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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式同步训练题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式同步训练题，文件包含高中数学培优讲义练习人教A版2019必修一专题23基本不等式-重难点题型精讲Word版含解析docx、高中数学培优讲义练习人教A版2019必修一专题23基本不等式-重难点题型精讲学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
1. 两个不等式
eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq \r(ab)≠eq \f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq \r(ab)2．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
【题型1 对基本不等式的理解】
【方法点拨】
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：
①当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；
②仅当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a＝b.
【例1】（2022春•肥东县月考）对于不等式①4+6＞25，②x+1x≥2（x≠0），③a2+b2≥22(a+b)(a、b∈R)，下列说法正确的是（ ）
A．①③正确，②错误B．②③正确，①错误
C．①②错误，③正确D．①③错误，②正确
【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a+b＞2abB．a+b＜2abC．a2+2b＞2abD．a2+2b＜2ab
【变式1-2】（2022春•汤原县期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（ ）
A．ab≥1B．a+b≥2C．a2+b2≥2D．1a+1b≤2
【变式1-3】（2021秋•宿州期末）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则下列选项错误的是（ ）
A．0＜b＜12B．2a+4b≥22
C．ab的最大值是18D．a2+b2的最小值是516
【题型2 利用基本不等式证明不等式】
【方法点拨】
(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为
“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等
式的形式．
【例2】（2021秋•上饶期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：(1+1a)(1+1b)≥9．
【变式2-1】（2022•甘肃模拟）已知a，b∈R+，设x=ab，y=a2+b22，求证：
（1）xy≥ab；
（2）x+y≤a+b．
【变式2-2】（2021秋•桂林月考）已知a＞0，b＞0．
（1）若1a+9b=1，求证：a+b≥16；
（2）求证：a+b+1≥ab+a+b．
【变式2-3】（2022•黄州区校级模拟）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：
（1）a+b+c≥3；
（2）abc+bac+cab≥3（a+b+c）．
【题型3 利用基本不等式求最值（无条件）】
【方法点拨】
(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答
技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
【例3】（2022春•漳州期末）已知a＞1，则a+4a−1的最小值是（ ）
A．5B．6C．32D．22
【变式3-1】（2022春•甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3-2】（2022•怀仁市校级二模）函数y=3x+43x−1(x＞13)的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【变式3-3】（2022•香坊区校级模拟）若a＞0，b＞0，求ba2+1b+a的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
【题型4 利用基本不等式求最值（有条件）】
【例4】（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则ba+2b的最小值为（ ）
A．32B．2+1C．52D．3
【变式4-1】（2022秋•广东月考）若正实数y满足2x+y＝9，则−1x−4y的最大值是（ ）
A．6+429B．−6+429C．6+42D．−6−42
【变式4-2】（2022秋•浙江月考）已知正实数x，y满足1x+4y+4=x+y，则x+y的最小值为（ ）
A．13−2B．2C．2+13D．2+14
【变式4-3】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1b)(b+1a)的最小值为（ ）
A．22+2B．4C．254D．22+1
【题型5 利用基本不等式求参数】
【例5】（2022春•爱民区校级期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[9，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．[1+∞）D．（﹣9，1）
【变式5-1】（2021秋•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）B．（﹣9，1）
C．[﹣9，1]D．（﹣1，9）
【变式5-2】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=m，若(a+1b)(b+1a)的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．{2}B．[2，+∞）C．（0，2]D．（0，+∞）
【变式5-3】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．{x|x≤﹣6或x≥4}B．{x|x≤﹣4或x≥6}C．{x|﹣6＜x＜4}D．{x|﹣4＜x＜6}
【题型6 利用基本不等式解决实际问题】
【方法点拨】
解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后
要回应题意下结论(作答)．
【例6】（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
【变式6-1】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．
（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x+2y的最小值．
【变式6-2】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．
（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积Scm2；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．
【变式6-3】（2021秋•湖州期中）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．
（Ⅰ）若DP＞13AB，求x的取值范围；
（Ⅱ）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
1. 两个不等式
eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq \r(ab)≠eq \f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq \r(ab)
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
【题型1 对基本不等式的理解】
【方法点拨】
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：
①当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；
②仅当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a＝b.
【例1】（2022春•肥东县月考）对于不等式①4+6＞25，②x+1x≥2（x≠0），③a2+b2≥22(a+b)(a、b∈R)，下列说法正确的是（ ）
A．①③正确，②错误B．②③正确，①错误
C．①②错误，③正确D．①③错误，②正确
【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a+b＞2abB．a+b＜2abC．a2+2b＞2abD．a2+2b＜2ab
【变式1-2】（2022春•汤原县期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（ ）
A．ab≥1B．a+b≥2C．a2+b2≥2D．1a+1b≤2
【变式1-3】（2021秋•宿州期末）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则下列选项错误的是（ ）
A．0＜b＜12B．2a+4b≥22
C．ab的最大值是18D．a2+b2的最小值是516
【题型2 利用基本不等式证明不等式】
【方法点拨】
(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为
“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等
式的形式．
【例2】（2021秋•上饶期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：(1+1a)(1+1b)≥9．
【变式2-1】（2022•甘肃模拟）已知a，b∈R+，设x=ab，y=a2+b22，求证：
（1）xy≥ab；
（2）x+y≤a+b．
【变式2-2】（2021秋•桂林月考）已知a＞0，b＞0．
（1）若1a+9b=1，求证：a+b≥16；
（2）求证：a+b+1≥ab+a+b．
【变式2-3】（2022•黄州区校级模拟）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：
（1）a+b+c≥3；
（2）abc+bac+cab≥3（a+b+c）．
【题型3 利用基本不等式求最值（无条件）】
【方法点拨】
(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答
技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
【例3】（2022春•漳州期末）已知a＞1，则a+4a−1的最小值是（ ）
A．5B．6C．32D．22
【变式3-1】（2022春•甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3-2】（2022•怀仁市校级二模）函数y=3x+43x−1(x＞13)的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【变式3-3】（2022•香坊区校级模拟）若a＞0，b＞0，求ba2+1b+a的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
【题型4 利用基本不等式求最值（有条件）】
【例4】（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则ba+2b的最小值为（ ）
A．32B．2+1C．52D．3
【变式4-1】（2022秋•广东月考）若正实数y满足2x+y＝9，则−1x−4y的最大值是（ ）
A．6+429B．−6+429C．6+42D．−6−42
【变式4-2】（2022秋•浙江月考）已知正实数x，y满足1x+4y+4=x+y，则x+y的最小值为（ ）
A．13−2B．2C．2+13D．2+14
【变式4-3】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1b)(b+1a)的最小值为（ ）
A．22+2B．4C．254D．22+1
【题型5 利用基本不等式求参数】
【例5】（2022春•爱民区校级期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[9，+∞）B．（﹣∞，﹣3]C．[1+∞）D．（﹣9，1）
【变式5-1】（2021秋•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）B．（﹣9，1）
C．[﹣9，1]D．（﹣1，9）
【变式5-2】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=m，若(a+1b)(b+1a)的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．{2}B．[2，+∞）C．（0，2]D．（0，+∞）
【变式5-3】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．{x|x≤﹣6或x≥4}B．{x|x≤﹣4或x≥6}C．{x|﹣6＜x＜4}D．{x|﹣4＜x＜6}
【题型6 利用基本不等式解决实际问题】
【方法点拨】
解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后
要回应题意下结论(作答)．
【例6】（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
【变式6-1】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．
（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x+2y的最小值．
【变式6-2】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．
（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积Scm2；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．
【变式6-3】（2021秋•湖州期中）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．
（Ⅰ）若DP＞13AB，求x的取值范围；
（Ⅱ）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
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