《高考总复习》数学 第三章 第7讲 正弦定理和余弦定理[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第三章 第7讲 正弦定理和余弦定理[配套课件]，共46页。PPT课件主要包含了csinC，题组一，走出误区，根据正弦定理，题组二，走进教材，答案－，考点1，正弦定理与余弦定理，自主练习等内容，欢迎下载使用。

1.正弦定理与余弦定理
b2＋c2－2bccs A
c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.3.在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：
1.(多选题)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c，下列结论一定正确的是(A.a2＝b2＋c2－2bccs AB.asin B＝bsin AC.a＝bcs C＋ccs BD.acs B＋bcs C＝c
可得 asin B＝bsin A，故 B 正确；
解析：根据余弦定理可得 a2＝b2＋c2－2bccs A，故 A 正确；
a bsin A sin B
根据正弦定理，a＝bcs C＋ccs B⇒sin A＝sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)＝sin A，故 C 正确；根据正弦定理的边角互化可得 sin Acs B ＋sin Bcs C ＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，sin Bcs C＝cs A·sin B，又 sin B≠0，所以 cs C＝cs A，当 A＝C 时，等式成立，故 D 不正确；故选 ABC.答案：ABC
2.(必修 5P4 练习 1 改编)在 △ABC 中，已知 A＝45°，C＝30°，c＝10，则 a＝________.
3.(必修 5P8 练习 2 改编)在△ABC 中，已知 a＝7，b＝10， c＝6，则最大角的余弦值为________.解析：由余弦定理得，最大角的余弦值为
题组三 真题展现4.(2017 年全国Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcs B＝acs C＋ccs A，则 B＝______________.解析：方法一，由 2bcs B＝acs C＋ccs A，得 2sin Bcs B＝sin Acs C＋cs Asin C＝sin(A＋C)＝sin B， 方法二，2bcs B＝acs C＋ccs A
5.(2019 年上海)在△ABC 中，AC＝3，3sin A＝2sin B，且解析：∵3sin A＝2sin B，∴由正弦定理可得 3BC＝2AC，∴由 AC＝3，可得 BC＝2，
1.(2017 年全国Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c. 已知 sin B ＋sin A(sin C －cs C) ＝0 ，a ＝2 ，c ＝ ，则
解析：由题意，得 sin(A＋C)＋sin A(sin C－cs C)＝0，得sin Acs C＋cs Asin C＋sin Asin C－sin Acs C＝0，即 sin C·
2.(2019 年全国Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin A＋acs B＝0，则 B＝__________.解析：bsin A＋acs B＝0，即 bsin A＝－acs B，即 sin Bsin A＝－sin Acs B，sin B＝－cs B，
3.(2015 年全国Ⅰ) 在平面四边形 ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C＝75°，BC＝2，则 AB 的取值范围是________________.
解析：如图 D21，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A与 E 重合时，AB 最长，在△BCE 中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝
此时与 AB 交于 F.在△BCF 中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝
4.(2019 年全国Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
解析：由 asin A－bsin B＝4csin C，得 a2－b2＝4c2，a2＝
【题后反思】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
考点 2 正弦定理与余弦定理的综合应用
[例 1](2019 年全国Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.(1)求 A；(2)若 a＋b＝2c，求 sin C.解：(1)由已知得 sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得 b2＋c2－a2＝bc.
因为 0°【题后反思】有关三角函数知识与解三角形的综合题是高考题中的一种重要题型，解这类题，首先要保证边和角的统一，用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一.一般步骤为：①先利用正弦定理或余弦定理，将边的关系转化为只含有
②再利用三角函数的和差角公式、二倍角公式及二合一公
式将三角函数化简及求值.
三角形的面积问题 多维探究
(1)求角 A，B，C 的大小；(2)求△ABC 的周长和面积.
⊙转化与化归思想判断三角形的形状[例 3](1)在△ABC 中，如果 sin A＝2sin Ccs B，那么这个
A.锐角三角形C.等腰三角形
B.直角三角形D.等边三角形
解析：方法一，∵sin A ＝sin [π －(B ＋C)] ＝sin(B ＋C) ＝sin Bcs C＋cs Bsin C，而 sin A＝2sin Ccs B，∴2sin Ccs B＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
即 sin Ccs B＝sin Bcs C，∴sin Bcs C－cs Bsin C＝0＝sin(B－C)，又∵B，C 是△ABC 的内角，∴B＝C 故.ABC 是等腰三角形.方法二，sin A＝2sin Ccs B，得 a＝2ccs B，
a2＋c2－b22ac
，a2＝a2＋c2－b2，
得 c2－b2＝0，∴b＝c 故.ABC 是等腰三角形.答案：C
(2)已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析：方法一，已知等式可化为 a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cs Asin B＝2b2cs Bsin A.
由正弦定理知上式可化为sin2Acs Asin B＝sin2Bcs Bsin A，∴sin 2A＝sin 2B，由 0<2A<2π，0<2B<2π.得 2A＝2B 或 2A＝π－2B，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.方法二，同方法一可得 2a2cs Asin B＝2b2sin Acs B.
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2).即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.∴a＝b 或 a2＋b2＝c2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
(3)(多选题)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
下列四个命题中正确的是(
A.若 a2＋b2－c2>0，则△ABC 一定是锐角三角形
a b ccs A cs B cs C
，则△ABC 一定是等边三角形
C.若 acs A＝bcs B，则△ABC 一定是等腰三角形D.若 acs B＋bcs A＝a，则△ABC 一定是等腰三角形解析：当 a＝4，b＝2，c＝3 时，a2＋b2－c2>0，△ABC 为钝角三角形，A 错误；
a bcs A cs B
，所以 tan A＝tan B＝tan C，且 A，
B，C∈(0，π)，所以A＝B＝C，△ABC为等边三角形，B正确；不一定是等腰三角形，C 错误；acs B ＋ bcs A ＝ a ⇒ sin Acs B ＋ sin Bcs A ＝ sin A ⇒sin(A＋B)＝sin A⇒sin C＝sin A，又因为 A，C∈(0，π)，所以A＝C.即△ABC为等腰三角形，D正确.故选 BD.答案：BD
【策略指导】三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如 a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcs C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如 sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 sin A＝
等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进
行判断.(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能.
1.(2013 年陕西)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为
a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形C.钝角三角形
B.锐角三角形D.不确定
∴△ABC 为直角三角形.故选 A.
方法二，由 bcs C＋ccs B＝asin A，得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin A·sin A.∴sin(B＋C)＝sin A＝sin A·sin A.
∴△ABC 为直角三角形.故选 A.答案：A
A.等边三角形C.等腰三角形
B.直角三角形D.等腰直角三角形
cs(B＋C)＝cs Bcs C－sin Bsin C，所以，cs Bcs C＋sin Bsin C＝1，即 cs(B－C)＝1，∴B＝C.故选 C.答案：C
两点注意：(1)已知两边及其中较小的边所对的角，解三角形时，可能出现一解，两解或无解的情况(一般地，设大边所对的角为θ，若 sin θ＝1 有一个解，若 sin θ∈(0，1)有两解；若sin θ>1 无解).
(2)在△ABC 中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
两种策略：(1)解三角形时，已知角多考虑用正弦定理，已
知边多考虑用余弦定理.