2025届高考数学一轮复习专练58 直线和双曲线（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)(2024·大连模拟)过双曲线x2-y2=2的左焦点作直线l,与双曲线交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
【解析】选D.由题意得双曲线左焦点(-2,0),当直线垂直于横轴时,|AB|=22不符合题意,双曲线渐近线方程为y=±x;
故可设l:y=k(x+2)(k≠±1),A(x1,y1),B(x2,y2),
与双曲线联立可得y=k(x+2)x2-y2=2⇒(1-k2)x2-4k2x-4k2-2=0,
x1+x2=4k21-k2,x1·x2=-4k2-21-k2,
由弦长公式知|AB|=k2+1|x1-x2|=k2+1·8(k2+1)|k2-1|=4⇒k2+1=2|k2-1|,则k=±(2-1)或k=±(2+1).
故存在四条直线满足条件.
2.(5分)(2024·深圳模拟)已知两个点M(-5,0),N(5,0),若一条直线上存在点P,使得|PM|-|PN|=6,则称该直线为“hld直线”.给出下列直线:①y=43x,②y=2x+1,③y=x+1,则这三条直线中“hld直线”的条数为( )
A.3B.2C.1D.0
【解析】选C.由题意知|PM|-|PN|=60,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线l与一条渐近线垂直,垂足为M,l交双曲线右支于点N,F1N=4F1M,则离心率e=( )
A.233B.53C.43D.2
【解析】选B.设F1(-c,0),不妨取其中一条渐近线y=-bax,由两直线垂直,斜率乘积为-1,得过F1的直线l的方程为y=ab(x+c),联立上述两直线可求得点M的坐标为(-a2c,abc),因为F1N=4F1M,则yN=4yM,故yN=4abc,由直线l的方程为y=ab(x+c)得N点坐标为(3c2-4a2c,4abc),因为点N在双曲线上,所以(3c2-4a2)2a2c2-16a2c2=1,化简得9c2=25a2,故e=ca=259=53.
5.(5分)(多选题)(2024·黄石模拟)过双曲线C:x24-y25=1的右焦点作直线l,与该双曲线交于A,B两点,则( )
A.存在四条直线l,使|AB|=92
B.与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲线的标准方程为y220-x216=1
C.若A,B都在该双曲线的右支上,则直线l斜率的取值范围是(-∞,-52)∪(52,+∞)
D.存在直线l,使弦AB的中点为M(4,1)
【解析】选BC.对于A,由于C:x24-y25=1,所以右焦点为(3,0),设直线l的方程为:x=my+3.联立x24-y25=1x=my+3得:(5m2-4)y2+30my+25=0,Δ>0恒成立.所以A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-30m5m2-4,y1y2=255m2-4.
所以|AB|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=1+m2-30m5m2-42-4×255m2-4=20(m2+1)5m2-4.所以20(m2+1)5m2-4=92,解得m2=765,所以只有两条,故A错误;
对于B,双曲线C:x24-y25=1的渐近线为y=±52x,所以ba=52,过点(8,10)的双曲线的标准方程为y220-x216=1,故B正确;
对于C,若A,B都在该双曲线的右支上,则y1y2=255m2-40,b2=1+m>0,则m>-1,
即椭圆焦点在x轴,则c2=a2-b2=3,得c=3,
此时焦点坐标为±3,0,
若曲线表示双曲线,由4+m1+m0,
所以k∈(-∞,-33)∪(33,+∞).
8.(5分)(2022·浙江高考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点Ax1,y1,交双曲线的渐近线于点Bx2,y2且x10),
因为该双曲线的实轴长为2,一条渐近线斜率为2,则2a=2ba=2,解得a=1b=2,
因此,该双曲线的标准方程为x2-y22=1.
(2)假定直线l存在,设以A(1,1)为中点的弦的两端点为P(x1,y1),Q(x2,y2),
则有x1+x2=2,y1+y2=2.
根据双曲线的对称性知x1≠x2.由点P,Q在双曲线上,得2x12-y12=2,2x22-y22=2,
两式相减得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,所以2×2(x1-x2)-2(y1-y2)=0,所以y1-y2x1-x2=2,即以A(1,1)为中点的弦所在直线的斜率k=2,故直线PQ的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.联立2x2-y2=22x-y-1=0,消去y得2x2-4x+3=0,Δ=(-4)2-4×2×3=-80,
整理得1-k2≠0Δ=4(4-3k2)>0,
解得:-2330,即7m2+3-12m2>0解得m21)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率;
(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.
【解析】(1)因为点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a>1)上,所以4a2-1a2-1=1,解得a2=2,
即双曲线C:x22-y2=1,易知直线l的斜率存在,
设l:y=kx+m,Px1,y1,Qx2,y2,
联立y=kx+mx22-y2=1
可得,1-2k2x2-4mkx-2m2-2=0,
所以,x1+x2=-4mk2k2-1,x1x2=2m2+22k2-1,
Δ=16m2k2-42m2+22k2-1>0⇒m2+1-2k2>0.
所以由kAP+kAQ=0可得,y1-1x1-2+y2-1x2-2=0,
即x1-2kx2+m-1+(x2-2)(kx1+m-1)=0,
即2kx1x2+m-1-2kx1+x2-4(m-1)=0,
所以2k×2m2+22k2-1+(m-1-2k) (-4mk2k2-1)-4m-1=0,
化简得,8k2+4k-4+4mk+1=0,
即k+12k-1+m=0,
所以k=-1或m=1-2k,
当m=1-2k时,直线l:y=kx+m=kx-2+1过点A2,1,与题意不符,舍去,故k=-1.
(2)不妨设直线PA,AQ的倾斜角为α,β(α0,y