高考数学一轮复习第三章第七讲正弦定理和余弦定理课件

这是一份高考数学一轮复习第三章第七讲正弦定理和余弦定理课件，共60页。PPT课件主要包含了三角形解的判断，常用结论，图3-7-1，答案B，＝sinB，＋∠ABC＝π，答案ABD，边是否相等，否相等，答案A等内容，欢迎下载使用。
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量
1.正弦定理与余弦定理
3.三角形中常用的面积公式
(1)在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.(2)三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.(3)内角和公式的变形①sin (A＋B)＝sin C；②cs (A＋B)＝－cs C.
(4)角平分线定理如图 3-7-1，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，AD 平分∠BAC，
考点一 利用正、余弦定理解三角形1.(2023 年北京卷)在△ABC 中，(a＋c)(sin A－sin C)＝
b(sin A－sin B)，则 C＝(
所以(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)可化为(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，
解得 AB＝4 或 2.故选 BD.答案：BD
3.(2023 年全国Ⅰ卷)已知在△ABC 中，A＋B＝3C，2sin (A－C)
(1)求 sin A 的值；
(2)设 AB＝5，求 AB 边上的高.
解：(1)∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，∵2sin (A－C)＝sin B，∴2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，∴2sin A cs C－2cs A sin C＝sin A cs C＋cs A sin C.∴sin A cs C＝3cs A sin C.
解得 h＝6，即 AB 边上的高为 6.
4.(2021 年全国Ⅰ卷)记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 b2＝ac，点 D 在边 AC 上，BD sin∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若 AD＝2DC，求 cs∠ABC.
∴b＝2R sin∠ABC，c＝2R sin∠ACB，
∵b2＝ac，∴b·2R sin∠ABC＝a·2R sin∠ACB，即 b sin∠ABC＝a sin C，∵BD sin∠ABC＝a sin C，∴BD＝b.
(2)解：在△BCD 中，由正弦定理可知 a sin C＝BD sin∠BDC
＝b sin∠BDC，
而由题意可知 ac＝b2⇒a sin C＝b sin∠ABC，
于是 sin∠BDC＝sin∠ABC，从而∠BDC＝∠ABC 或∠BDC
若∠BDC＝∠ABC，则△CBD∽△CAB，于是 CB2＝CD·CA⇒
【题后反思】解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
考点二 判断三角形的形状[例 1](1)(多选题)(2023 年新乡市校级月考)对于△ABC，有如
下判断，其中正确的判断是(
A.若 cs A＝cs B，则△ABC 为等腰三角形B.若△ABC 为锐角三角形，则 sin A＞cs BC.若 a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC 有两个D.若sin2A－sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形
边)，则△ABC 的形状为(
A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
即 a2＋c2－b2＝2a2，
所以 a2＋b2＝c2.所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角
又 sin A＝sin (B＋C)＝sin B cs C＋cs B sin C，所以 cs B sin C＝sin B cs C＋cs B sin C，即 sin B cs C＝0，又 sin B≠0，
所以 cs C＝0，又角 C 为三角形的内角，
【题后反思】判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三
角形的形状.此时要注意应用 A＋B＋C＝π这个结论.
考点三 与三角形面积、周长有关的问题
考向 1 与三角形面积有关的问题
[例 2](2023 年抚州市校级期末)△ABC 的内角 A，B，C 的对
【题后反思】(1)求三角形面积的方法
①若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入(1)中公式求面积.总之，结合图形选择恰当的面积公式是解题的关键.
(2)已知三角形面积求边、角的方法
①若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列
②若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式
考向 2 与三角形周长有关的问题
【考法全练】1.(考向 1)(2023 年哈尔滨市校级期末)在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知________(在以下这两个条件中任选一个填入上方的横线上作为已知条件，并解答下面两个问题，如果选择多个条件解答，按第一个解答计分)
若选②，a cs C＋c cs A＝2b cs B；
(1)由正弦定理可得 sin A cs C＋sin C cs A＝2sin B cs B，可得 sin (A＋C)＝sin B＝2sin B cs B，
又a＝2，由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bc cs A＝bc，即(b＋c)2－2bc－4＝bc，
∴b＋c≤4.∴a＋b＋c≤6，∴△ABC 周长的最大值为 6.
(1)求 sin∠BCE 的值；(2)求 CD 的长.
解：(1)在△BEC 中，由正弦定理知
【反思感悟】平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.
【高分训练】(2022 年深圳市一模)如图 3-7-3，在△ABC 中，已知 AB＝2，
于点 P.(1)求∠BAM 的正弦值；(2)求∠MPN 的余弦值.图 3-7-3