重难点专题21 三角函数压轴小题十五大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题21三角函数压轴小题十五大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc146142657" 题型1新文化问题 PAGEREF _Tc146142657 \h 1
\l "_Tc146142658" 题型2新定义问题 PAGEREF _Tc146142658 \h 6
\l "_Tc146142659" 题型3黄金分割相关问题 PAGEREF _Tc146142659 \h 9
\l "_Tc146142660" 题型4扇形相关问题 PAGEREF _Tc146142660 \h 13
\l "_Tc146142661" 题型5三角函数公式相关问题 PAGEREF _Tc146142661 \h 20
\l "_Tc146142662" 题型6三角函数性质问题 PAGEREF _Tc146142662 \h 26
\l "_Tc146142663" 题型7识图问题 PAGEREF _Tc146142663 \h 35
\l "_Tc146142664" 题型8凑角求值问题 PAGEREF _Tc146142664 \h 43
\l "_Tc146142665" 题型9最值相关问题 PAGEREF _Tc146142665 \h 47
\l "_Tc146142666" 题型10ω 相关问题 PAGEREF _Tc146142666 \h 53
\l "_Tc146142667" 题型11φ相关问题 PAGEREF _Tc146142667 \h 58
\l "_Tc146142668" 题型12实际应用问题 PAGEREF _Tc146142668 \h 61
\l "_Tc146142669" 题型13恒成立问题 PAGEREF _Tc146142669 \h 68
\l "_Tc146142670" 题型14零点相关问题 PAGEREF _Tc146142670 \h 74
\l "_Tc146142671" 题型15与数列相关问题 PAGEREF _Tc146142671 \h 80
题型1新文化问题
【例题1】（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点Ax1,y1，Bx2,y2，O为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB夹角的余弦值，记作csA,B，余弦距离为1−csA,B.已知Pcsα,sinα，Qcsβ,sinβ，Rcsα,−sinα，若P，Q的余弦距离为13，tanα⋅tanβ=17，则Q，R的余弦距离为（ ）
A．12B．13C．14D．17
【答案】A
【分析】由题设得OP=(csα,sinα),OQ=(csβ,sinβ),OR=(csα,−sinα),利用向量夹角公式求得csP,Q=cs(α−β),cs(Q,R)=−cs(α+β)，根据新定义及正余弦齐次运算可求目标函数值.
【详解】由题意得OP=(csα,sinα),OQ=(csβ,sinβ),OR=(csα,−sinα),
则csP,Q=OP⋅OQOP|OQ|=csαcsβ+sinαsinβ=23，
又tanαtanβ=sinαsinβcsαcsβ=17，
∴csαcsβ=7sinαsinβ，
∴sinαsinβ=112，csαcsβ=712，
1−csQ,R=1−csαcsβ−sinαsinβ1=1−712−112=12，
故选：A.
【变式1-1】1. （2023·全国·高三专题练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且10sinB+C22=7−cs2A.以AB,BC,AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1,O2,O3. 则角A= .

【答案】π3/60°
【分析】根据三角恒等变化可得2cs2A+5csA−3=0，进而可得csA=12，即可求解，
【详解】10sinB+C22=7−cs2A，则51−csB+C=7−cs2A，
故51+csA=8−2cs2A，所以2cs2A+5csA−3=0，
可得csA=12（负值舍），由A∈0,π，所以A=π3.
故答案为：π3
【变式1-1】2. （2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）天文学家、数学家梅文鼎，为清代“历算第一名家”和“开山之祖”，在其著作《平三角举要》中给出了利用三角形的外接圆证明正弦定理的方法.如图所示，在梅文鼎证明正弦定理时的构图中，O为锐角三角形ABC外接圆的圆心.若sin∠BAC=33，则cs2∠OBC=（ ）

A．223B．−223C．13D．−13
【答案】D
【分析】由已知得2∠OBC=π−2∠BAC，再根据诱导公式和二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】已知∠BOC=2∠BAC，因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB，
因为∠OBC+∠OCB+∠BOC=π，
所以2∠OBC+∠BOC=π，所以2∠OBC=π−∠BOC=π−2∠BAC，
因为sin∠BAC=33，
所以cs2∠OBC=csπ−2∠BAC=−cs2∠BAC
=2sin2∠BAC−1=2×332−1=−13.
故选：D.
【变式1-1】3.（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）古希腊毕达哥拉斯学派在公元前6世纪研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为a=2cs72°，则acs18°2−a= .
【答案】12/0.5
【分析】利用三角恒等变换化简即可求解.
【详解】acs18°2−a=2cs72°⋅cs18°2−2cs72°=2sin18°⋅cs18°2−21−2sin236°=sin36°2sin36°=12，
故答案为：12.
【变式1-1】4. （2023·浙江·校联考二模）数学里有一种证明方法叫做Prfwithutwrds，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C为半圆O上一点，CH⊥AB，垂足为H，记∠COB=θ，则由tan∠BCH=BHCH可以直接证明的三角函数公式是（ ）
A．tanθ2=sinθ1−csθB．tanθ2=sinθ1+csθ
C．tanθ2=1−csθsinθD．tanθ2=1+csθsinθ
【答案】C
【分析】根据直角三角形中的定义写出sinθ,csθ，用θ表示出∠BCH，然后分析可得．
【详解】由已知∠COB=θ，则∠CBO=π2−θ2，∠BCH=θ2，
又tanθ2=BHCH，sinθ=CHOC，csθ=OHOC，BH+OH=OB=OC，
因此1−csθsinθ=1−OHOCCHOC=BHCH=tanθ，
故选：C．
【变式1-1】5. （2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ0°0，2β∈−π2,π2，所以2β∈0,π2
∴cs2β=45，∴tanβ=sinβcsβ=2sinβcsβ2cs2β=sin2β1+cs2β=13.
故选：A
【点睛】本题考查构造函数利用函数的单调性寻找变量的关系，考查三角函数的诱导公式和同角关系以及倍角公式，属于中档题.
【变式8-1】1. （2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知sin(2α−π12)=23，则tan(α+π3)tan(α+π12)= ．
【答案】5
【分析】由条件等式右边含有2，可联想到2α−π12中分离出π4来处理，设x=2α−π3，待求表达式中用x表示，结合万能公式进行求解.
【详解】设x=2α−π3，于是sin(2α−π12)=23=sin(x+π4)=sinxcsπ4+csxsinπ4，
整理可得sinx+csx=23，根据万能公式，sinx+csx=23=2tanx21+tan2x2+1−tan2x21+tan2x2，
整理可得tan2x2=15+65tanx2，
由x=2α−π3可得，α+π3=x2+π2,α+π12=x2+π4，
故tan(α+π3)tan(α+π12)=tanx2+π2tanx2+π4，
根据诱导公式，tanx2+π2=sinx2+π2csx2+π2=−csx2sinx2=−1tanx2，
根据两角和的正切公式，tanx2+π4=tanx2+11−tanx2，
故tan(α+π3)tan(α+π12)=−1tanx2⋅tanx2+11−tanx2=tanx2+1tan2x2−tanx2=tanx2+115+65tanx2−tanx2=tanx2+115+15tanx2=5.
故答案为：5
【变式8-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知点P(0,m)是y轴上到A1,1,B2,4距离和最小的点，且cs(α−π3)=1m，则sin(2α−π6)的值为 (用数据作答)．
【答案】−12/-0.5
【分析】求出点A关于y轴的对称点A'，求出直线A'B与y的交点即得m值，再利用诱导公式及二倍角公式计算作答.
【详解】依题意，点A关于y轴的对称点A'(−1,1)，则经过点A'，B的直线斜率k=4−12−(−1)=1，
直线A'B的方程为y=x+2，于是得点P1(0,2)，
此时有|P1A|+|P1B|=|P1A'|+|P1B|=|A'B|，由两点之间线段最短知，点P1(0,2)是y轴上到A1,1,B2,4距离和最小的点，
因此，m=2，cs(α−π3)=12，则sin(2α−π6)=sin[2(α−π3)+π2]=cs2(α−π3)=2cs2(α−π3)−1=−12，
所以sin(2α−π6)的值为−12.
故答案为：−12
【点睛】关键点睛：给值求值问题，将所求值的角用已知值的角表示，再借助三角变换公式求解．
【变式8-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知cs2α−π3=p2，tanαtanα−π3=p，则正常数p的值为 .
【答案】2−1
【解析】设A=sinαsinα−π3，B=csαcsα−π3，根据题意得到B−A=p2，B+A=12，故A=1−p4，B=1+p4，tanαtanα−π3=1−p1+p=p，解得答案.
【详解】设A=sinαsinα−π3，B=csαcsα−π3.
故cs2α−π3=csα+α−π3=B−A=p2，
cs−π3=csα−π3−α=B+A=12，故A=1−p4，B=1+p4.
tanαtanα−π3=sinαsinα−π3csαcsα−π3=AB=1−p1+p=p，且p>0，解得p=2−1.
故答案为：2−1.
【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力，取A=sinαsinα−π3，B=csαcsα−π3，是解题的关键.
【变式8-1】4. （2020·全国·高三专题练习）已知8cs(2α+β)+5csβ=0，且cs(α+β)csα≠0，则tan(α+β)tanα= .
【答案】133
【分析】利用2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)−α将条件整理可得3sin(α+β)sinα=13cs(α+β)csα.从而可得解.
【详解】∵2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)−α，
∴8cs(2α+β)+5csβ
=8[cs(α+β)csα−sin(α+β)⋅sinα]+5[cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα] =13cs(α+β)csα−3sin(α+β)sinα=0，
∴3sin(α+β)sinα=13cs(α+β)csα.
∴tan(α+β)tanα=133.
【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和差的展开公式，解题的关键是配凑出“2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)−α”，属于难题.
题型9最值相关问题
【例题9】（2022秋·山东青岛·高三校考阶段练习）在△ABC中，C＝90°，若x∈R，则f(x)＝sin(x＋A)＋sin(x＋B)的最大值为（ ）
A．2B．1C．2D．22
【答案】C
【分析】利用和差角正弦公式、诱导公式可得f(x)=2csxcsA−B2，根据三角函数性质即可确定其最大值.
【详解】sin(x+A)=sin(2x+A+B2+A−B2)=sin2x+A+B2csA−B2 +cs2x+A+B2sinA−B2，
sin(x+B)=sin(2x+A+B2−A−B2)=sin2x+A+B2csA−B2 −cs2x+A+B2sinA−B2，
所以f(x)=2sin(x+A+B2)csA−B2，而C＝90°，故A+B2=90°，
所以f(x)=2csxcsA−B2，
当csA−B2=1，即A=B=π4时，若csx=1，则函数最大值为2.
故选：C
【变式9-1】1. （2022秋·江苏常州·高三校考开学考试）已知α,β,γ是互不相同的锐角，则在sinαcsβ,sinβcsγ,sinγcsα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinαcsβ+sinβcsγ+sinγcsα≤32，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有sinαcsβ≤sin2α+cs2β2，
同理sinβcsγ≤sin2β+cs2γ2，sinγcsα≤sin2γ+cs2α2，
故sinαcsβ+sinβcsγ+sinγcsα≤32，
故sinαcsβ,sinβcsγ,sinγcsα不可能均大于12.
取α=π6，β=π3，γ=π4，
则sinαcsβ=1412,sinγcsα=64>12，
故三式中大于12的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设αcsγ,sinα0，设f(t)=2t2−22t+6+4t2，
得f'(t)=4t−22−8t3，令g(t)=f'(t)，得g'(t)=4+24t4>0，
则g(t)在t>0时，g(t)是单调递增函数，且g(2)=0，则
t∈(0,2)，g(t)=f'(t)0，
令f'x=0，得csx=−1x，
所以函数fx的极值点为函数y=csxx>0与函数y=−1xx>0的图象的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中，分别画出函数y=csxx>0与函数y=−1xx>0的图象，
如图所示，由图可知，在区间n−1π,nπ n∈N∗内，函数函数y=csxx>0与函数y=−1xx>0的图象，有且仅有1个交点，且n−1π0，函数y=−1xx>0为增函数，
所以−1xn0，若函数满足以下条件：
①函数fx在区间37π,47π上是单调函数；②fx≤fπ4对任意x∈R恒成立；
③经过点b,2a的任意直线与函数y=fx恒有交点，则ω的取值范围是（ ）
A．0,1∪3,289B．(0,1)∪3,289
C．0,1∪3,5∪7D．0,1∪3,5
【答案】A
【分析】根据题意得到函数的周期为2πω，由②得到x=π4是函数的一条对称轴，结合①可知00，解得ω≥28n5ω≤28(n+1)9，即28n5≤ω≤28(n+1)9，
又因为ω>0，故28(n+1)9>028(n+1)9≥28n5，解得n>−1n≤54，又n∈Z，
从而n=0或n=1.
当n=0时，00，
故可判断图①为f'x的图象，图②为fx的图象，
由图可知：
当ωx+φ=0时，f'x=ωAcsωx+φ=ωA=3，
当x=π23时，f'π23=ωAcsπ23ω+φ=32，
故csπ23ω+φ=12，
因sinπ23ω+φ>0，故sinπ23ω+φ=1−122=32
由fπ23=Asinπ23ω+φ=32得32A=32，故A=3，
ω=3A=3，故A正确.
又csπ2+φ=12，sinπ2+φ=32，
所以sinφ=−12，csφ=32，
又因0≤φ0，ω>0，|φ|≤π2）的图象与x轴交于点A,B，与y轴交于点C，BC=2BD，∠OCB=π3,|OA|=2，|AD|=2213.则下列说法正确的有（ ）
A．fx的最小正周期为12B．φ=−π6
C．fx的最大值为163D．fx在区间(14,17)上单调递增
【答案】ACD
【分析】由题意可得：3|Asinφ|=2+πω，sin(2ω+φ)=0，可得A，B，C，D的坐标，根据|AD|=2213，可得方程(1−π2ω)2+A2sin2φ4=283，进而解出ω，φ，A．判断出结论．
【详解】由题意可得：|OB|=3|OC|，∴3Asinφ=2+πω，sin(2ω+φ)=0，
A(2,0)，B(2+πω，0)，C(0,Asinφ)，∴D1+π2ω,Asinφ2，
∵AD=2213，∴1−π2ω2+A2sin2φ4=283，把|Asinφ|=13(2+πω)代入上式可得：(πω)2−2×πω−24=0，ω>0.解得πω=6，∴ω=π6，可得周期T=2πω=12，∴sin(π3+φ)=0，|φ|≤π2，解得φ=−π3.可知：B不对，∴3Asin−π3=2+6，A>0，解得A=163，函数f(x)=163sin(π6x−π3)，可知C正确.
x∈14,17 时，π6x−π3∈2π,5π2，可得：函数f(x)在x∈14,17单调递增.
综上可得：ACD正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点B,C,D的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解
8. （2021·上海金山·统考一模）如图，AB为定圆O的直径，点P为半圆AB上的动点．过点P作AB的垂线，垂足为Q，过Q作OP的垂线，垂足为M．记弧AP的长为x，线段QM的长为y，则函数y=f(x)的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设半径为r，计算得到∠AOP=xr，y=r2sin2xr，找出对应图像得到答案.
【详解】设半径为r，则∠AOP=xr，PQ=OPsin∠AOP=rsinxr
MQ=PQcs∠AOP=rsinxrcsxr=r2sin2xr，故y=r2sin2xr，0≤x≤πr
故选：A
【点睛】本题考查了函数图像的识别，计算出函数表达式是解题的关键
9. （2023·福建厦门·厦门一中校考二模）在数列{an}中给定a1，且函数fx=13x3−an+1sinx+an+2x+1的导函数有唯一的零点，函数gx=8x+sinπx−csπx且ga1+ga2+⋅⋅⋅+ga9=18.则a5= .
【答案】14/0.25
【分析】利用导数的定义和对称性可得an+1−an=2，利用辅助角公式对gx化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合夹逼原理即可求解.
【详解】因为f'x=x2−an+1csx+an+2有唯一的零点，f'x为偶函数，
所以f'0=0，即an+1−an=2，n∈N*，
所以数列an为公差为2的等差数列，
又因为gx=8x+sinπx−csπx=8x+222sinπx−22csπx
=8x+2sinπx−14=8x−14+2sinπx−14+2，
令ℎt=8t+2sinπt，则ℎt为奇函数，
因为ℎ't=8+2πcsπt>0，所以ℎt在R上单调递增，
由题意得ga1−2+ga2−2+⋅⋅⋅+ga9−2=0，
因为数列an是公差不为0的等差数列，其中a10，
又因为tanθ=sinθcsθ=12，则csθ=2sinθ，
且cs2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，解得sinθ=55或sinθ=−55（舍去），
所以sinθ−csθ=sinθ−2sinθ=−sinθ=−55.
故答案为：−55.
19．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=csωx−1(ω>0)在区间0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ．
【答案】[2,3)
【分析】令f(x)=0，得csωx=1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=csωx−1=0，则csωx=1有3个根，
令t=ωx，则cst=1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]，
结合余弦函数y=cst的图像性质可得4π≤2ωπ