重难点专题16 三角函数的图像与性质八大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题16三角函数的图像与性质八大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145701319" 题型1正余弦平移问题 PAGEREF _Tc145701319 \h 1
\l "_Tc145701320" 题型2识图问题 PAGEREF _Tc145701320 \h 6
\l "_Tc145701321" 题型3恒等变换与平移 PAGEREF _Tc145701321 \h 14
\l "_Tc145701322" 题型4已知对称轴问题 PAGEREF _Tc145701322 \h 21
\l "_Tc145701323" 题型5已知对称中心问题 PAGEREF _Tc145701323 \h 24
\l "_Tc145701324" 题型6周期问题 PAGEREF _Tc145701324 \h 29
\l "_Tc145701325" 题型7平移与重合问题 PAGEREF _Tc145701325 \h 39
\l "_Tc145701326" 题型8sinx,csx和差积与最值 PAGEREF _Tc145701326 \h 43
题型1正余弦平移问题
【例题1】（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）要得到函数fx=sin2x+π3的图象，可以将函数gx=sin2x+π12的图象（ ）
A．向左平移π4个单位B．向左平移π8个单位
C．向右平移π4个单位D．向右平移π8个单位
【答案】B
【分析】fx=sin2x+π3=sin2x+π8+π12，根据三角函数图象的平移变换即可求解.
【详解】因为fx=sin2x+π3=sin2x+π8+π12,
所以将函数gx=sin2x+π12的图象向左平移π8个单位可得到函数fx=sin2x+π3的图象.
故选:B.
【变式1-1】1. （2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）把函数y=fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个单位长度，得到函数y=csx+π4的图象，则fx=（ ）
A．cs2x−5π12B．csx2+5π12C．cs2x+5π12D．csx2−5π12
【答案】C
【分析】利用三角函数图象变换规律可得出函数fx的解析式.
【详解】由题意可知，将函数y=csx+π4的图象先向左平移π6个单位长度，得到函数y=csx+π4+π6=csx+5π12的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得到函数fx=cs2x+5π12的图象.
故选：C.
【变式1-1】2.（2023·甘肃陇南·统考一模）将函数y=sin2x+π3图像上各点的横坐标缩短到原来的23，纵坐标不变，再将图像向右平移π6个单位长度，得到函数y=fx的图像，以下方程是函数y=fx图像的对称轴方程的是（ ）
A．x=−π3B．x=−2π9C．x=2π9D．x=π3
【答案】C
【分析】由已知条件先求出函数fx的解析式，然后根据正弦函数的性质求出对称轴即可.
【详解】将函数y=sin2x+π3的图像上各点的横坐标缩短到原来的23，
纵坐标不变，得到函数y=sin3x+π3的图像，
再将图像向右平移π6个单位长度，
得到fx=sin3x−π6+π3=sin3x−π6，
其图像的对称轴满足3x−π6=kπ+π2k∈Z，
即x=kπ3+2π9k∈Z，
令k=0时，有x=2π9，
故选：C.
【变式1-1】3.（多选） （2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数fx=sinx+φ(0π2−1+45可得M1到直线l的距离大于M2到直线l的距离，所以M到直线2x−y+4=0的距离最小时，M的横坐标为π4，D正确
故选：ABD．
题型3恒等变换与平移
【例题3】（2020春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）设函数fx=asinωx+bcsωx ω>0在区间π6,π2上单调，且fπ2=f2π3=−fπ6，当x=π12时，fx取到最大值4，若将函数fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数gx的图象，则函数y=gx−x+π3零点的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【解析】由已知可得fx=a2+b2sinωx+φ，由fπ2=f2π3=−fπ6得出对称中心及对称轴，得出T，再得出fx的解析式，再有变换得出gx，再分别画出gx与y=x+π3图象，得出结论.
【详解】解：设fx=a2+b2sinωx+φ ω>0，
∴π2−π6≤T2=12⋅2πω=πω，即00时，fx+f'x在0,π2上单调递增，fx−f'x在0,π2上单调递增，
当a0,φ∈0,π4，具有下面三个性质：①将fx的图象右移π个单位得到的图象与原图象重合；②∀x∈R，fx≤f5π12；③fx在x∈0,5π12时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．fx在x∈0,π4时单调递减
B．fπ48+fπ3+f9π16=12
C．将fx的图象左移π24个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若gx与fx图象关于x=π3对称，则当x∈π2,2π3时，gx的值域为−1,12
【答案】BCD
【分析】根据①可得ω=2k,k∈Z，再根据③可得3T40或f'x0)倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，若函数gx在π2,3π2上没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．0,29∪23,89B．0,89
C．0,29∪89,1D．0,1
【答案】A
【解析】根据图象变换求出g(x)的解析式，利用周期缩小ω的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数fx=csx的图象先向右平移56π个单位长度，得到y=cs(x−5π6)的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=csωx−5π6 (ω>0)，周期T=2πω，
因为函数gx在π2,3π2上没有零点，所以3π2−π2≤T2，得T≥2π，得2πω≥2π，得0