1=-1舍去).
当n≥2时,有2Sn-1=an-12+n-5,
又2Sn=an2+n-4,
所以两式相减得2an=an2-an-12+1,
即an2-2an+1=an-12,即(an-1)2=an-12,
因此an-1=an-1或an-1=-an-1.
若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,
所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数矛盾,
所以an-1=an-1,即an-an-1=1,
因此数列{an}为等差数列.
9.(10分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2Sn=an2+n-4(n∈N*).
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(2)由(1)知a1=3,数列{an}的公差d=1,
所以数列{an}的通项公式为
an=3+(n-1)×1=n+2.
【能力提升练】
10.(5分)若{an}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是( )
A.公差为3的等差数列
B.公差为4的等差数列
C.公差为6的等差数列
D.公差为9的等差数列
【解析】选C.令bn=a2n-1+2a2n,
则bn+1=a2n+1+2a2n+2,故bn+1-bn=a2n+1+2a2n+2-(a2n-1+2a2n)=(a2n+1-a2n-1)+2(a2n+2-a2n)=2d+4d=6d=6×1=6.
即{a2n-1+2a2n}是公差为6的等差数列.
11.(5分)(多选题)《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中有首古民谣记载了一数列问题:“南山一棵竹,竹尾风割断,剩下三十节,一节一个圈.头节高五寸①,头圈一尺三②.逐节多三分③,逐圈少分三④.一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是多远?”(注释:①第一节(最下面一节)的高度为0.5尺;②第一圈(最下面一圈)的周长为1.3尺;③每节比其下面的一节多0.03尺;④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)下列说法正确的是( )
A.蚂蚁爬到第10节底部时的高度是5.58尺
B.蚂蚁爬到第10节底部时的高度是6.35尺
C.蚂蚁爬到竹子顶的行程是73.995尺
D.蚂蚁爬到竹子顶的行程是61.395尺
【解析】选AD.设从地面往上,每节竹长依次为a1尺,a2尺,a3尺,…,a30尺,所以{an}是以a1=0.5为首项,0.03为公差的等差数列,an=0.5+0.03(n-1)=0.03n+0.47,前n项和Sn=0.5n+0.015n(n-1)=0.015n2+0.485n,S9=5.58,A正确,B错误.
由题意知竹节圈长,上面一圈比下面一圈少0.013尺,设从地面往上,每节圈长依次为b1尺,b2尺,b3尺,…,b30尺,所以{bn}是以b1=1.3为首项,-0.013为公差的等差数列,所以一蚂蚁往上爬,遇圈则绕圈,爬到竹子顶,行程为(0.015×302+0.485×30)+[30×1.3+30×292×(-0.013)]=61.395(尺),C错误,D正确.
12.(5分)已知三个数成等差数列,它们的和为3,平方和为359,则这三个数的积为________.
【解析】设这三个数分别为a-d,a,a+d,
由已知条件得
(a-d)+a+(a+d)=3,(a-d)2+a2+(a+d)2=359,
解得a=1,d=±23.
所以这三个数分别为13,1,53或53,1,13.
故它们的积为59.
答案:59
13.(5分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且2Sn=anan+1,n∈N*,则a4=________; 若a1=2,则S20=________.
【解析】由2Sn=anan+1可得2Sn+1=an+1an+2,两式相减得2an+1=an+1(an+2-an),由数列{an}的各项均为正数,可得到an+2-an=2,令n=1,则有2S1=2a1=a1a2,解得a2=2,所以a4=4;若a1=2,则a3=4,即奇数列与偶数列均为首项为2,公差为2的等差数列,可求得S20=2(10×2+10×92×2)=220.
答案:4 220
14.(10分)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.
(1)求d及Sn;
【解析】(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,
将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.
因为d>0,所以d=2.
从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).
14.(10分)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.
(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.
【解析】(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),
所以(2m+k-1)(k+1)=65.
由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,
故2m+k-1=13,k+1=5,
解得m=5,k=4.
即m的值为5,k的值为4.
15.(10分)(2023·青岛模拟)记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.
(1)求数列an的通项公式an;
【解析】(1)由等差数列的性质可得:S5=5a3,
则a3=5a3,所以a3=0,
设等差数列的公差为d,
从而有:a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,
S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,
从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,
数列的通项公式为:an=a3+(n-3)d=2n-6.
15.(10分)(2023·青岛模拟)记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.
(2)求使Sn>an成立的n的最小值.
【解析】(2)由数列的通项公式可得:a1=2-6=-4,
则Sn=n×(-4)+n(n-1)2×2=n2-5n,
则不等式Sn>an即:n2-5n>2n-6,
整理可得:(n-1)(n-6)>0,
解得:n<1或n>6,又n为正整数,
故n的最小值为7.
【素养创新练】
16.(5分)(2023·杭州模拟)定义“等方差数列”:如果一个数列从第二项起,每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等方差数列,这个常数叫做该数列的方公差.设an是由正数组成的等方差数列,且方公差为2,a9=32,则数列2an+an+1的前24项和为( )
A.42B.4C.32D.6
【解析】选A.根据题意,得an+12-an2=2(n≥1,n∈N*),故an2是公差为2的等差数列,
所以an2=a92+2(n-9)=2n,即an=2n,
所以2an+an+1=22n+2+2n
=2(2n+2-2n)(2n+2+2n)(2n+2-2n)
=2n+2-2n,
故数列2an+an+1的前24项和为:(4-2)+(6-4)+…+(50-48)=50-2=42.
17.(5分)若数列{an}满足an+12n+5-an2n+3=1,且a1=5,则数列{an}的前200项中,能被 5整除的项数为( )
A.90B.80C.60D.40
【解析】选B.数列{an}满足an+12n+5-an2n+3=1,
即an+12(n+1)+3-an2n+3=1,
又a12×1+3=1,
所以数列an2n+3是以1为首项,1为公差的等差数列,
所以an2n+3=n,
所以an=2n2+3n,
列表如下:
所以每10项中有4项能被5整除,所以数列{an}的前200项中,能被5整除的项数为80.项
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
an的个
位数
5
4
7
4
5
0
9
2
9
0