人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-2第2课时奇偶性的应用课件

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第2课时　奇偶性的应用第三章　函数的概念与性质3.2　函数的基本性质3.2.2　奇偶性[学习目标]　1．掌握用奇偶性求解析式的方法．(数学运算)2．理解奇偶性对单调性的影响并能用此比较大小、求最值和解不等式．(逻辑推理、数学运算)[讨论交流]　预习教材P86－P87的T11，T12，思考以下问题：问题1．如何利用函数的奇偶性求解析式？问题2．奇(偶)函数在对称区间上的单调性存在怎样的关系？整体感知[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1　根据函数的奇偶性求函数的解析式[典例讲评]　1．若函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝x2－2x－1，求函数f (x)的解析式．探究建构 [母题探究]　将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，当x≥0时，f (x)＝x2－2x－1，求当x＜0时，函数f (x)的解析式．[解]　当x＜0时，－x＞0，f (－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，因为函数f (x)是偶函数，所以f (x)＝f (－x)，所以f (x)＝x2＋2x－1，即x＜0时，f (x)＝x2＋2x－1．反思领悟　利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)．提醒：若奇函数f (x)在x＝0处有意义，则必有f (0)＝0．  探究2　利用函数的奇偶性与单调性比较大小探究问题　结合奇函数与偶函数的图象特点，想一想：如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？提示：奇函数在(－2，－1)上单调递减，则在(1，2)上单调递减；偶函数在(－2，－1)上单调递减，则在(1，2)上单调递增．[新知生成](1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](af (－3)>f (π) D．f (－3)>f (－2)＜f (π)A　[由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则x∈(－∞，0)时，f (x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f (π)＞f (－3)＞f (－2)，故选A．]√[母题探究]　(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系如何？(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小．[解]　(1)因为f (x)在[0，＋∞)上单调递减，所以有f (2)>f (3)>f (π)．又因为f (x)是R上的偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有f (－2)>f (－3)>f (π)．(2)因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数在R上是增函数，因为－3<－2<π，所以f (－3)f (x2)的形式．(2)利用单调性“脱去”函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．提醒：利用好偶函数的性质f (x)＝f (|x|)可以避免讨论，简化计算；在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f ”时，需要转化为含有符号“f ”的形式，如0＝f (1)，f (x－1)<0，则f (x－1)0，则x的取值范围是________．(－1，3)　[∵f (x)为偶函数，∴f (x－1)＝f (|x－1|)，又f (2)＝0，f (x－1)>0，∴f (|x－1|)>f (2)．∵|x－1|∈[0，＋∞)，2∈[0，＋∞)，且f (x)在[0，＋∞)上单调递减，∴|x－1|<2，即－20时，f (x)＝x2－6x，则f (－1)＝(　　)A．－7　　　B．－5　　　C．5　　　D．7243题号1应用迁移√C　[因为f (x)为奇函数，且当x>0时，f (x)＝x2－6x，所以f (－1)＝－f (1)＝－1＋6＝5．故选C．]2．已知函数f (x)在R上为偶函数，且当x≥0时，f (x)＝x＋1，则当x<0时，f (x)的解析式是(　　)A．f (x)＝x－1　　　 B．f (x)＝x＋1C．f (x)＝－x＋1　　　 D．f (x)＝－x－123题号14√C　[当x<0时，－x>0，由于f (x)是偶函数，所以f (x)＝f (－x)＝－x＋1．故选C．]3．(多选)已知f (x)在R上为偶函数，且有f (3)>f (1)，则下列各式中一定成立的是(　　)A．f (－1)f (2)　　　 D．f (2)>f (0)23题号41√AB　[∵f (x)为偶函数，∴f (－3)＝f (3)，f (－1)＝f (1)，又f (3)>f (1)，∴f (－3)>f (1)，f (3)>f (－1)都成立．]√4．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，f (－5)＝0，则不等式xf (x)>0的解集是________________.243题号1(－5，0)∪(0，5)　[依题意，函数f (x)是定义在R上的奇函数，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，f (－5)＝0，由此画出f (x)的大致图象如图所示，由图可知，xf (x)>0的解集是(－5，0)∪(0，5)．](－5，0)∪(0，5)1．知识链：(1)利用奇偶性求函数的值、解析式；(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．2．方法链：转化法、数形结合法．3．警示牌：利用奇偶性求函数的解析式时，因转化混乱导致求解错误．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若奇函数f (x)在原点处有定义，则f (0)为定值吗？若f (x)为偶函数呢？[提示]　若f (x)为奇函数，且在原点处有定义，则f (0)＝0；若f (x)为偶函数，则无法判断该值的大小．2．如果奇函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么f (x)在(－b，－a)上的单调性如何？如果偶函数f (x)在区间(a，b)上单调递减，那么f (x)在(－b，－a)上的单调性如何？[提示]　如果奇函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么f (x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f (x)在区间(a，b)上单调递减，那么f (x)在(－b，－a)上单调递增．3．若奇函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (a)>f (b)，则a，b的大小关系如何？若f (x)为偶函数呢？[提示]　奇函数时，a>b；偶函数时，|a|<|b|．