重难点专题32 立体几何压轴小题（体积、角度、外接球等）九大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

这是一份重难点专题32 立体几何压轴小题（体积、角度、外接球等）九大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用），文件包含重难点专题32立体几何压轴小题体积角度外接球等九大题型汇总原卷版docx、重难点专题32立体几何压轴小题体积角度外接球等九大题型汇总解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共121页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题32立体几何压轴小题（体积、角度、外接球等）九大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc149822105" 题型1体积最值 PAGEREF _Tc149822105 \h 1
\l "_Tc149822106" 题型2线线角最值取值范围 PAGEREF _Tc149822106 \h 2
\l "_Tc149822107" 题型3线面角最值取范围 PAGEREF _Tc149822107 \h 5
\l "_Tc149822108" 题型4面面角最值取值范围 PAGEREF _Tc149822108 \h 8
\l "_Tc149822109" 题型5外接球问题 PAGEREF _Tc149822109 \h 11
\l "_Tc149822110" 题型6外接球截面相关 PAGEREF _Tc149822110 \h 12
\l "_Tc149822111" 题型7正方体截面相关 PAGEREF _Tc149822111 \h 13
\l "_Tc149822112" 题型8代数式最值取值范围 PAGEREF _Tc149822112 \h 16
\l "_Tc149822113" 题型9向量相关最值取值范围 PAGEREF _Tc149822113 \h 18
题型1体积最值
【例题1】（2021·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是AA1的中点，P是底面ABCD所在平面内一动点，设PD1，PE与底面ABCD所成的角分别为θ1，θ2（θ1，θ2均不为0），若θ1=θ2，则三棱锥P−BB1C1体积的最小值是
A．92B．52C．32D．54
【变式1-1】1. （2021·全国·校联考二模）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5,M,N分别在线段AA1和AC上，MN=2，则三棱锥D−MNC1的体积最小值为
A．4B．32−1C．43−2D．62−4
【变式1-1】2. （2021·全国·高三专题练习）如图，已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长等于1，∠ABC=60∘，O和O1分别是上下底面对角线的交点，H在线段OB1上，OH=3HB1，点M在线段BD上移动，则三棱锥M−C1O1H的体积最小值为 .
【变式1-1】3. （2023春·广东·高三校联考阶段练习）设M，N，P分别是棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1的棱CD，C1D1，A1B1的中点，R为BD上一点，且R不与D重合，且M，N，P，R在同一个表面积为S的球面上，记三棱锥N−MPR的体积为V，则SV的最小值是 .
【变式1-1】4.（2020·全国·高三竞赛）一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球.记圆锥的体积为V1，圆柱的体积为V2，且V1=kV2.则k的最小值是 .
【变式1-1】5.（2021·福建·统考一模）如图，在四棱锥E−ABCD中，EC⊥底面ABCD，FD//EC，底面ABCD为矩形，G为线段AB的中点，CG⊥DG，CD=2，DF=CE，BE与底面ABCD所成角为45°，则四棱锥E−ABCD与三棱锥F−CDG的公共部分的体积为 ．
题型2线线角最值取值范围
【例题2】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥A−BCD中，BC=BD=AC=AD=10，AB=6，CD=16，点P在平面ACD内，且BP=30，设异面直线BP与CD所成角为α，则sinα的最小值为( )
A．31010B．1010C．255D．55
【变式2-1】1. （2022·全国·高三专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2，E为边AB的中点，沿DE将ΔADE折起，点A折至A1处（A1 ∉平面ABCD），若M为线段A1C的中点，则在ΔADE折起过程中，下列说法错误的是（ ）
A．始终有MB //平面A1DE
B．不存在某个位置，使得A1C ⊥平面A1DE
C．三棱锥A1−ADE体积的最大值是223
D．一定存在某个位置，使得异面直线BM与A1E所成角为30∘
【变式2-1】2. （2021·全国·高三专题练习）如图，已知等边三角形ABC中，AB=AC，O为BC的中点，动点P在线段OB上（不含端点），记∠APC=θ，现将ΔAPC沿AP折起至ΔAPC'，记异面直线BC'与AP所成的角为α，则下列一定成立的是
A．θ>αB．θπ2D．θ+αα>βB．θ>2αC．θ>2βD．tanθ>2tanα
【变式4-1】4. （2023·全国·高三专题练习）如图，在单位正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：
①异面直线A1P与BC1间的距离为定值；
②三棱锥D−BPC1的体积为定值；
③异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值；
④二面角P−BC1−D的大小为定值．
其中真命题有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4-1】5.（2020·上海·高三专题练习）设三棱锥V−ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P−AC−B的平面角为γ，则三个角α、β、γ中最小的角是 .
题型5外接球问题
【例题5】（2022·四川遂宁·统考一模）设半径为R的球面上有A,B,C,D四点，且AB,AC,AD两两垂直，若S△ABC+S△ACD+S△ABD=8，则球半径R的最小值是（ ）
A．2B．2C．22D．4
【变式5-1】1.（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为23的正方形，侧面△PAD为正三角形，则其外接球体积最小值为（ ）
A．2873πB．323π
C．86πD．43π
【变式5-1】2.（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）在三棱锥A−BCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD+∠CBD=π2,BD=BC=1，则已知三棱锥A−BCD外接球表面积的最小值为（ ）
A．25+14πB．5+12πC．25−14πD．5−12π
【变式5-1】3.（2019秋·广西·高三校考阶段练习）在三棱锥A−BCD中，AB=AC，DB=DC，AB+DB=4，AB⊥BD，则三棱锥A−BCD外接球的体积的最小值为（ ）
A．53π3B．52π3C．82π3D．83π3
【变式5-1】4.（2023·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为AB,BC的中点，则（ ）
A．平面D1EF ∥平面BA1C1
B．点P为正方形A1B1C1D1内一点，当DP //平面B1EF时，DP的最小值为322
C．过点D1,E,F的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面周长为32+25
D．当三棱锥B1−BEF的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为12π
【变式5-1】5.（2020·湖北·校联考一模）已知三棱锥P−ABC满足PA⊥底面ABC，在ΔABC中，AB=6，AC=8，AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD=3DC，球O为三棱锥P−ABC的外接球，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O的表面积为（ ）
A．72πB．86πC．112πD．128π
【变式5-1】6.（2022秋·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90∘榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）
A．36πB．40πC．41πD．44π
题型6外接球截面相关
【例题6】（2021秋·河北唐山·高三唐山一中校考期中）四面体ABCD的四个顶点在同一球面上中，AB=BC= CD=DA=4，AC=BD=22，E为AC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为（ ）
A．5:4B．5:2C．5:2D．5:2
【变式6-1】1. （2022秋·云南·高三云南师大附中校联考阶段练习）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD, PA=AB=2，BC=2 ，点E在棱PB上，且EB=2PE， 过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是 .
【变式6-1】2. （2021秋·山东潍坊·高三山东省潍坊第四中学校考开学考试）正△ABC的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点D是线段BC的中点,过D作球O的截面,则截面面积的最小值为 .
【变式6-1】3. （2019·湖北·高三校联考期中）已知三棱锥S−ABC的所有顶点在球O的球面上，SA⊥平面ABC，ΔABC是等腰直角三角形，SA=AB=AC=2，D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是 .
【变式6-1】4. （2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知菱形ABCD边长为6，∠ADC=2π3，E为对角线AC上一点，AE=3．将△ABD沿BD翻折到△A'BD的位置，E移动到E'且二面角A'−BD−A的大小为π3，则三棱锥A'−BCD的外接球的半径为 ；过E'作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为 ．
【变式6-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD的长度均为6，平面ABD⊥平面CBD，点M在AC上，且AM=2MC，那么ABCD外接球的半径为 ；过点M作四边形ABCD外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之比为 .
题型7正方体截面相关
【例题7】（2021·浙江·高三专题练习）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的最小值是
A．4πB．8πC．12πD．16π
【变式7-1】1. （2021·湖南株洲·校联考一模）过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是
A．1B．2C．32D．62
【变式7-1】2. （多选）（2022秋·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考期中）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，点P是线段A1D上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．存在点P，使得BP⊥PC1
B．三棱锥C−B1D1P的体积为定值16
C．若动点Q在以点B为球心，63为半径的球面上，则PQ的最小值为66
D．过点P，B，C1作正方体的截面，则截面多边形的周长的取值范围是32,2+22
【变式7-1】3.（2022秋·吉林长春·高三长春市第六中学校考期末）棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1内部有一圆柱O1O2，此圆柱恰好以直线AC1为轴，且圆柱上下底面分别与正方体中以A ， C1为公共点的3个面都有一个公共点，以下命题正确的是（ ）
A．在正方体ABCD−A1B1C1D1内作与圆柱O1O2底面平行的截面，则截面的最大面积为32
B．无论点O1在线段AC1上如何移动，都有BO1⊥B1C
C．圆柱O1O2的母线与正方体ABCD−A1B1C1D1所有的棱所成的角都相等
D．圆柱O1O2外接球体积的最小值为π6
【变式7-1】4. （多选）（2023·全国·高三专题练习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，点P满足CP=λCD+μCC1，其中λ∈0,1,μ∈0,1，则下列结论正确的是（ ）
A．当B1P//平面A1BD时，B1P与CD1所成夹角可能为π3
B．当λ=μ时，|DP→|+|A1P→|的最小值为2+52
C．若B1P与平面CC1D1D所成角为π4，则点P的轨迹长度为π2
D．当λ=1时，正方体经过点A1､P､C的截面面积的取值范围为32,2
【变式7-1】5. （多选）（2022·安徽·校联考二模）在底面边长为2、高为4的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，O为棱A1A上一点，且A1O=14A1A,P､Q分别为线段B1D1､A1D1上的动点，M为底面ABCD的中心，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（ ）
A．CN与QM共面
B．三棱锥A−DMN的体积为43
C．PQ+QO的最小值为322
D．当D1Q=13D1A1时，过A,Q,M三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为82+103
【变式7-1】6.（2021·浙江温州·统考二模）如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=4,AA1=1，设E为底面ABCD的中心，且AF=λAD,(0≤λ≤12)，则该长方体中经过点A1,E,F的截面面积的最小值为 ．
题型8代数式最值取值范围
【例题8】（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的棱长为6,P是棱AB上任意一点（不与A,B重合）,且点P到面ACD和面BCD的距离分别为x,y,则3x+1y的最小值为 .
【变式8-1】1. （2019·湖南·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//CD，AD=CD=PD=2，AB=1，E,F分别为棱PC,PB上一点，若BE与平面PCD所成角的正切值为2，则(AF+EF)2的最小值为 .
【变式8-1】2. （2022秋·广东广州·高三校考期中）正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构）是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P、Q分别为DF、BF的中点，则AP·AQ= .若EG=2GB，过点G的直线分别交直线FE、FB于M、N两点，设FE=mFM,FB=nFN（其中m、n均为正数），则2m+1n的最小值为 .
【变式8-1】3. （2021·河南·高三校联考阶段练习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E∈平面AA1B1B，点F是线段AA1的中点，若D1E⊥CF，则当ΔEBC的面积取得最小值时，SΔEBCS四边形ABCD=
A．255B．12C．55D．510
【变式8-1】4. （2021·全国·高三专题练习）已知直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1,BB1,CC1，分别交于三点M,N,Q，若ΔMNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）
A．22B．3C．23D．4
【变式8-1】5.（2019秋·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f(M)=(m，n，p)，其中m、n、P分别是三棱锥M−PAB、三棱锥M−PBC、三棱锥M−PCA的体积．若f(M)=(12，x，y)，且1x+ay⩾18恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式8-1】6.（2021秋·四川成都·高三石室中学阶段练习）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED=FB=1，G为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是
①EC⊥AF；②该几何体外接球的表面积为3π；
③若G为EC中点，则GB//平面AEF；
④AG2+BG2的最小值为3．
【变式8-1】7.（2020·全国·高三专题练习）已知四面体ABCD的所有棱长都为6,O是该四面体内一点,且点O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距离分别为13,x,16和y,则1x+1y的最小值是 .
【变式8-1】8.（2021·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6.四边形AEFG为边长为2的正方形，现将矩形ABCD沿过点F的动直线l翻折，使翻折后的点C在平面AEFG上的射影C1落在直线AB上，若点C在折痕l上射影为C2，则C1C2CC2的最小值为 ．
题型9向量相关最值取值范围
【例题9】（2021秋·浙江宁波·高三统考期末）在空间直角坐标系中，OA=2a,2b,0,OB=c−1,d,1,O为坐标原点，满足a2+b2=1,c2+d2=4，则下列结论中不正确的是
A．OA·OB的最小值为-6B．OA·OB的最大值为10
C．AB最大值为26D．AB最小值为1
【变式9-1】1. （2021·浙江·模拟预测）正四面体ABCD的棱长为2，半径为2的球O过点D，MN为球O的一条直径，则AM⋅AN的最小值是 ．
【变式9-1】2. （2021春·上海·高三校联考阶段练习）已知a,b,c为空间三个向量，又a,b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足c=3，c⋅a=2,c⋅b=1，则对于任意实数x，y，c−xa−yb的最小值为
【变式9-1】3.（多选） （2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知球O的半径为2，点A,B,C是球O表面上的定点，且OA⋅OB=OB⋅OC=−1，OC⋅OA=−2，点D是球O表面上的动点，满足CA⋅CD=0，则（ ）
A．有且仅有一个点D使得∠CAD=30∘B．点O到平面ABC的距离为217
C．存在点D使得BD//平面AOCD．OB⋅OD的取值范围为−2,2
【变式9-1】4. （2021·湖南长沙·高三长郡中学阶段练习）已知半径为1的球O内切于正四面体A−BCD，线段MN是球O的一条动直径（M,N是直径的两端点），点P是正四面体A−BCD的表面上的一个动点，则PM⋅PN的取值范围是 ．
【变式9-1】5.（2020·全国·高三专题练习）已知球O的半径为1,A,B是球面上的两点，且AB=3，若点P是球面上任意一点，则PA⋅PB的取值范围是 ．
1. （2019·四川·统考模拟预测）若矩形ABCD的对角线交点为O'，周长为410，四个顶点都在球O的表面上，且OO'=3，则球O的表面积的最小值为
A．322π3B．642π3C．32πD．48π
2. （2022·四川泸州·统考一模）已知正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面三角形的中心）的体积为3，其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为 ．
3. （2022·内蒙古呼伦贝尔·海拉尔第二中学校考模拟预测）等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：
（1）四面体E−BCD的体积有最大值和最小值；
（2）存在某个位置，使得AE⊥BD；
（3）设二面角D−AB−E的平面角为θ，则θ≥∠DAE；
（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4. （2020·河南鹤壁·统考二模）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则|PQ||AQ|的最小值为 ．
5. （2023·四川达州·统考一模）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为AB,BC的中点，则（ ）
A．异面直线DD1与B1F所成角的余弦值为55
B．点P为正方形A1B1C1D1内一点，当DP//平面B1EF时，DP的最小值为322
C．过点D1,E,F的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面周长为32+25
D．当三棱锥B1−BEF的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为12π
6. （2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．3πB．4πC．9πD．12π
7. （2023·天津·统考高考真题）在三棱锥P−ABC中，线段PC上的点M满足PM=13PC，线段PB上的点N满足PN=23PB，则三棱锥P−AMN和三棱锥P−ABC的体积之比为（ ）
A．19B．29C．13D．49
8. （2023·全国·统考高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 ．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,π2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．