人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-2第1课时奇偶性的概念课件

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第1课时　奇偶性的概念第三章　函数的概念与性质3.2　函数的基本性质3.2.2　奇偶性[学习目标]　1．理解奇函数、偶函数的定义．(数学抽象)2．了解奇函数、偶函数图象的特征．(直观想象)3．掌握判断函数奇偶性的方法．(逻辑推理)整体感知[讨论交流]　预习教材P82－P84，并思考以下问题：问题1．奇函数与偶函数的定义是什么？问题2．奇、偶函数的定义域有什么特点？问题3．奇、偶函数的图象有什么特征？[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1　函数奇偶性的概念探究问题1　观察下列两个函数的图象，它们有什么共同特征？探究建构提示：两个函数的图象都关于y轴对称．探究问题2　填写下表，观察问题1中两个函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，如何利用符号语言精确地描述这种关系？提示：当自变量x任取一对相反数时，相应的两个函数值相等，即∀x∈R，f (－x)＝f (x)． 提示：(1)两个函数的图象都关于原点O(0，0)成中心对称图形．(2)当自变量x任取一对相反数时，相应的函数值f (x)也是一对相反数．即∀x∈R，f (－x)＝－f (x)．[新知生成]1．偶函数(1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有________，且_______________，那么函数f (x)就叫做偶函数．(2)图象特征：图象关于____对称．2．奇函数(1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有________，且________________，那么函数f (x)就叫做奇函数．(2)图象特征：图象关于____对称．－x∈Df (－x)＝f (x)y轴－x∈Df (－x)＝－f (x)原点  解：(1)函数f (x)＝x4的定义域为R．因为∀x∈R，都有－x∈R，且f (－x)＝(－x)4＝x4＝f (x)，所以，函数f (x)＝x4为偶函数．  [典例讲评]　1．(源自苏教版教材)判定下列函数是否为偶函数或奇函数：(1)f (x)＝x2－1；(2)f (x)＝2x；(3)f (x)＝2|x|；(4)f (x)＝(x－1)2．[解]　(1)函数f (x)＝x2－1的定义域是R．因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f (－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f (x)，所以函数f (x)＝x2－1是偶函数．(2)函数f (x)＝2x的定义域是R．因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f (－x)＝2(－x)＝－2x＝－f (x)，所以函数f (x)＝2x是奇函数．(3)函数f (x)＝2|x|的定义域是R．因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f (－x)＝2|－x|＝2|x|＝f (x)，所以函数f (x)＝2|x|是偶函数．(4)函数f (x)＝(x－1)2的定义域是R．因为f (1)＝0，f (－1)＝4，所以f (1)≠f (－1)，f (1)≠－f (－1)．因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数f (x)＝(x－1)2既不是奇函数，也不是偶函数．反思领悟　判断函数奇偶性的2种方法(1)定义法：(2)图象法：   探究2　奇、偶函数的图象及应用[典例讲评]　2．已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f (x)＝x2＋2x．现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f (x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f (x)的单调递增区间；(3)根据图象写出使f (x)<0的x的取值集合．[解]　(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．[母题探究]　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？[解]　(1)由题意作出函数图象，如图所示．(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1)．(3)由图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)．反思领悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．[学以致用]　2．定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数f (x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f (x)的图象；(2)比较f (1)与f (3)的大小．[解]　(1)由于f (x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．(2)观察图象，知f (3)0．[解]　(1)先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f (x)的图象如图．(2)xf (x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf (x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2)．探究3　利用奇偶性求函数值[典例讲评]　3．(1)若函数f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝_____，b＝____．(2)已知f (x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f (－2)＝10，则f (2)＝______．  0－26(2)令h(x)＝x5＋ax3＋bx，易知h(x)为奇函数．因为f (x)＝h(x)－8，h(x)＝f (x)＋8，所以h(－2)＝f (－2)＋8＝18．h(2)＝－h(－2)＝－18，所以f (2)＝h(2)－8＝－18－8＝－26．]反思领悟　利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)列式，比较系数即可求解．[学以致用]　3．(1)若函数f (x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，则a＝(　　)A．1 　　　B．2　　　C．3 　　　D．0(2)若f (x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝____．(1)D　(2)4　[(1)∵f (x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，∴f (－x)＝f (x)对于任意的x∈R都成立．∴f (－1)＝f (1)，即2－|a－3|＝2－|a＋3|，解得a＝0．当a＝0时，经检验，满足题意．故选D．√4　(2)法一：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f (－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4．法二：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4．法三：由函数f (x)＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f (x)是偶函数，∴4－a＝0，∴a＝4．]1．函数y＝f (x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　)A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．无法确定243题号1应用迁移√C　[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1．]23题号142．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)√B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．故选B．]A　　　　B　　　　C　　　　D23题号413．下列函数中，是奇函数的是(　　)A．f (x)＝x　　　 B．f (x)＝|x|　C．f (x)＝x2　　　 D．f (x)＝x2－1A　[对于A，f (x)＝x的定义域为R，f (－x)＝－x＝－f (x)，函数f (x)是奇函数，A正确；对于B，f (x)＝|x|的定义域为R，f (－x)＝|－x|＝f (x)，函数f (x)是偶函数，B不正确；对于C，f (x)＝x2的定义域为R，f (－x)＝(－x)2＝f (x)，函数f (x)是偶函数，C不正确；对于D，f (x)＝x2－1的定义域为R，f (－x)＝(－x)2－1＝f (x)，函数f (x)是偶函数，D不正确．故选A．]√4．若f (x)是R上的偶函数，且f (－2)”“<”)243题号1<　[因为f (x)是R上的偶函数，则f (2)＝f (－2)